材料力学讲义1128T30

第二章轴向拉伸和压缩Chapter2AxialTensionandCompression§2-1轴向拉压的概念及实例(Conceptsandexamplesofaxialtension&compression)第二章轴向拉伸和压缩

Chapter2

AxialTensionandCompression§2-2内力计算(Calculationofinternalforce)§2-3应力及强度条件(Stressandstrengthcondition)§2-4材料在拉伸和压缩时的力学性能

(Materialpropertiesinaxialtensionandcompression)

§2-5拉压杆的变形计算

(Calculationofaxialdeformation)§2-6拉压超静定问题

(Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)§2-7剪切变形(Sheardeformation)

§2-1轴向拉压的概念及实例(Conceptsandexampleproblemsofaxialtension&compression)一、工程实例

(Engineeringexamples)

三、变形特点(Characterofdeformation)

沿轴向伸长或缩短二、受力特点(Characterofexternalforce)

外力的合力作用线与杆的轴线重合四、计算简图(Simplediagramforcalculating)

FFFF轴向压缩(axialcompression)轴向拉伸(axialtension)mmFF一、求内力

(Calculatinginternalforce)设一等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡,欲求杆件横截面m-m上的内力.

§2–2内力计算

(Calculationofinternalforce)在求内力的截面m-m处，假想地将杆截为两部分.取左部分部分作为研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN.mmFFN1.截面法(Methodofsections)（1）截开mmFF（2）代替对研究对象列平衡方程FN

=F式中：FN

为杆件任一横截面

m-m上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力(axialforce).（3）平衡mmFFmmFFNFN若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力数值相等而指向相反.mmFFmmFFNmFm2.轴力符符号的的规定定(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若轴轴力的的指向向背离离截面面，则规定定为正正的，，称为为拉力(tensileforce).（2）若轴轴力的的指向向指向向截面面，则规定定为负负的，，称为为压力(compressiveforce).二、轴轴力图图(Axialforcediagram)用平行行于杆杆轴线线的坐坐标表表示横横截面面的位位置,用垂直直于杆杆轴线线的坐坐标表表示横横截面面上的的轴力力数值值,从而绘绘出表表示轴轴力与与横截截面位位置关关系的的图线线,称为轴轴力图图.将正的的轴力力画在在x轴上侧侧,负的画画在x轴下侧侧.xFNO例题1一等直直杆其其受力力情况况如图图所示示，作作杆的的轴力力图.CABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA解:求支座座反力力求AB段内的的轴力力FRAFN1CABDE40kN55kN25kN20kNFRA1求BC段内的的轴力力

FRA40kNFN220kNCABDE40kN55kN25kNFRA2FN3求CD段内的的轴力力20kN25kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA3求DE段内的的轴力力20kNFN440kN55kN25kN20kNFRA4FN1=10kN（拉力力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（压力力）FN4=20kN（拉力力）发生在在BC段内任任一横横截面面上5010520++CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN§2-3应力及及强度度条件件(Stressandstrengthcondition)一、横截面面上的正应应力(Normalstressoncrosssection)FFabcd1.变形形现现象象(Deformationphenomenon)（1）横向向线线ab和cd仍为为直直线线,且仍仍然然垂垂直直于于轴轴线线;（2）ab和cd分别别平平行行移移至至a'b'和c'd',且伸伸长长量量相相等等.结论论：：各各纤纤维维的的伸伸长长相相同同,所以以它它们们所所受受的的力力也也相相同同.FFabcd2.平面面假假设设(Planeassumption)变形形前前原原为为平平面面的的横横截截面面,在变变形形后后仍仍保保持持为为平平面面,且仍仍垂垂直直于于轴轴线线.3.内力力的的分分布布(Thedistributionofinternalforce)FFN均匀匀分分布布(uniformdistribution)式中中,FN为轴轴力力,A为杆杆的的横横截截面面面面积积,的符符号号与与轴轴力力FN的符符号号相相同同.当轴轴力力为为正正号号时时（（拉拉伸伸））,正应应力力也也为正正号号,称为为拉拉应力力;当轴轴力力为为负负号号时时（（压压缩缩））,正应应力力也也为负负号号,称为为压压应力力.4.正应应力力公公式式(Formulafornormalstress)FkkF二、、斜斜截截面面上上的的应应力力（Stressonaninclinedplane)1.斜截截面面上上的的应应力力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα以pα表示示斜斜截截面面k-k上的的应力力，，于于是是有有沿截截面面法法线线方方向向的的正正应应力力沿截截面面切切线线方方向向的的切切应应力力将应应力力pα分解解为为两两个个分分量量：：pαFkkFFkkxnpα（1）α角2.符号号的的规规定定(Signconvention)（2）正应力拉伸为正压缩为负（3）切切应应力力对对研研究究对对象象任任一一点点取取矩矩pαFkkFFkkxnpα顺时针为正逆时针为负逆时针时

为正号顺时针时

为负号自x转向n（1）当当=0°°时，（2）当当=45°°时，，（3）当当=-45°°时，，（4）当当=90°°时，，讨论论xnFkk三、、强强度度条条件件(Strengthcondition)杆内内的的最最大大工工作作应应力力不不超超过过材材料料的的许许用用应应力力1.数学表表达式式(Mathematicalformula)2.强度条条件的的应用用(Applicationofstrengthcondition)（2）设计截面（1）强度校核（3）确定许可荷载例题2一横截截面为为正方方形的的砖柱柱分上上、下下两段,其受力力情况况,各段长长度及及横截截面面面积如图所所示.已知F=50kN，试求荷荷载引引起的的最大大工作作应力力.FABCFF3000400037024021解：（（1）作轴轴力图图FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求求应力力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.例题3简易起起重设设备中中，AC杆由两两根80807等边角角钢组组成，AB杆由两两根10号工字字钢组组成.材料为为Q235钢，许许用应应力[]=170MPa.求许可可荷载载[F].ABCF1m30。解：（（1）取取结点点A为研究对象象，受力分分析如图所示.ABCF1m30°FAxyFN1FN230。结点A的平衡方程为为由型钢表查得得FAxyFN1FN230。得到（2）许可轴力为（3）各杆的许可可荷载（4）结论：许可荷荷载[F]=184.6kN例题4刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力[]=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：（1）结构的许可可荷载[F];（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.2aaFABDC解：（1）求CD杆的内力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAx（2）结构的许可可荷载[F]由[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy得（3）若F=50kN，设计CD杆的直径由得d=24.4mm取d=25mmFRAx1.试验条件(Testconditions）§2-4材料在拉伸和和压缩时的力力学性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtensionandcompression)一、实验方法法(Testmethod)（1）常温:室内温度（2）静载:以缓慢平稳的的方式加载（3）标准试件：：采用国家标标准统一规定定的试件2.试验设备(Testinstruments)（1）微机控制电电子万能试验验机（2）游标卡尺二、拉伸试验验(Tensiletests)先在试样中间间等直部分上上划两条横线线这一段杆称称为标距l(originalgagelength).l=10d或l=5d1.低碳钢拉伸时时的力学性质质(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)（1）拉伸试样dl标距（2）拉伸图(F-l曲线)拉伸图与试样样的尺寸有关关.为了消除试样样尺寸的影响响，把拉力F除以试样的原原始面积A，得正应力；同同时把l除以标距的原始长度l，得到应变.表示F和l关系的曲线，，称为拉伸图(tensiondiagram)FOΔlefhabcdd′gf′Δl0p（3）应力应变图图表示应力和应变关系的曲曲线，称为应力-应变图(stress-straindiagram)（a）弹性阶段试样的变形完完全弹性的.此阶段内的直直线段材料满满足胡克定律(Hooke’’slaw)

比例极限(proportionallimit)fOf′hab点是弹性阶段段的最高点.弹性极限(elasticlimit)（b）屈服阶段当应力超过b点后，试样的的荷载基本不不变而变形却却急剧增加，，这种现象称称为屈服(yielding).pfOf′habec点为屈服低限限屈服极限(yieldingstrength)

sb（c）强化阶段过屈服阶段后后，材料又恢恢复了抵抗变变形的能力，，要使它继续变变形必须增加加拉力.这种现象称为为材料的强化(hardening)e点是强化阶段段的最高点

强度极限(ultimateStrength)epfOf′habce（d）局部变形阶段段过e点后，试样在在某一段内的的横截面面积积显箸地收缩缩，出现颈缩(necking)现象，一直到到试样被拉断断.

sbepfOf′habce试样拉断后，，弹性变形消消失，塑性变变形保留，试试样的长度由由l变为l1，横截面积原原为A，断口处的最最小横截面积积为A1.断面收缩率(percentreductioninarea)伸长率(percentelongation)≧5%的材料，称作作塑性材料(ductilematerials)<5%的材料，称作作脆性材料(brittlematerials)（4）伸长率和端端面收缩率（5）卸载定律及及冷作硬化卸载定律(unloadinglaw)若加栽到强化化阶段的某一一点d停止加载,并逐渐卸载,在卸载过程中,荷载与试样伸伸长量之间遵循直线关系系的规律称为为材料的卸载定律(unloadinglaw).abcefOgf′hεd′d在常温下下把材料料预拉到到强化阶阶段然后后卸载,当再次加加载时,试样在线线弹性范范围内所所能承受受的最大大荷载将将增大.这种种现现象象称称为为冷冷作作硬硬化化冷作作硬硬化化e-弹性性应应变变(elasticstrain)p-塑性性应应变变(plasticstrain)abcdefOd′gf′hepdYieldStrengthandUltimateStrength2.无明明显显屈屈服服极极限限的的塑塑性性材材料料(Ductilematerialswithoutclearingdefinedyieldpoint)s0.23.铸铁拉伸伸时的机机械性能能ｂ-铸铁拉伸伸强度极限(Mechanicalpropertiesforacastironintension)e0.2%s割线斜率名义屈服服应力用用表示.O

/MPa/%eｂαBrittlevs.DuctileBehavior三、材料料压缩时时的力学学性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialcompression)1.实验试样样(Testspecimen)2.低碳钢压压缩时的的s-e曲线(Stress-straincurveforalow-carbonsteelincompression)dhFFFF

sOe

压缩的实实验结果果表明低碳钢压压缩时的的弹性模量E屈服极限限s都与拉伸时大致致相同.屈服阶段段后,试样越压越扁,横截面面面积不断增大,试样不可可能被压断,因此得不不到压缩缩时的强度度极限.3.铸铁压缩缩时的s-e曲线(Stress-straincurveforcastironincompression)O

/%eｂ铸铁压缩缩时破坏坏端面与与横截面面大致成成45°～55°倾角,表明这类类试样主主要因剪剪切而破破坏,铸铁的抗抗压强度度极限是是抗拉强强度极限限的4～5倍.以大于1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力,用[]表示.2.许用应力力(Allowablestress)1.极限应力力(Ultimatestress)四、安全全因数和和许用应应力(Factorofsafety&allowablestress)n—安全因数数(factorofsafety)塑性材料料(ductilematerials)脆性材料料(brittlematerials)材料的两两个强度度指标s和b称作极限限应力或或危险应应力,并用u表示.五、应应力集中中(Stressconcentrations)开有圆孔孔的板条条因杆件外外形突然然变化而而引起局局部应力力急剧增增大的现现象，称称为应力集中中(stressconcentrations).FFF带有切口口的板条条FFF应力集中中因数(stress-concentrationfactor)六、蠕变变及松弛弛(creeping&relaxation)固体材料料在保持持应力不不变的情情况下，，应变随随时间缓缓慢增长长的现象象称为蠕变(creeping)粘弹性材材料在总总应变不不变的条条件下,变形恢复复力（回回弹应力力）随时时间逐渐渐降低的的现象称称为松弛(relaxation)F发生应力集中的截面上的最大应力同一截面上按净面积算出的平均应力§2-5拉压杆的的变形计计算(Calculationofaxialdeformation)FFbh一、纵向向变形(Axialdeformation)b1ll12.纵向应变(Axialstrain)1.纵向变形(Axialdeformation)二、横向变形形(Lateraldeformation)三、泊松松比(Poisson’sratio)称为泊松比(Poisson’sratio)2.横向应变(Lateralstrain)FFbhb1ll11.横向变形(Lateraldeformation)四、胡克克定律(Hooke’slaw)式中E称为弹性模量量(modulusofelasticity)，EA称为抗拉拉（压））刚度(rigidity).实验表明明工程上上大多数数材料都都有一个个弹性阶阶段，在在此弹性性范围内内，正应应力与线线应变成成正比.上式改写写为由例题5图示为一一变截面面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.试求：（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴轴力并作作轴力图图（2）杆的最大大正应力力max（3）B截面的位位移及AD杆的变形形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支支座反力力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴轴力并作作轴力图图F1FN1F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（2）杆的最大大正应力力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDmax=176.8MPa发生在AB段.（3）B截面的位位移及AD杆的变形形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD例题6图所示杆杆系由两两根钢杆杆1和2组成.已知杆端端铰接，，两杆与与铅垂线线均成=30°的角度,长度均为为l=2m,直径均为为d=25mm,钢的弹性性模量为为E=210GPa.设在点处处悬挂一一重物F=100kN,试求A点的位移A.ABC12ABC12解：（1）列平衡方方程,求杆的轴轴力FyFN1FN2A12xA''（2）两杆的的变形为为变形的几几何条件件相容是是变形后后，两杆杆仍应铰铰结在一一起.ABC12ABC12（伸长）以两杆伸伸长后的的长度BA1和CA2为半径作作圆弧相相交于A,即为A点的新位置置.AA就是A点的位移移.A''ABC12A2A1A12因变形很很小,故可过A1，A2分别做两两杆的垂垂线，相相交于AA可认为A'FAFN1FN2x30°yA1例题7图示三角角形架AB和AC杆的弹性性模量E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求当F=130kN时节点的的位移.2mABCF30°12解：(1)由平衡方方程得两两杆的轴轴力1杆受拉,2杆受压A2（2）两杆的的变形30°AA1A2A'30°AA3为所求A点的位移移A12mABCF30°12A2A3一、静定定与超静静定问题题(Staticallydeterminate&indeterminateproblem)§2-6拉压超静静定问题题(Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers)1.静定问题题(Staticallydeterminateproblem)杆件的轴轴力可以以用静力力平衡条条件求出出,这种情况况称作静静定问题题.2.超静定问问题(Staticallyindeterminateproblem)只凭静力力平衡方方程已不不能解出出全部未未知力，，这种情情况称做做超静定定问题.1.超静定的的次数(Degreesofstaticallyindeterminateproblem)未知力数数超过独独立平衡衡方程数数的数目目,称作超静静定的次次数.二、超静静定问题题求解方方法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminateproblem）2.求解超静静定问题题的步骤骤(Procedureforsolvingastaticallyindeterminate)（1）确定静静不定次次数；列列静力平平衡方程程（2）根据变变形协调调条件列列变形几几何方程程（3）将变形形与力之之间的关关系（胡胡克定律律）代入入变形几几何方程程得补充充方程（4）联立补补充方程程与静力力平衡方方程求解解n=未知力的的个数－－独立立平衡方方程的数数目例题8设1，2，3三杆用绞绞链连结结如图所所示，l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E，3杆的长度度l3,横截面积积A3,弹性模量量E3。试求在沿沿铅垂方方向的外外力F作用下各各杆的轴轴力.CABDF123三、一般般超静定定问题举举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)xyFAFN2FN3FN1解：（1）列平衡方程这是一次次超静定定问题﹗（2）变形几何何方程由于问题题在几何何,物理及受受力方方面都是是对称,所以变形形后A点将沿铅铅垂方向向下移.变形协调调条件是是变形后后三杆仍仍绞结在在一起﹗CABDF123xyFAFN2FN3FN1CABD123A'变形几何何方程为为A123┕┕CABDF123CABD123A'A'（3）补充方方程物理方程程为（4）联立平平衡方程程与补充充方程求求解CABDF123A123┕┕A'例题9图示平行行杆系1、2、3悬吊着刚刚性横梁梁AB，在横梁梁上作用用着荷载载F。各杆的的截面积积、长度度、弹性性模量均均相同，，分别为为A，l，E.试求三杆杆的轴力力FN1,FN2,FN3.ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：（1）平衡衡方程这是一次次超静定定问题,且假设均均为拉杆杆.（2）变形几何何方程物理方程程ABCF3aal21ABC321（3）补充方程程ABCF3aal21ABC321（4）联立平平衡方程程与补充充方程求求解图示杆系系,若3杆尺寸有有微小误误差,则在杆系系装配好好后,各杆将处处于图中中位置,因而产生生轴力.3杆的轴力力为拉力力,1.2杆的轴力力为压力力.这种附加加的内力力就称为为装配内内力.与之相对对应的应应力称为为装配应力力(initialstresses).四、装配配应力(Initialstresses)(Staticallyindeterminatestructurewithamisfit)ABCD213lABCD213l代表杆3的伸长代表杆1或杆2的缩短代表装配配后A点的位移移（1）变形几何何方程（2）物理方程程（3）补充方方程ABCD213l（4）平衡方程程FN3FN2FN1FN1，FN2，FN3（5）联立平平衡方程程与补充充方程求求解例题10两铸件用用两根钢钢杆1.2连接,其间距为为l=200mm.现要将制制造得过过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件件之间,并保持三三根杆的的轴线平平行且等等间距a,试计算各各杆内的的装配应应力.已知：钢钢杆直径径d=10mm,铜杆横截截面积为为2030mm的矩形,钢的弹性性模量E=210GPa,铜的弹性性模量E3=100GPa.铸件很厚厚,其变形可可略去不不计,故可看作作刚体.ABC12aaB1A1C1l3C1C'e（1）变形几几何方程程为l3C1eC''l3ABC12B1C1A1l1l2=aax（3）补充方方程（4）平衡方方程（2）物理方方程C'A'B'FN3FN1FN2联立平衡衡方程与与补充方方程求解解,即可得装装配内力力，进而而求出装装配应力力.五、温度度应力(Thermalstressesortemperaturestresses)例题11图示等等直杆AB的两端分分别与刚刚性支承承连结.设两支承承的距离（（即杆长长）为l,杆的横截截面面积积为A,材料的弹弹性模量量为E,线膨胀系系数为.试求温度度升高T时杆内的的温度应力力.温度变化化将引起起物体的的膨胀或或收缩.静定结构构可以自自由变形形,不会引起起构件的的内力,但在超静静定结构构中变形形将受到到部分或或全部约束束,温度变化化时往往往就要引引起内力力,与之相对对应的应应力称为热应力(thermalstresses)或温度应力(temperaturestresses).ABl解:这是一次超超静定问题题变形相容条条件是杆的的总长度不不变.杆的变形为为两部分,即由温度升升高引起的的变形lT以及与轴向向压力FR相应的弹性性变形lFAB'lTABlB'ABlFFRAFRB（1）变形几何何方程（3）补充方程程（4）温度内力力ABlAB'lT（2）物理方程程由此得温度度应力B'ABlFFRAFRB一、基本概概念和实例例(Basicconceptsandexamples)1.工程实例(Engineeringexamples)（1）螺栓连接(Boltedconnections)§2-7剪切变形(Sheardeformation)（2）铆钉连接(Rivetedconnections)FF螺栓(bolt)FF铆钉(rivet)FF铆钉(rivet)m轴(shaft)键(key)齿轮(gear)（3）键块联接(Keyedconnection)（4）销轴联接(Pinnedconnection)FFABddd1d1nn（合力）（合力）FF2.受力特点(Characterofexternalforce)以铆钉为例例构件受两组组大小相等等、方向相相反、作用用线相互很很近的平行行力系作用用.3.变形特点(Characterofdeformation)构件沿两组组平行力系系的交界面面发生相对对错动.4.连接处破坏坏三种形式式:(Threetypesoffailureinconnections)（1）剪切破坏沿铆钉的剪剪切面剪断断，如沿n-n面剪断.（2）挤压破坏铆钉与钢板板在相互接接触面上因因挤压而使使溃压连接接松动，发发生破坏.（3）拉伸破坏钢板在受铆铆钉孔削弱弱的截面处处，应力增大，，易在连接接处拉断.FnnFS剪切面(shearingplane)nn（合力）（合力）FFmmF剪切面FS二、剪切的的应力分析析(Analysisofshearingstress)1.内力计算(Calculationofinternalforce)FS-剪力(shearingforce)FFmm2.切应力（Shearingstress）式中，FS-剪力(shearingforce)A-剪切面的面面积(areainshear)3.强度条件(Strengthcondition)[]为材料的许用用切应力(Allowableshearingstressofamaterial)(factorofsafety)mmF剪切面FFmmn-安全因数-剪切极限应力(ultimateshearingstress)螺栓与钢板相相互接触的侧侧面上,发生的彼此间间的局部承压压现象,称为挤压(bearing).三、挤压的应应力分析(Analysisofbearingstress)FFFF在接触面上的的压力,称为挤压力(bearingforce),并记为F挤压面剪切面1.挤压力(Bearingforce)F=FS（1）螺栓压扁（2）钢板在孔缘缘压成椭圆2.挤压破坏的两两种形式(Twotypesofbearingfailure)FF3.挤压应力(Bearingstress)F-挤压力(bearingforce)Abs-挤压面的面积积(areainbearing)4.强度条件(Strengthcondition)[bs]-许用挤压应力力(allowablebearingstress)挤压压现现象象的的实实际际受受力力如如图图所示示.（1）当当接接触触面面为为圆圆柱柱面面时时,挤压压面面积积Abs为实实际际接接触触面面在在直直径径平平面面上上的的投投影影面面积积dh实际接触面直径投影面挤压压面面的的面面积积计计算算（2）当当接接触触面面为为平平面面时时,Abs为实实际际接接触触面面面面积积.四、、强强度度条条件件的的应应用用(Applicationofstrengthconditions)(Checktheintensity)1.校核强度(Determinetheallowabledim