抽样技术题目

、简单随机抽样1、在简单随机抽样中，试证明比估计7是总体均值亍的渐近无偏估计，并求其方差。R、一一L——六A7证明：Y=RXyR=Y=RX=%X=XEyY得证。"XJ~~一十、

p1x—X

X=XEY得证。"XJkXJ-—„x-x“，«)一x-X一^0即^^—0所以Ey^=XE由于x-X——0即三二^—0X所以Var£)=X2ER，一―一、

y―Rx=Ey—Rx^=Var^y—r)=~f其中：Z=Y-RX故Var所以Var£)=X2ER，一―一、

y―Rx=Ey—Rx^=Var^y—r)=~f其中：Z=Y-RX故Var^^)=〉-f羊b-RX)-Y-RX=1-f(s2-2RS+R2S2)Rn\N-1)iinYXYXi=12、对于简单随机抽样，总体均值亍的回归估计量定义为：＞lr="3（X-X），如3为常数（记为30），证明证明:3、在简单随机抽样中，已知变量总体均值Y的回归估计量定义为*=y+3（X-x），若3为常数（记为3。），且有E（y,）=Y,V（y）=^--（s2+32s2-23s）lrny0x0xylr求证：（1）（2）使V(y)最小的p为3=p=P^；其中p=£*l00S2SSS证明：（1）v(y)=11Z_^宅Y+p(X-x)-Y】lrnN—1i0ii=1（2）求V（y）对3的偏导数:

lr0编号文化支出编号文化支出1200111502150121603170131804150141305160151006130161807140171008100181809110191701024020120估计该小区平均的文化支出F，并给出置信水平95%的置信区间。解析：由已知得：N=200n=20根据表中数据计算得：亍=京普y=144.5i=1因此该小区平均文化支出Y的95%置信区间为：［y土z^V（y）］即是：［132.544,156.456］，2故估计该小区平均的文化支出Y=144.5，置信水平95%的置信区间为［132.544,156.456］。5、某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到y=25，这些企业去年的平均产量为如=22。试估计今年该地区化肥总产量。又=—=2135=21.35—解析：由题可知x=22，N100y=25_Y=xZ=21.35癸=24.26则，该地区化肥产量均值Y的比率估计量为］24该地区化肥产量总值Y的比率估计量为Y=NYrT00*24.26=2426所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。一、分层随机抽样6、在分层随机抽样的分别比估计中：（1）试证明E*S=Y；（2）求出其方差。证明：根据题意：0E(y)=E(]Lw^hX)=E(l^WRRX)=1LwXE(R)RShxhhhhhhhTOC\o"1-5"\h\zh=1hh=1h=1\o"CurrentDocument"又0E(R)=Y:.上式=1LwXE(L)=1LwY=Y综上可得：E(yJ=Y

hXhhXhhRS解：由第一问可知V(y)=V(^LwRrX)=]£w2V(RX)RShhhhhhh=1h=1而V(RX)=V(y)=1-f(S2-2RS+R2S2)-V(y)=Lw2-1—fh(s2-2RS+R2S2)yRShnyhhyxhhxhnyyxxnyyh=1h8、调查某地区居民的奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查后各层样本户的奶制品年消费支出的中间结果如下表所示：层号（h）层权（％）样本量样本平均值（元）第h层样本方差10.07021039.51623.722220.140410105.52166.666730.263210165.08205.555640.52631023.0193.333请估计该地区居民奶制品的年消费总支出及其95%的置信区间。解析：根据表中的数据可得Y广X半广209650（元）；h=1估计量方差V顶）的无偏估计为v（jY）=Zn（N-n）s2/n牝5.386x108，ststhhhhhh=1进而有\：v（Y）f.386x108n23207.6（元）。Y的95%的置信区间为Y±zgv（Y），其中/=1.96，经计算可得stst0.025*st0.025因此，可以有95%的把握认为该地区居民奶制品的年消费总支出在164163~255137元之间。7、试述分别比估计和联合比估计的比较。答：如果每一层都满足比率估计量有效的条件，则除非hRR，都有分别比率估计量的方差小于联合比率估计量的方差。但当每层的样本量不太大时，还是采用联合比率估计量更可靠些，因为这时分别比率估计量的偏倚很大，从而使总的均方误差增大。实际使用时，如果各层的样本量都较大，且有理由认为各层的比率hR差异较大，则分别比率佑计优于联合比率估计。当各层的样本量不大，或各层比率hR差异很小，则联合比率估计更

好些。三、等概率整群抽样和多阶段抽样9、邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个群，每群10户，现随机抽取4个群，取得资料如下表所示:群各户订报数y..ij11，2，1，3，3，2，1，4，1，11921，3，2，2，3，1，4，1，1，22032，1，1，1，1，3，2，1，3，11641，1，3，2，1，5，1，2，3，120试估计平均每户家庭订报份数及总的订报份数，以及估计量的方差。解：由题意得到N=400，n=4，M=10，f=—=—=0.01N400士后亍=1了19+20+16+20故Y=y=——乙y==1.875（份）Mni10x4i=1y=M-y=10x1.875=18.75（份）Y=M•N•y=10x400x1.875=7500（份）s2=MX（y-y）2bn-1,]i于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875,估计量方差为0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。10、某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的抽样都是简单随机抽样,样本宿舍拍照人数12样本宿舍拍照人数1220314251样本宿舍拍照人数61708191100试估计拍摄过个人艺术照的女生比例，并给出估计的标准差。解：题目已知N=200,n=10,M=6，m=3，f=—=也=0.05，f=—=0.51N2002ms(p)=、jVp=*'0.005747=0.0758在置信度95%下，p的置信区间为(p土tv;vCp))=(0.3土1.96x0.0758)=(0.151432,0.448568)。a/2■四、不等概抽样11、某公司欲了解职工上班交通所需的时间，该公司共有5个部门，根据每个部门的人数采用PPS抽样出2个部门，并在2个部门中采用简单随机抽样分别抽出5名职工，调查结果部门i职工人数Mi时间(分钟)yij12040，10，20，30，4023560，30，20，60，30试估计该公司职工上班交通评价所需的时间，并给出估计的标准差。=Y:.y==34(分钟)，M0所需时间为34分钟。TOC\o"1-5"\h\z解：已知n=2，m=5，定—y^=340设公司总人数为M0由于这个样本是自加权的，i=1j=1]所以有：Y=M建my=MX340=34=Y:.y==34(分钟)，M0所需时间为34分钟。所以该公司职工上班交通平均v建—(一y)=—x^40一34)2+(10一34、+A+(60一34、+nm.],]ij10=—x2440=24410()4)「.sy=vy=15.62(分钟)。五、系统抽样12、检查某书稿上的错别字，每隔5页检查一页上的错字数，系统抽取30页样品后的检查10865988599910431234063503004080试估计这本书稿的平均错字数，并估计抽样方差。解：由题，N=30，k=5，则n=30/5=6则按照所给顺序等距抽样，可能样本如下:对于系统抽样，作为y的简单估计，二是y的无偏估计量，根据上表中的数据，y=1交y-4.73334巧5rr=1总体方差S2=-^~室6（Y-y）=11.8575N-1rjr=1j=1平均样本内方差S2=5（17.4667+7.4667+6.5667+11.4667+18.9667）=12.3867（—）N—1k（n—1）则。：V\y）=nS2———n——S2=1.14。六、综合知识点13、判断题（每题1分，共10分）1、总体比率R与总体比例P两者是一样的概念，只是符号不一样。（）2、比估计量是有偏估计量。（）3、分层抽样在划分层时，要求层内差异尽可能大，层间差异尽可能小。（）4、对于同一总体，样本容量同抽样标准误差之间是正相关关系。（）5、整群抽样设计总是比简单随机抽样效率低。（）6、其他条件相同时，重复抽样的误差小于不重复抽样的误差。（）7、设总体容量为N，样本容量n，采用有顺序放回简单随机抽样，样本配合种数为CN°（）8、一个调查单位只能对接与一个抽样单位。（）9、营业员从笼中抓取最靠近笼门的母鸡，该种抽样方式属于非概率抽样。（）10、当调查单位的抽样框不完整时