电工电子技术-正弦交流电路

2.1单相交流电路的基本概念2.2正弦交流电的相量表示法2.3单一参数的正弦交流电路2.4多参数组合的正弦交流电路第2章正弦交流电路了解单相交流电路中的几个基本概念掌握正弦量的基本特征及相量表示法理解和掌握R、L、C三大基本元件的伏安关系掌握多参数组合电路的简单分析与计算方法熟悉提高功率因数的意义和方法理解有功功率、无功功率及视在功率的概念学习目的与要求2.1单相交流电路的基本概念大小和方向均随时间变化的电压或电流称为交流电。如等腰三角波矩形脉冲波正弦波其中，大小和方向均随时间按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电。正弦交流电广泛应用于工农业生产、科学研究及日常生活中，了解和掌握正弦交流电的特点，学会正弦交流电路的基本分析方法，是本章学习的目的。1.正弦交流电的周期、频率和角频率正弦量变化一个循环所需要的时间称周期，用T表示。T=0.5s正弦量一秒钟内经历的循环数称为频率，用f表示。正弦量一秒钟内经历的弧度数称为角频率，用ω表示。显然三者是从不同的角度反映的同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。1秒钟f=2Hz单位是赫兹单位是秒ω=4πrad/s单位是每秒弧度2.正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值正弦量随时间按正弦规律变化，对应各个时刻的数值称为瞬时值，瞬时值是用正弦解析式表示的，即：

瞬时值是变量，注意要用小写英文字母表示。瞬时值对应的表达式应是三角函数解析式。(1)瞬时值(2)最大值正弦量振荡的最高点称为最大值，用Um(或Im)表示。有效值是指与正弦量热效应相同的直流电数值。Ri交流电流i通过电阻R时，在t时间内产生的热量为Q；例直流电流I通过相同电阻R时，在t时间内产生的热量也为Q。两电流热效应相同，可理解为二者做功能力相等。我们把做功能力相等的直流电的数值I定义为相应交流电i的有效值。有效值可确切地反映正弦交流电的大小。(3)有效值

有效值是根据热效应相同的直流电数值而得，因此引用直流电的符号，即有效值用U或I表示。RI

理论和实践都可以证明，正弦交流电的有效值和最大值之间具有特定的数量关系，即：3.正弦交流电的相位、初相和相位差显然，相位反映了正弦量随时间变化的整个进程。

初相确定了正弦量计时始的位置，初相规定不得超过±180°。(1)相位(2)初相相位是随时间变化的电角度，是时间t

的函数。初相是对应t=0时的确切电角度。正弦量与纵轴相交处若在正半周，初相为正。正弦量与纵轴相交处若在负半周，初相为负。例u、i

的相位差为：

显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等于它们的初相之差。已知(3)相位差，求电压与电流之间的相位差。解注意不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差不得超过±180°!思考回答何谓正弦量的三要素？它们各反映了什么？耐压为220V的电容器，能否用在180V的正弦交流电源上？何谓反相？同相？相位正交？超前？滞后？正弦量的三要素是指它的最大值、角频率和初相。最大值反映了正弦量的大小及做功能力；角频率反映了正弦量随时间变化的快慢程度；初相确定了正弦量计时始的位置。

不能！因为180V的正弦交流电，其最大值≈255V>180V!u1与u2反相，即相位差为180°；u3ωtu4u2u1uu3超前u190°，或说u1滞后u390°，二者为正交的相位关系。u1与u4同相，即相位差为零。2.2正弦交流电的相量法相量特指与正弦量具有一一对应关系的复数。如：正弦量的最大值对应复数A的模值；

ωu显然，复数A就是正弦电压u的相量。二者具有一一对应关系。正弦座标复数座标正弦量的初相与复数A的幅角相对应；

正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω；

正弦量的的相量是是用复数表示的。。因此学学习相量量法之前前应首先先复习巩巩固一下下有关复复数的概概念及其其运算法法则。复数A在复平面面上是一一个点；；a2a1A原点指向向复数的的箭头称称为复数数A的模值，用a表示；；模a与正向向实轴轴之间间的夹夹角称称为复复数A的幅角，用ψ表示；A在实轴上的的投影是它它的实部数值a1；复数A用代数形式可表示示为由图可得出出复数A的模a和幅角ψ与实部、虚虚部的关系系为：aA在虚轴上的的投影是它它的虚部数值a2；＋j＋10由图还可得得出复数A与模a及幅角ψ的关系为：复数在电学中中还常常用极坐标形式表示为：由此可推得A的三角函数表达式为：＋j0a2＋1a1Aa复数的表示形形式有多种，，它们之间可可以相互转换换。已知复数A的模a=5，幅角ψ=53.1°°，试写出复数数A的极坐标形式式和代数形式式表达式。根据模和幅角可直接写出极坐标形式：A=5/53.1°由此可得复数数A的代数形式为为：解实部虚部例显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复复数相乘、除时用极坐标形式比较方便。设有两个复数数分别为：A、B加、减、乘、、除时运算公公式如下：复数的运算法法则在复数运算当当中，一定要要根据复数所所在象限正确确写出幅角的的值。如：注意：上式中的j称为旋转因子，一个复数乘乘以j相当于在复平面上逆时针针旋转90°；除以j相当于在复平平面上顺时针针旋转90°。※数学课程中旋旋转因子是用用i表示的，电学学中为了区别别于电流而改为为j。+1+j034-3-4ABCD与正弦量相对对应的复数形形式的电压和和电流称为相量。为区别与一一般复数，相相量的头顶上上一般加符号号“·”。例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°°)A的最大值相量量表示为：其有效值相量量为：由于一个电路路中各正弦量量都是同频率率的，所以相相量只需对应正弦量的的两要素即可可。即模值对应正弦量的的最大值或有效值，幅角对应正弦量的的初相。正弦量的相量量表示法把它们表示为为相量后画在在相量图中。。已知两正弦量量两电压的有效效值相量为画在在相相量量图图中中：：熟练练后后可可直直接接画画作作正弦弦量量的的相相量量图图表表示示法法按照照各各个个正正弦弦量量的的大小小和相位位关系系用用初始始位位置置的的有有向向线线段画出出的的若若干干个个相相量量的的图图形形，，称称为为相量量图图。+1+j0选定定某某一一个个量量为为参参考考相相量量，，另另一一个个量量则根根据据与与参参考考量量之之间间的的相相对对位位置置画画出出。。例分析析利用用相相量量图图中中的的几几何何关关系系，，可可以以简简化化同同频频率率正正弦弦量量之之间的的加加、、减减运运算算及及其其电电路路分分析析。。举举例例如如下下：：U利用用相相量量图图辅辅助助分分析析，，U2U1根据据平平行行四四边边形形法法则则，，量图图可可以以清清楚楚地地看看出出：：U1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2由相量与与正弦量量之间的的对应关关系最后后得例解三角函数数运算由由几何分分析运算算所替代代，化复复杂为简简单！由相形的勾股股弦定理理：根据直角角三角夹角φ检验学习习结果如何把代代数形式式变换成成极坐标标形式？？极坐标形形式又如如何化为为代数形形式式？相量等于于正弦量量的说法法对吗？？正弦量的的解析式式和相量量式之间间能用等等号吗？？利用几何何图形关关系，如如利用三角角函数关关系，如如说法不对对！相量量和正弦弦量之间间只有对对应关系系，没有有相等之说。因因此，解解析式和和相量式式之间不不能画等等号！2.3单一参数数的正弦弦交流电电路2.3.1电阻元件件1.电阻元件件上的电电压、电电流关系系iR

u电流、电电压的瞬瞬时值表表达式相量图u、i即时对应应！u、i同相！u、i最大值或或有效值值之间符合欧姆定律律的数量量关系。相量关系系式UI2、电阻元元件上的的功率关关系(1)瞬时功率率p瞬时功率率用小写写！则结论：1.p随时间变变化；2.p≥0；耗能元件件。uip=UI-UIcos2tUI－UIcos2tωtuip0由:可得瞬时时功率在在一个周周期内的的平均值值:P=UI求“220V、100W”和“220V、40W””两灯泡的的电阻。。平均功率率用大写写！可见，，额定定电压压相同同时，，瓦数数越大大的灯灯泡，，其灯灯丝电电阻越越小。。而电电压一一定时时，瓦瓦数越越大向向电源源吸取取的功功率越越多，，视其其为大大负载载。学学习时时一定定要区区别大大电阻阻和大大负载载这两两个概概念。。(2)平均功功率P(有功功功率)把ui数量关关系代代入上上式：：例解2.3.2电感元元件1.电感元元件上上的电电压、、电流流关系系i

uL电流、、电压压的瞬瞬时值值表达达式导出u、i的有效效值关关系式式：u、i动态关关系！u在相位位上超超前i90°°电角！上式称称为电感元元件上的欧姆定定律表表达式式。Lu、i最大值值的数数量关关系为为：IU相量图图为：：电感元元件上上的电电压、、电流流相量量关系系式为为：式中XL称为电电感元元件的的电抗抗，简简称感感抗。。感抗抗反映映了电电感元元件对对正弦弦交流流电流流的阻阻碍作作用。。单位位也是是[Ω]。感抗与与哪些些因素素有关关？直流情情况下下感抗抗为多多大？？感抗与频率率成正比，，与电感量L成正比。直流情况下下频率f等于零，因因此感抗等等于零，电电感元件相相当于短路路。2、电感元元件的功功率（1）瞬时功功率p则uip=ULIsin2tωtui关联,吸收电能能;建立磁场场;p>0ui非关联,送出能量量;释放磁能能;p<0ui关联,吸收电能能;建立磁场场;p>0ui非关联,送出能量量;释放磁能能;p<0p为正弦波波，频率率为ui的2倍；在一一个周期期内，L吸收的电电能等于于它释放放的磁场场能。问题与讨论2.能从字面面上把无无功功率率理解为为无用之之功吗？？f变化时XL随之变化化，导致致电流i变化。不能！感感性设备备如果没没有无功功功率，，则无法法工作！！无功功功率意味味着只交交换不消消耗。为和有功功功率相相区别，，无功功功率的单单位定义义为乏尔[Var]。（2）平均功功率P电感元件件不耗能能！电感元件件虽然不不耗能，，但它与与电源之之间的能能量交换换始终在在进行，，这种电能和磁磁场能之之间交换换的规模模可用无功功率率来衡量。。即：1.电源电压压不变，，当电路路的频率率变化时时，通过电感感元件的的电流发发生变化化吗？（3）无功功功率Q电路理论论中的电电容元件件是实际际电容器器的理想想化模型型。如下下图所示示。两块平行行的金属属极板就就可构成成一个电电容器。。

C在外电源源作用下下，电容容器两极极板分别别存贮等等量的异异性电荷荷形成电电场。+－US+q-qE电容器的的储能本本领用电电容量C表示：式中电荷荷量q的单位是是库仑[C]；电压u的单位是是伏[V]；电容量C的单位为为法拉[F]。实用中还还有较小小的单位位，它们们之间的的换算关关系如下下：2.3.3电容元件件能够容纳纳和存储储电荷的的器件1F=106μF=109nF=1012pF设UICi超前u90°电角！1.电容元件上的的电压、电流流关系则ui相量表达式

C

u

iC其中称为电容元件件的电抗，简简称容抗。容抗反映了了电容元件对对正弦交流电电流的阻碍作用。相量图i和u有效值符合欧欧姆定律！2.电容元件的功功率(1)瞬时功率p瞬时功率iup=UICsin2tωtui关联,电容充电;建立电场;p>0ui非关联,电容放电;释放能量;p<0ui关联,电容充电;建立电场;p>0ui非关联,电容放电;释放电能;p<0电容器的基本本工作方式是是充放电。在一个周期内内C充电吸收的电电能等于它放放电时释放的的电能。电容元件不耗耗能！容抗与频率成成反比，与电电容量成反比比。直流情况下频频率f等于零，因此此容抗等于无无穷大，即直直流下电容器器相当于开路。[Var]（2）平均功率P电容元件不耗耗能！电容元件和电电源之间的能能量交换规模模也是用无功功率衡量的。即：：（3）元功功率Q问题与讨论1.直流情况下，，电容器的容容抗多大？2.容抗与哪些因因素有关？1、电感元件在在直流、高频频交流电路中中如何？2、电容元件在在直流、高频频交流电路中中如何？3、无功功率能能否认为是无无用之功？如如何正确理解解无功功率的的概念？有功功功率、无功功功率的单位位相同吗？4、感抗、容抗抗和电阻有何何相同？有何何不同？5、电压、电流流相位如何时时只吸收有功功功率？只吸吸收无功功率率时二者相位位又如何？6、即时元件指指得是什么？？动态元件又又指的是什么么？所谓即时时和动态是根根据什么而言言的？7、电容器的主主要工作方式式是什么？电电容器的极间间电压很大时时，是否此时时电流也一定定很大？8、你能得出电电容和电感两两元件之间有有哪些特点吗吗？练习与思考想想练练练1.电阻元件在交交流电路中电电压与电流的的相位差是多多少？判断下列表达达式的正误。。2.纯电感元件在在交流电路中中电压与电流流的相位差是是多少？感抗与频频率有何关系系？判断下列列表达式的正正误。3.纯电容元件在在交流电路中中电压与电流流之间的相位位差是多少？容抗与与频率有何关关系？判断表表达式的正误误。2.4多参数组合的的正弦交流电电路I

U

URajXLR－jXC

UL

UCb电路相量模型型1、R、L、C串联电路的相相量分析法设可得对假想回路列列相量形式的的KVL方程：为电路参考相相量式中复阻抗Z的模值对应正正弦交流电路路中的阻抗|Z|，幅角对应总总电压与电流流的相位差。。阻抗|Z|反映了多参数数串联电路对对正弦交流电电流总的阻碍作用。阻阻抗的单位是是欧姆[Ω]。对R、L、C串联电路进行行相量分析IULURUCURLC串联电路相量量图式中由相量图可导导出几个三角角形UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)由相量图可以以看出：UX=UL+UC÷I=阻抗三角形×I2=功率三角形复功率SSPj(QL-QC)注意：上述三角形形都是按照感感性电路画出出的。其中复复功率的模对对应电路的总总功率S，通常称为视视在功率(表观功率)。UURUX电压三角形ZRj(XL-XC)阻抗三角形功率三角形SPj(QL-QC)电压三角形是相量图。它不仅定性性反映各电压压间的数量关关系，还可反反映各电压间间的相位关系系。阻抗三角形不是相量图！它的各条边边仅仅反映了了各个复阻抗抗之间的数量量关系。功率三角形也也不是相量图！其各边也是是仅仅表明了了各种功率之之间的数量关关系。2.多参数组合串串联电路的功功率观察三个三角角形可看出：：同相位的电电压和电流构构成了有功功功率P，显然这是由由电阻元件耗耗能的电特性性决定的。P的单位是瓦特。有功功率的的能量转换过过程是不可逆逆的。由几个三角形形还可看出：：正交关系的的电压和电流流构成的是无无功功率Q，电感元件的的QL为正；电容元元件的QC为负。Q的单位是乏尔。无功功率的的能量转换过过程可逆。视在功率是电电路中的总功功率，它包含含了有功功率率和无功功率率。S的单位是伏安。视在功率表表征电源或设设备的总容量量。有关电路性质质的讨论由可知，电路的的性质取决于于电抗UX。当时，UX>0，电路呈感性性，u超前i一个φ角；时，UX<0，电路呈容性性，u滞后i一个φ角；时，UX=0，电路呈阻性性，u和i同相，φ=0。IULURUCUUX=UL+UCIULURUCUUX=UL+UCUX=0IULURUCU同理：在含有L和C的电路中，出出现总电压与与电流同相的的阻性电路时时，称电路发发生了谐振。电路发生谐振振时，情况比比较特殊。由由于谐振时电电抗为零，所所以阻抗最小小；电压一定定时谐振电流流最大；在L和C两端将出现过过电压情况等等等。电力系统中的的电压一般为为380V和220V，若谐谐振发发生出出现过过电压压时，，极易易损坏坏电器器，因因此应应避免免谐振振的发发生。。谐振振现象象被广广泛应应用在在电子子技术术中。。想想练练练交流电电路中中的三三种功功率，，单位位上有有什么么不同同？有功功功率、、无功功功率率和视视在功功率及及三者者之间间的数数量关关系如如何？？阻抗三三角形形和功功率三三角形形是相相量图图吗？？电压压三角角形呢呢？你你能正正确画画出这这几个个三角角形吗吗？在含有有L和C的电路路中出出现电电压、、电流流同相相位的的现象象，称称为什什么？？此时时RLC串联电电路中中的阻阻抗如如何？？电压压一定定时电电流如如何？？L和C两端有有无电电压？？多大大？3.功率因因数电力设设备如如变压压器、、感应应电动动机、、电力力线路路等，，除从从电力力系统统吸取取有功功功率率外，，还要要吸取取无功功功率率。无无功功功率仅仅完成成电磁磁能量量的相相互转转换，，并不不作功功。无无功和和有功功同样样重要要，没没有无无功，，变压压器不不能变变压，，电动动机不不能转转动，，电力力系统统不能能正常常运行行。但但无功功功率率占用用了电电力系系统发发供电电设备备提供供有功功功率率的能能力，，同时时也增增加了了电力力系统统输电电过程程中的的有功功功率率的损损耗，，导致致用电电功率率因数数降低低。式中cosφ称为电电路的的功率率因数数。可得世界各各国电电力企企业对对用户户的用用电功功率因因数都都有要要求，，并按按用户户用电电功率率因数数的高高低在在经济济上给给予奖奖惩。。功率率因因数数是是电电力力技技术术经经济济中中的的一一个个重重要要指指标标。。提提高高功功率率因因数数意意味味着着：：1)提高高用用电电质质量量，，改改善善设设备备运运行行条条件件，，保保证证设设备备在在正正常常条条件下下工工作作，，有有利利于于安安全全生生产产；；2)可节节约约电电能能，，降降低低生生产产成成本本，，减减少少企企业业的的电电费费开开支支。。例例如：：当当cosφ=0.5时的的损损耗耗是是cosφ=1时的的4倍；；3)提高高企企业业用用电电设设备备利利用用率率，，充充分分发发挥挥企企业业的的设设备备潜潜力力；；4)减少线路路的功率率损失，，提高电电网输电电效率；；5)因发电机机容量的的限定，，提高功功率因数数将意味味着让发发电机多输出有有功功率率。为什么要要提高功功率因数数？1.避免感性性设备的的空载和和减少其其轻载；；提高功率率因数的的方法2.在线路两两端并联联适当电电容。提高功率率因数的的意义1.提高供电电设备的的利用率率；2.减少线路路上的能能量损耗耗。一台功率率为1.1kW的感应电电动机，，接在220V、50Hz的电路中中，电动动机需要要的电流流为10A，求：(1)电动机的的功率因因数；(2)若在电动动机两端端并联一一个79.5μF的电容器器，电路路的功率率因数为为多少？？（1）（2）设未并联电容容前电路中的的电流为I1；并联电容后后，电动机中中的电流不变变，仍为I1，但电路中的的总电流发生生了变化，由由I1变成I。电流相量关关系为：画电路相量图图分析：UIICI1IC例解UIICI1IC可见，电路并并联了电容C后，功率因数数由原来的0.5提高到了0.845，电源利用率率得以提高。