材料力学Ⅰ电子教案

第八章组合变形及连接部分的计算§8-1概述§8-2双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲§8-2+平面弯曲的条件§I-4惯性矩和惯性积转轴公式·

截面的主惯性轴和主惯性矩§8-3拉伸（压缩）与弯曲的组合变形§8-4扭转和弯曲的组合变形§8-5连接件的实用计算法§8-6铆钉和螺栓连接的计算*§8-7榫齿连接1§8-1概述构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形（combineddeformation）。Ⅰ.

组合变形烟囱（图a）有侧向荷载（风荷，地震力）时发生弯压组合变形。

第八章组合变形及连接部分的计算2齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。第八章组合变形及连接部分的计算吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生弯压组合变形。3两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于组合变形。第八章组合变形及连接部分的计算(d)4

对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。5Ⅱ.连接件的实用计算螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。第八章组合变形及连接部分的计算连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。FF/2nF/2n6键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。第八章组合变形及连接部分的计算7第八章组合变形及连接部分的计算工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominalstress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法（engineeringmethodofpracticalanalysis）。8§8-2双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。第八章组合变形及连接部分的计算故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。9第八章组合变形及连接部分的计算图示悬臂梁x截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：由于水平外力F1由于竖直外力F2弯曲正应力弯矩My(x)=F1x

Mz(x)=F2(x-a)10这里弯矩的的正负号系系根据图b所示，由右右手螺旋法法则按它们们的矢量其其指向是否否与y轴和z轴的指向一一致来确定定的。在F1和F2共同作用下下x截面上C点处的正应应力为第八章组组合变形形及连接部部分的计算算11利用上式固固然可求算算x截面上任意意点处的弯弯曲正应力力，但对于于图中所示示那类横截截面没有外外棱角的梁梁，由于My单独作用下下最大正应应力的作用用点和Mz单独作用下下最大正应应力的作用用点不相重重合，所以以还不好判判定在My和Mz共同作用下下最大正应应力的作用用点及其值值。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算12注意到在F1作用下x截面绕中性性轴y转动，在F2作用下x截面绕中性性轴z转动,可见在F1和F2共同作用下下，x截面必定绕绕通过y轴与z轴交点的另另一个轴转转动，这个个轴就是梁梁在两个相相互垂直平平面内同时时弯曲时的的中性轴，其上坐标为为y，z的任意点处处弯曲正应应力为零。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算13故有中性轴轴的方程：：中性轴与y轴的夹角q（图a）为第八章组组合变形形及连接部部分的计算算其中j角为合成弯矩与y的夹角。14第八章组组合变形形及连接部部分的计算算这就表明，，只要Iy≠Iz，中性轴的方方向就不与与合成弯矩矩M的矢量重合合，亦即合合成弯矩M所在的纵向向面不与中中性轴垂直直，或者说，梁的弯曲方方向不与合合成弯矩M所在的纵向向面重合。正因为这这样，通常常把这类弯弯曲称为斜弯曲（obliquebending）。15确定中性轴轴的方向后后，作平行行于中性轴轴的两直线线，分别与与横截面的的周边相切切，这两个个切点（图图a中的点D1，D2）就是该截截面上拉应应力和压应应力为最大大的点。从从而可分别别计算水平平和竖直平平面内弯曲曲时这两点点的应力，，然后叠加。。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算16(c)对于如图c所示横截面面具有外棱棱角的梁，，求任何横横截面上最最大拉应力力和最大压压应力时，，可直接按按两个平面面弯曲判定定这些应力力所在点的的位置，而而无需定出出中性轴的的方向角q。工程计算中中对于实体体截面的梁梁在斜弯曲曲情况下，，通常不考考虑剪力引引起的切应应力。17对于图示悬悬臂梁，试试问：4.该梁自由端端的挠度（（大小和方方向）如何何计算？2.在固定端处处梁的中性性轴又大致致在什么方方向？3.在固定端和和F2作用截面之之间，梁的的中性轴的的方向是否否随横截面位置变化化？1.外力F2作用截面处处梁的中性性轴在什么么方向？思考:第八章组组合变形形及连接部部分的计算算18例题8-1图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载集度为q

(N/m)，集中荷载为。试求梁的许可荷载集度[q]。已知：a=1m;20a号工字钢：Wz=237×10-6m3，Wy=31.5×10-6

m3；钢的许用弯曲正应力[s]=160MPa。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算x19()解：1.将集中荷载载F沿梁的横截截面的两个个对称轴分分解为()x202.作梁的计算算简图（图图b），并分别别作水平弯弯曲和竖直直弯曲的弯弯矩图—My图和Mz图（图c,d）。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算213.确定此梁的的危险截面面。A截面上My最大，MyA=0.642qa2,该截面上Mz虽不是最大大，但因工工字钢Wy<<Wz，故A截面是可能能的危险截截面。D截面上Mz最大：故D截面也是可可能的危险险面。为确确定危险截截面，需比比较A截面和D截面上的最最大弯曲正正应力。MzD=0.456qa2，MyD=0.444qa2，且22zMzAyzMyAyzyD1D2第八章组组合变形形及连接部部分的计算算由于，，可见A截面为危险险截面。危危险点在A截面上的外外棱角D1和D2处。23根据强度条条件，，有（21.5××10-3)q≤160××106Pa4.求许可荷载载集度[q]。于是有[q]=7.44×103N/m=7.44kN/m从而得第八章组组合变形形及连接部部分的计算算24§8-2+平面弯曲的的条件§8－2中讨论的是是具有双对对称截面的的梁在两个个相互垂直直的纵向对对称面内同同时发生弯弯曲的情况况，其实质质就是两个个相互垂直直的纵向面面内平面弯弯曲的组合合。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算x25现在的问题题是，如果果梁的横截截面只有一一个对称轴轴（图a）而荷荷载作作用在在与对对称轴轴垂直直的方方向，，或者者横截截面根根本就就没有有对称称轴（（图b），那那么还还会发发生平平面弯弯曲吗吗？荷荷载沿沿什么么方向向的形形心轴轴时才才会发发生平平面弯弯曲呢呢？这这就要要分析析梁发发生平平面弯弯曲的的条件件。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算26zzyycdAsdA(a)-+(b)横截面面如图图a所示无无对称称轴的的梁，，如果果横截截面绕绕形心心轴z转动发发生平平面弯弯曲，，则根根据平平面假假设，，横截截面上上的正正应力力在与与z轴垂直直的y轴方向向按线线性规规律变变化（（图b），即即；而这些些正应应力不不应构成成对y轴的力力矩，，故应应有，，亦即即应有有第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算27第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算由此可可知，，如果果梁发发生平平面弯弯曲而而z轴为中中性轴轴，则则必须须满足足换句话话说，，如果果梁上上的荷荷载所所产生生的弯弯矩作作用在在包含含满足足的的y轴的那那个纵纵向面面内，，则与与之垂垂直的的形心心轴z就是中中性轴轴，梁梁发生生平面面弯曲曲。反之如如果荷荷载产产生的的弯矩矩作用用在包包含z轴的纵纵向面面内，，亦发发生平平面弯弯曲。。zzyycdAsdA(a)28称为横横截面面对于于一对对相互互垂直直轴y,z的惯性积积（productofinertia）,用Iyz表示。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算而满足Iyz=0且通过过横截截面形形心的的一对对正交交轴（（y轴和z轴）称称为形形心主主惯性性轴（principalcentroidalaxisofinertia）。横截面面对于于形心心主惯惯性轴轴的惯惯性矩矩则称称为形心主主惯性性矩(principalcentroidalmomentofinertia)。zzyycdAsdA(a)29显然当梁的的横截截面具具有一一个对对称轴轴时，，这个个对称称轴和和它垂垂直的的形心心轴都都是形形心主主惯性性轴，外力力产生生的弯弯矩作作用在在包含含其中中任何何一根根轴的的纵向向面内内时梁梁都发发生平平面弯弯曲。。下节讲讲述对对于没没有对对称轴轴的截截面确确定主主惯性性轴和和主惯惯性矩矩的相相关问问题。。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算30§Ⅰ-4惯性矩矩和惯惯性积积的转转轴公公式·截面的的主惯惯性轴轴和主主惯性性矩在下面面的分分析中中为使使结果果具有有普遍遍性，，坐标标轴的的原点点O并不要要求必必须是是形心心C。此外外，坐坐标轴轴按所所用教教材的的附录录I标为x轴和y轴。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算31Ⅰ.惯性性矩矩和和惯惯性性积积的的转转轴轴公公式式第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转a角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩,

和惯性积。32第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算由图图可可见见，，截截面面上上任任一一微微面面积积dA在x,y和x1,y1两个个坐坐标标系系中中坐坐标标的的关关系系为为于是是有有33利用用三三角角函函数数由上上式式得得（a）同理理，，根根据据有（b）（c）第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算式(a),(b),(c)就是是惯惯性性矩矩和和惯惯性性积积的的转转轴轴公公式式。。341.截面面对对于于任任何何轴轴的的惯惯性性矩矩是是否否总总是是正正值值？？截截面面对对于于相相互互垂垂直直的的一一对对轴轴的的惯惯性性积积是是否否可可能能是是负负值值？？思考考:2.将惯惯性性矩矩的的转转轴轴公公式式(a)和(b)相加加可可得得到到什什么么结结论论？？这这又又意意味味着着什什么么？？3.试利利用用从从基基本本概概念念上上论论证证(2)中的的问问题题。。第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算35Ⅱ.截面面的的主主惯惯性性轴轴和和主主惯惯性性矩矩有第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角，只需利用惯性积的转轴公式令便可导出。由36以此代入入惯性矩矩的转轴轴公式即即得主惯惯性矩的的计算公公式：第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算根据上式式利用三三角函数数关系将将和和写写为37（c）与§7-2中关于平平面应力力状态下下求a斜截面上上正应力力和切应应力的公公式完全全相似：：（7-1）（7-2）第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算注意到惯惯性矩的的转轴公公式(a)和惯性积积的转轴轴公式(c):（a）38(Ix,Ixy)Ix0IxyIx,Iy(-)(Iy,-Ixy)(Ix1,Ix1y1)Iy02a02a而惯性矩矩转轴公公式(b)所示的的表达达式实际际上只需需在的表达式式(a)中以(a+90)代替a即得，这这与求sa+90也完全相相似。因因此惯性矩和和惯性积积的转轴轴公式也也可用与与应力圆圆类似的的一个圆圆——惯性圆来来表达。上述计计算主惯惯性轴方方向角和和主惯性性矩值的的公式也也就可根根据惯性性圆上的的几何关关系来记忆。。由惯性圆圆显然可可见，主主惯性矩矩和和就就是截截面对于于通过同同一点的的所有轴轴的惯性性矩中的的极大值值Imax和极小值值Imin。39第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算在确定截截面的形形心主惯惯性轴位位置和计计算形心心主惯性性矩时，，须先确确定截面面的形心心C的位置，，并取一一对通过过形心而而相互垂垂直的轴轴xC,yC作为参考考轴，计计算出，，，，然后求主主惯性轴轴的方向向角a0和主惯性性矩和和。。xCyCCxC0yC0a0a0401.试根据惯惯性积的的转轴公公式判断断是否任任何形心心轴都是是形心主主惯性轴轴？思考:对于正方方形截面面:2.试根据惯惯性矩的的转轴公公式判断断截面对对于任何何形心轴轴的惯性性矩的值值是否都都是相等等的？第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算41对于由若干基本几何图形组成的截面(例如图中所示者)，在求,和时需要应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式。前已在第四章中讲述了惯性矩的平行移轴公式及其应用。下面讲述惯性积的平行移轴公式。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算42Ⅲ.惯性积的的平行移移轴公式式(参见教材材附录§I－3)图示任意意形状的的截面对对于坐标标轴x,y的惯性积积Ixy可以由截截面对分分别平行行于x,y轴的形心心轴xC，yC的惯性积积IxCyC，以及截截面形心心C在x,y坐标系中中的坐标标求求出出如下：：第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算43这就是惯惯性积的的平行移轴轴公式。应该注意意的是：：(1)公式中的的IxCyC必须是截截面对于于一对形形心轴的的惯性积积；(2)公式中的的a，b是指截面面形心在在平行移移动后的的坐标系系x，y中的坐标标，它是是有正负负的。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算44例题Ⅰ-7试确定图图示不等等边L形截面的的形心主主惯性轴轴的方向向，并计计算截面面的形心心主惯性性矩。截截面形心心C的位置已已示于图图中。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算45矩形Ⅰ的形心在在参考坐坐标系xC,yC中的坐标标为aΙ=15mm,bI=20mm矩形Ⅱ的形心在在参考坐坐标系中中的坐标标为aⅡ=-25mm,bⅡ=-35mm解：1.取与截面面周边平平行的形形心轴xC，yC作为参考考轴。将将截面分分为Ⅰ，Ⅱ两个矩形形(如图所示示)AⅠ=1200mm2,AⅡ=700mm2第八章组组合变形形及连接部部分的计算算46第八章组组合变形形及连接部部分的计算算2.利用平行移轴公式求截面的,

和47由于通过矩矩形Ⅰ和Ⅱ各自形心而而平行于xC，yC的轴是它们们各自的对对称轴，故故上式在计计算中每一一矩形对于于其一对相相互垂直的的形心轴的的惯性积为为零。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算483.确定截面的的形心主惯惯性轴xC0，yC0的方向第八章组组合变形形及连接部部分的计算算从所示惯性性圆可见，，2ao>180°,且为逆时针针转向，于于是由tan2a0=1.093和2a0=180°+47.6°=227.6°，而a0=113.8°。图中据此此示出了形形心主轴xC0和yC0。IxC0IxyIx,Iy(IxC,IxCyC)(IyC,-IxCyC)IyC02a049Ixy第八章组组合变形形及连接部部分的计算算504.该截面的形形心主惯性性矩为第八章组组合变形形及连接部部分的计算算51§8－3拉伸(压缩)与弯曲的组组合变形Ⅰ.横向力与轴轴向力共同同作用图a为由两根槽槽钢组成的的杆件，受受横向力F和轴向力Ft作用时的计计算简图，，该杆件发发生弯曲与与拉伸的组组合变形。。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算52轴向拉力会会因杆件有有弯曲变形形而产生附附加弯矩，，但它与横横向力产生生的弯矩总总是相反的的，故在工工程计算中中对于弯一拉组合变形形的构件可可不计轴向向拉力产生生的弯矩而而偏于安全全地应用叠叠加原理来来计算杆中中的应力。。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算53至于发生弯弯曲与压缩缩组合变形形的杆件，，轴向压力力引起的附附加弯矩与与横向力产产生的弯矩矩为同向，，故只有杆的弯弯曲刚度相相当大（大大刚度杆））且在线弹弹性范围内工作时才可可应用叠加加原理。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算54图a所示发生弯弯一拉组合合变形的杆杆件，跨中中截面为危危险截面，，其上的内内力为FN=Ft，。。该该横截面上上与轴力FN对应的拉伸伸正应力st为均匀分布布(图b)，，而与最大大弯矩Mmax对应的弯曲曲正应力在在上、下边边缘处(图c)，其绝对值第八章组组合变形形及连接部部分的计算算。55在FN和Mmax共同作用下下，危险截截面上正应应力沿高度度的变化随随sb和st的值的相对对大小可能能有图d,e,f三种情况。危危险截面上上的最大正正应力是拉拉应力：注意到危险险截面最大大拉应力作作用点（危危险点）处处为单向应应力状态，，故可把st,max直接与材料料的许用正正应力进行行比较来建建立强度条条件。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算56例题8－2图a所示折杆ACB由钢管焊成成，A和B处铰支,C处作用有集集中荷载F=10kN。试求此折折杆危险截截面上的最最大拉应力力和最大压应应力。已知知钢管的外外直径D=140mm，壁厚d=10mm。解：1.约束力FA=FB=5kN。折杆的受受力图如图图b。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算57根据对称性性，只需分分析折杆的的一半，例例如AC杆；将约束力FA分解为FAx=3kN和FAy=4kN后可知，AC杆的危险截截面为m-m(图b)，其上的内内力为FN=-FAx=-3kNMmax=FAy×2=8kN·m第八章组组合变形形及连接部部分的计算算可见见此此杆杆产产生生弯弯一一压压组组合合变变形形。。现现按按大大刚刚度度杆杆来来计计算算应应力力。。582.AC杆危危险险截截面面m-m上的的最最大大拉拉应应力力st,max和最最大大压压应应力力sc,max分别别在在下下边边缘缘f点处处和和上上边边缘缘g点处处(图b)：（a）3.根据据钢钢管管的的横横截截面面尺尺寸寸算算得得：：或第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算594.将FN和Mmax以及及A和W的值值代代入入式式(a)得注意意，，在在弯弯一一压压组组合合变变形形情情况况下下，，|sc,max|>st,max,故对对于于拉拉、、压压许许用用应应力力相相等等的的情情况况，，建建立立强强度度条条件件时时应应以以|sc,max|与许许用用正正应应力力进进行行比比较较。。倘倘若若材材料料的的许许用用拉拉应应力力[st]小于于许许用用压压应应力力[sc]，则则应应将将st,max和|sc,max|分别别与与[st]和[sc]比较较。。第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算60Ⅱ.偏心心拉拉伸伸(压缩缩)偏心心拉拉伸伸或或偏偏心心压压缩缩是指指外外力力的的作作用用线线与与直直杆杆的的轴轴线线平平行行但但不不重重合合的的情情况况。。第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算图a所示示等等直直杆杆受受偏偏心心距距为为e的偏偏心心拉拉力力F作用用，，杆杆的的横横截截面面的的形形心心主主惯惯性性轴轴为为y轴和和z轴。。61(1)偏心心拉拉(压)杆横横截截面面上上的的内内力力和和应应力力将偏偏心心拉拉力力F向其其作作用用截截面面的的形形心心O1简化化为为轴轴向向拉拉力力F和力力偶偶矩矩Fe，再再将将该该力力偶偶矩矩分分解解为为对对形形心心主主惯惯性性轴轴y和z的分分量量Mey和Mez(图b及图图c)：第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算Mey=Fesina=F··zF,Mez=Fecosa=F··yF62由于于Mey和Mez作用用在在包包含含形形心心主主惯惯性性轴轴的的纵纵向向面面内内，，故故引引起起的的都都是是平平面面弯弯曲曲。。可可见见偏心拉伸（压压缩）实为轴轴向拉伸（压压缩）与平面面弯曲的组合合，且当杆的弯弯曲刚度相当当大时可认为为各横截面上上的内力相同同。第八章组组合变形及连连接部分的计计算63图c所示任意横截截面n－n上的内力为FN=F,My=Mey=F·zF,Mz=Mez=F·yF横截面上任意意点C(y,z)处的正应力为为（b）第八章组组合变形及连连接部分的计计算64在工程计算中中，为了便于于分析一些问问题，常把惯惯性矩Iy和Iz写作如下形式式：上列式中的iy和iz分别称为截面面对于y轴和z轴的惯性半径(radiusofgyration)，其单位为m或mm；它们也是只只与截面形状状和尺寸有关关的几何量—截面的几何性性质。于是式式(b)亦可写作（c）上式是一个平平面方程，它它表明偏心拉拉伸时杆的横横截面上的正正应力按直线线规律变化。。第八章组组合变形及连连接部分的计计算65现在来确定横横截面绕着转转动的中性轴轴的位置。设设中性轴上任任意点的坐标标为y0，z0，以此代入式(c)并令s=0可得中性轴的的方程(2)偏心拉(压)杆横截面上中中性轴的位置置可见，偏心拉拉伸时中性轴轴为一条不通通过横截面形形心的直线（（图a）。第八章组组合变形及连连接部分的计计算66而中性轴在形形心主惯性轴轴y，z上的截距（图图b）为或第八章组组合变形及连连接部分的计计算由此还可知，，中性轴与偏偏心拉力作用用点位于截面面形心的相对对两侧。67中性轴与z轴的夹角b的正切为式中的角a为偏心拉力作作用点与截面面形心的连线线(亦即力偶矩Fe作用的纵向面面）和y轴之间的夹角角。第八章组组合变形及连连接部分的计计算68由此式可知：：1.若偏心拉力作作用在形心主主惯性轴y上(即tana=0)或者作用在形形心主惯性轴轴z上,则恒有tanb=tana,即中性轴垂直直于力偶矩Fe所在的纵向面面；第八章组组合变形及连连接部分的计计算2.当偏心拉力不不作用在任何何一根形心主主惯性轴而tana0,tana90°时，只要横截截面的形心主主惯性矩IzIy，则中性轴就不不与力偶矩Fe所在的纵向面面垂直。69(3)横截面上危险险点的位置对于没有外棱棱角的截面，，为找出横截截面上危险点点的位置，可可在确定中性性轴位置后作作平行于中性性轴的直线使使与横截面周周边相切(图b)，切点D1和D2分别就是最大大拉应力和最最大压应力的的作用点，根根据它们的坐坐标即可确定定最大拉应力力和最大压应应力的值。第八章组组合变形及连连接部分的计计算横截面有外棱棱角的杆件受受偏心拉伸时时，危险点必必定在横截面面的外棱角处处。(b)70它们叠加后的的应力则如图图d，图中还示出出了中性轴的的位置。第八章组组合变形及连连接部分的计计算例如，矩形截截面杆受偏心心拉力F作用时,其横截面上分分别对应于轴力F，弯矩My=F·zF和Mz=F·yF的正应力变化化规律如图a，b，c所示；71由此式还可以以看出，如果果偏心距e(亦即yF,zF)较小，则横截截面上就可能能不出现压应应力，亦即中中性轴不与横横截面相交。。最大拉应力st,max和最大压应力力sc,max作用在外棱角角D1和D2处，其值为第八章组组合变形及连连接部分的计计算72例题试求图示杆件件横截面上的的最大拉应力力和最大压应应力。外力F与杆件的轴线线平行。解：轴向外力F未通过横截面面形心，故杆杆件受偏心拉拉伸。第八章组组合变形及连连接部分的计计算731.确定横截面面形心的具具体位置横截面的形形心C必落在对称称轴z上，只需计计算形心距距参考轴y1的距离(图a)。(a)azy16a4a4aC*74该截面的形形心主惯性性矩Iy可利用惯性性矩平行移移轴公式可可知为形心主惯性性矩Iz则为第八章组组合变形形及连接部部分的计算算2.确定形心主主惯性轴，，并求形心心主惯性矩矩由于包含对对称轴在内内并通过形形心的一对对相互垂直直的轴就是是形心主惯惯性轴，故故图b中的y轴和z轴为形心主主惯性轴。。(b)azy6a4a4aC*753.计算横截面面上的内力力FN=F，My=F·2a，Mz=F·2a第八章组组合变形形及连接部部分的计算算(b)azy6a4a4aC*764.确定最大拉拉应力和最最大压应力力作用点位位置并计算算应力值杆的横截面面上的点D1处(图b)，对应于FN的为拉应力力，对应于于My和Mz的是各自最最大的拉应应力，可见见该点为st,max的作用点。。横截面上上点D2处，除对应应于FN的是与其它它点处等值值的拉应力力外，对应应于My和Mz的则是各自自最大的压压应力，可可见该点为为sc,max的作用点。。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算(b)azy6a4a4aC*D1D277Ⅲ.截面核心土建工程中中的混凝土土或砖、石石偏心受压压柱，往往往不允许横横截面上出出现拉应力力。这就要要求偏心压压力只能作作用在横截截面形心附附近的某个个范围内；；这个范围围称之为截面核心（coreofsection）。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算要使偏心压压力作用下下杆件横截截面上不出出现拉应力力，那么中中性轴就不不能与横截截面相交，，一般情况况下充其量量只能与横横截面的周周边相切，，而在截面面的凹入部部分则是与与周边外接接。截面核核心的边界界正是利用用中性轴与与周边相切切和外接时时偏心压力力作用点的的位置来确确定的。78图中所示任任意形状的的截面，y轴和z轴为其形心心主惯性轴轴。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算为确定截面面核心的边边界(图中的封闭闭曲线1-2-3-4-5-1)，可作一系系列与截面面周边相切切和外接的直线把把它们视为为中性轴。。79得出每一与与圆边相切切或外接的的直线（中中性轴）所所对应的偏偏心压力作作用点的位位置，亦即即截面核心心边界上相相应点的坐坐标ryi,rzi第八章组组合变形形及连接部部分的计算算根据这些直直线中每一一直线在y轴和z轴上的截距距ayi和azi即可由前面面已讲过的的中性轴在在形心主惯惯性轴上截截距的计算算公式80连接这些点点所得封闭闭曲线其包包围的范围围就是截面面核心。应应该注意的的是，截面核心的的每一边界界点与对应应的截面周周边上的切切线和外接接的直线（（中性轴））总是位于于截面形心心的相对两两侧。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算81(1)圆截面的截截面核心：：圆截面对圆圆心（形心心）O是极对称的的，因而其其截面核心心的边界必必然也是一一个圆心为为O的圆。作一一条如图所所示与截面面周边相切切的直线①，它在形心主惯惯性轴y和z上的截距为为而对于圆截面面有从而82这就是截面面核心边界界上点1的坐标。以以O为圆心，以以d/8为半径所作作的圆其包包围的范围围就是圆形形截面的截截面核心。。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算83一个外直径径为D，内直径为D/2的空心圆截截面，试检检验该截面面的：2.该截面核心为半径等于的圆。思考:1.对于形心主主惯性轴的的惯性半径径为,第八章组组合变形形及连接部部分的计算算84(2)矩形截面的的截面核心心图中y轴和z轴为矩形截截面的形心心主惯性轴轴。对于这这两根轴的的惯性半径径iy和iz的平方为第八章组组合变形形及连接部部分的计算算作与周边相相切的直线线①,②,③③,④④，将它们视为为中性轴，，根据它们们在形心主主惯性轴y,z上的截距便可求求得截面核核心边界上上的相应点点1，2，3，4。85现以计算与与周边上切切线①相应的核心边边界点1的坐标ry1，rz1例作具体计计算：截距核心边界点点坐标对应于周边边上其他三三条切线的的截面核心心边界点的的坐标可类类似地求得得，并也已已标注以图图中。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算86现在的问题题是,确定截面核核心边界上上的四个点点1，2，3，4后，相邻各各点之间应应如何连接接。实际上这就就是说，当当与截面相相切的直线线（中性轴轴）绕截面面周边上一一点旋转至至下一条与与周边相切切的直线时时，偏心压压力的作用点按什么么轨迹移动动。现以切切线①绕B点旋转至切切线②时的情况来来说明。87前面已讲过过，杆件偏偏心受力时时横截面上上中性轴的的方程为当中性轴绕一一点B转动时，位位于中性轴轴上的B点的坐标yB，zB不变，亦即即上式中的的y0，z0在此情况下下为定值yB，zB，而偏心压压力的作用用点yF，zF在移动，将将上式改写写为第八章组组合变形形及连接部部分的计算算显然，这是是关于yF，zF的直线方程。。88这表明，当当截面周边边的切线（（中性轴））绕周边上上的点转动动时，相应应的偏心压压力的作用用点亦即截截面核心的的边界点沿沿直线移动动。第八章组组合变形形及连接部部分的计算算于是在确定定截面核心心边界上的的点1，2，3，4后，顺次以以直线连接接这些点所所得到的菱菱形便是矩矩形截面的的截面核心心。该菱形形的对角线线长度分别别为h/3和b/3(如图所示)。89例题8－4试确定图示示T形截面的截面面核心。图图中y,z轴为形心主轴轴。已知：：截面积A=0.6m2；惯性矩Iy=48××10-3m4,Iz=27.5×10-3m4；惯性半径径的平方方以以及。解:对于周边边有凹入入部分的的截面，，例如槽槽形截面面、T形截面等等，确定定截面核核心边界界点所对对应的中中性轴仍仍然不应应与截面面相交，，也就是是在周边边的凹入入部分只只能以外外接直线线作为中中性轴。。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算90图中的6条直线①,②,…,⑥便是用以以确定该该T形截面核核心边界界点1,2……,6的中性轴轴；根据据它们各各自在形形心主惯惯性轴上上的截距距计算所得核心心边界的的结果如如下表所所示：0-0.1021-∞0.45①0.45∞-0.45-0.45∞ay-0.0740.10241.08④00.1023∞③-0.133050.60⑤0.2002-0.40②⑥中性轴编号

-0.074

-0.102

截面核心边界上点的坐标值/m

6对应的截面核心边界上的点

1.08az

中性轴的截距/m

第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算91注意到直直线（中中性轴））①，②，…，⑥，①中顺次编编号的相相邻直线线都是由由前一直直线绕定定点转动动到后一一直线，，故把核核心边界界点1，2，…，6，顺次连连以直线线便可得得到截面面核心的的边界。。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算92§8-4扭转和弯弯曲的组组合变形形机械中的的许多构构件在工工作时往往往发生生扭转与与弯曲的的组合变变形，而而且它们们多半是是实心或或空心圆圆截面杆杆，图中中所示传传动轴便便是一种种典型的的情况。。土建工工程中发发生扭－－弯组合合变形的的杆件往往往是非非圆截面面的。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算93本节讲述述圆截面面杆发生生扭－弯弯组合变变形时的的强度计计算。图a所示由塑塑性材料料制造的的曲拐在在铅垂外外力作用用下，其其AB杆的受力力图如图图b所示。该该杆为直直径为d的圆截面面杆。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算94图c，d示出了AB杆的弯矩矩图（M图）和扭扭矩图（（T图）。由由于扭－－弯组合合变形情情况下不不考虑剪剪力对强强度的影影响，故故未示出出剪力图图（FS图）。该AB杆的危险险截面为为固定端端处的A截面。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算95危险险截截面面上上弯弯曲曲正正应应力力在在与与中中性性轴轴C3C4垂直直方方向向的的变变化化如如图图e，扭转转切切应应力力沿沿直直径径C3C4和C1C2的变化化如如图图f。第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算由此此可可知知危危险险截截面面上上的的危危险险点点为为C1和C2。由由于于杆杆的的材材料料是是拉拉压压许许用用应应力力相相等等的的塑塑性性材材料料，，C1和C2两点点的的危危险险程程度度相相同同，，故故只只需需对对其其中中的的一一个个点点作作强强度度计计算算即即可可。。96围绕绕点点C1以杆杆的的横横截截面面、、径径向向纵纵截截面面和和切切向向纵纵截截面面取取出出单单元元体体，，其其各各面面上上的的应应力力如如图图g所示示，，而而第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算97点C1处于于平平面面应应力力状状态态，，其其三三个个主主应应力力为为按第三三强强度度理理论论作作强强度度计计算算，，相相当当应应力力为为(a)按第第四四强强度度理理论论作作强强度度计计算算，，相相当当应应力力为为(b)第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算强度度条条件件为为或98究竟竟按按哪哪个个强强度度理理论论计计算算相相当当应应力力，，在在不不同同设设计计规规范范中中并并不不一一致致。。注意意到到发发生生扭扭－－弯弯变变形形的的圆圆截截面面杆杆，，其其危危险险截截面面上上危危险险点点处处：：为便于于工工程程应应用用，，将将上上式式代代入入式式（a），，（（b）可得得：：第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算式中中，，M和T分别别为为危危险险截截面面上上的的弯弯矩矩和和扭扭矩矩，，W为圆圆截截面面的的弯弯曲曲截截面面系系数数。。99需要要注注意意的的是是，，以以上上所所述述对对于于传传动动轴轴的的强强度度计计算算是是静静力力强强度度计计算算，，只只能能用用于于传传动动轴轴的的初初步步设设计计，，此此时时[s]的值值取取得得也也比比较较低低。。事事实实上上，，传传动动轴轴由由于于转转动动，，危危险险截截面面任任何何一一点点处处的的弯弯曲曲正正应应力力是是随随轴轴的的转转动动交交替替变变化化的的。。这这种种应应力力称称为为交变变应应力力（alternatingstress），工程程设设计计中中对对于于在在交交变变应应力力下下工工作作的的构构件件另另有有计计算算准准则则。。第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算100例题题8－5图a所示示钢钢制制实实心心圆圆轴轴其其两两个个齿齿轮轮上上作作用用有有切切向向力力和和径径向向力力，，齿齿轮轮C的节节圆圆（（齿齿轮轮上上传传递递切切向向力力的的点点构构成成的的圆圆））直直径径dC=400mm,齿轮轮D的节节圆圆直直径径dD=200mm。已知知许许用用应应力力[s]=100MPa。试按按第第四四强强度度理理论论求求轴轴的的直直径径。。第八八章章组组合合变变形形及及连连接接部部分分的的计计算算1011.作该该传传动动轴轴的的受受力力图图（（图图b），并作弯弯矩图图－Mz图和My图（图图c,d）及扭矩矩图－－－T图（图图e）。解：第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算1022.由于圆圆截面面的任任何形形心轴轴均为为形心心主惯惯性轴轴，且且惯性性矩相相同，，故可可将同同一截截面上上的弯弯矩Mz和My按矢量量相加加。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算例如，，B截面上上的弯弯矩MzB和MyB（图f）按矢量量相加加所得得的总总弯矩矩MB（图g）为：103由Mz图和My图可知知，B截面上上的总总弯矩矩最大大，并并且由由扭矩矩图可可见B截面上上的扭扭矩与与CD段其它它横截截面上上相同同，TB＝-1000N·m，于是判判定横横截面面B为危险险截面面。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算1043.根据MB和TB按第四四强度度理论论建立立的强强度条条件为为第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算即亦即于是得得105§8-5连接件件的实实用计计算法法图a所示螺螺栓连连接主主要有有三种种可能能的破破坏：：Ⅰ.螺栓被被剪断断（参参见图图b和图c）；Ⅱ.螺栓和和钢板板因在在接触触面上上受压压而发发生挤挤压破破坏（（螺栓栓被压压扁，，钢板板在螺螺栓孔孔处被被压皱皱）（（图d）；Ⅲ.钢板在在螺栓栓孔削削弱的的截面面处全全面发发生塑塑性变变形。。第八章章组组合合变形形及连连接部部分的的计算算实用计计算法法中便便是针针对这这些可可能的的破坏坏作近近似计计算的的。106(1)剪切的的实用用计算算在实用用计算算中，，认为为连接接件的的剪切切面（（图b，c）上各点点处切切应力力相等等，即即剪切切面上上的名义切应应力为式中，FS为剪切面面上的剪剪力，As为剪切面面的面积积。其中的许许用应力力则是通通过同一一材料的的试件在在类似变变形情况况下的试试验（称称为直接接试验））测得的的破坏剪剪力也按按名义切切应力算算得极限限切应力除除以安全全因数确确定。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算强度条件件107(2)挤压的实实用计算算在实用计计算中，，连接件件与被连连接件之之间的挤压应力力（bearingstress）是按某些些假定进进行计算算的。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算对于螺栓栓连接和和铆钉连连接，挤挤压面是是半个圆圆柱形面面（图b），挤压面上上挤压应应力沿半半圆周的的变化如如图c所示，而而最大挤压压应力sbs的值大致致等于把把挤压力力Fbs除以实际际挤压面面（接触触面）在在直径面面上的投投影。108第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算故取名义挤压压应力为式中，d为挤压面面高度，，d为螺栓或或铆钉的的直径。。109挤压强度度条件为为其中的许许用挤压压应力[sbs]也是通过过直接试试验，由由挤压破破坏时的的挤压力力按名义义挤压应应力的公公式算得得的极限限挤压应应力除以以安全因因数确定定的。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算应该注意意，挤压压应力是是连接件件与被连连接件之之间的相相互作用用，因而而当两者者的材料料不同时，应应校核许许用挤压压应力较较低的连连接件或或被连接接件。工工程上为为便于维维修，常常采用挤挤压强度度较低的的材料制制作连接接件。110(3)拉伸的实实用计算算螺栓连接接和铆钉钉连接中中，被连连接件由由于钉孔孔的削弱弱，其拉拉伸强度度应以钉钉孔中心心所在横横截面为为依据；；在实用用计算中中并且不不考虑钉钉孔引起起的应力力集中。。被连接接件的拉拉伸强度度条件为为式中：FN为检验强强度的钉钉孔中心心处横截截面上的的轴力；；A为同一横横截面的的净面积积，图示示情况下下A=(b–d)d。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算{{FbsFNdbssd111当连接中中有多个个铆钉或或螺栓时时，最大大拉应力力smax可能出现现在轴力力最大即即FN=FN,max所在的横横截面上上，也可可能出现现在净面面积最小小的横截截面上。。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算112§8-6铆钉和螺螺栓连接接的计算算第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算螺栓连接接示例113铆钉连接接主要有有三种方方式：1.搭接（图图a），铆钉受单单剪；2.单盖板对对接（图图b），铆钉受单单剪；3.双盖板对对接（图图c），铆钉受双双剪。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算114实际工程程结构的的铆钉连连接都用用一组铆铆钉来传传力，在在此情况况下，由由于铆钉钉和被连连接件的的弹性变变形，所所以铆钉钉组中位位于两端端的铆钉钉所传递递的力要要比中间间的铆钉钉所传递递的力大大。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算但为了简化计计算，并并考虑到到铆钉和和被连接接件都将将发生塑塑性变形形，在实实用计算算中如果作用用于连接接上的力力其作用用线通过过铆钉组组中所有有铆钉横横截面的的形心，，而且各各铆钉的的材料和和直径均均相同，则认为为每个铆钉钉传递相相等的力力。115搭接和单单盖板对对接的铆铆钉连接接中，铆铆钉会发发生弯曲曲，被连连接件会会发生局局部弯曲曲，在实实用计算算中对此此不加考考虑。销钉连接接和螺栓栓连接的的分析计计算方法法与铆钉钉连接相相同。至至于在螺螺栓连接接中使用用高强度度螺栓，，将螺帽帽拧得很很紧以利利用螺栓栓的预紧紧力藉钢钢板之间间的摩擦擦力来传传递连接接所受外外力，则则不属于于这里讨讨论的范范围。第八章组组合合变形及及连接部部分的计计算116Ⅰ.作用于连连接上的的力其作作用线通通过铆钉钉组形心心此情况下下每一铆铆钉所传传递的力力可认为为相等，，Fi=F/n。据此进行行铆钉剪剪切强度度和挤压压强度的的计算；；对被连连接件进进行挤压压强度计计算，并并按危险险截面进进行拉伸伸强度计计算。第八章组组合变形及连连接部分的计计算117例题8－7某钢桁架的一一个节点如图图a所示。斜杆A由两根63mm××6mm的等边角钢组组成，受轴向向力F=140kN作用。该斜杆杆用直径为d=16mm螺栓连接在厚厚度为10mm的结点板上，，螺栓按单行行排列。已知知角钢、结点点板和螺栓材材料均为Q235钢，许用应力力为[s]=170MPa,[t]=130MPa,[sbs]=300MPa。试选择所需需的螺栓个数数并校核角钢钢的拉伸强度度。第八章组组合变形及连连接部分的计计算1181.按剪切强度条条件选择螺栓栓个数解：由于此连接中中各螺栓的材材料和直径相相同，且斜杆杆上的轴向力力其作用线通通过该组螺栓栓的截面形心心，故认为每每个螺栓所传传递的力相等等，为F/n，此处n为螺栓个数。。此连接中的螺螺栓受双剪（（图b），每个剪切面上上的剪力为第八章组组合变形及连连接部分的计计算FF/2nF/2n(b)119从而求得所需需的螺栓个数数：n=3取第八章组组合变形及连连接部分的计计算螺栓的剪切强强度条件为1202.校核挤压强度度由于结点板的的厚度（10mm）小于两根角角钢肢厚度之之和（2×6mm）,所以应校核螺螺栓与结点板板之间的挤压压强度。每个个螺栓所传递递的力为F/n，亦即每个螺螺栓与结点板板之间的挤压压压力为FF/2nF/2n(b)121第八章组组合变形及连连接部分的计计算而挤压应力为为其值小于许用用挤压应力[sbs]=300MPa，满足挤压强强度条件。122斜杆上三个螺螺栓按单行排排列（图b）。图c示出了该斜杆杆（含两角钢钢）的受力图图和轴力FN图。第八章组组合变形及连连接部分的计计算3.校核角钢的拉拉伸强度该斜杆在图c中所示的m-m截面上轴力最最大，而净截截面面积又最最小，故为危危险截面。123FN,max=F=140kN该截面上：由型钢规格表表可查得每根根63mm××6mm等边角钢的横横截面面积为为7.29cm2，故危险截面的的净面积为A=2×(729mm2－6mm×16mm)=1266mm2从而得危险截截面上的拉伸伸应力：其值小于许用用拉应力[s]=170MPa，