直接证明与间接证明

不等式 推理与证明(必修

5

第三章

选修

1－2

第二章)第六篇第六节直接证明与间接证明高考导航考纲要求1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.考情分析数学证明题在高

占据重要地位，除在

几何中考查空间位置关系的判定外，还常与函数，数列、圆锥曲线相结合进行考查，要求学生具备较强的逻辑思维能力、推理论证能力．本节在高考中一般不会直接命题，往往是以其他知识为载体作为

法考查相关内容．如

2013

年江苏卷

19

等．与备考：预计2015

年高考对本节知识的考查主要是导数及其应用，不等式及其证明，数列的递推公式及通项公式，题型多为解答题，分值约为

12分．备考时应关注与这部分知识的交汇，关注不等式的放缩技巧.基础知识回顾感悟 ·

学与思(对应学生

P144)1.直接证明问题探究1：综合法与分析法的思维特点是什么，有系？提示：综合法是从条件推结论，分析法是逆向思维，从结论出发逐步寻求结论成立的条件，两种方法各有优缺点，在证题时一般用分析法分析用综合法写出过程.2.间接证明(1)反证法定义：假设原命题

不成立

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.(2)适宜用反证法证明的数学命题有：①结论本身以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性

题；③结论以“至多”、“至少”等形式出现题；④结论的

比原始结论更具体、更容易研究

题；⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.(3)用反证法证明问题时要注意的问题：①必须先否定结论，即肯定结论的，当结论的

呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的出发进行推理，就不是反证法.问题探究2：利用反证法证明问题的关键是什么？可能出现的提示：反证法证明问题的关键是推出与假设从而说明假设错误，结论成立，可能出现的已知，与数学公理，定理，公式，定义或已证明的结论与公认的简单事实考点互动探究突破·导与练(对应学生

P144)综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立.因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑依据是式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.考点1

综合法已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋

11a＋b＋c12≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【证明】

因为

a，b，c

均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①1

1

1

1

1

1同理a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，②2

2

2

11故a

＋b

＋c

＋a＋b＋c12≥ab＋bc＋ac＋3

1

＋3

1

＋3

1

≥6

3.③ab

bc

ac所以原不等式成立当且仅当

a＝b＝c

时，①式和②式等号成立，当且仅当

a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3

时，③式等号成立．即当且仅当

a＝b＝c＝

1时，原式等号成立．34综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．设数列{an}满足

a1＝0

且—1

11－an＋1

1－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－

a＋n

1nnk＝1nk，记

S

＝

b

，证明：nS

<1.解：(1)由题设—1

11－an＋1

1－an＝1，得

1

1－an是公差为

1

的等差数列．又11－a1＝1，故11－ann＝n.所以

a

＝1－n1.(2)证明：由(1)得bn＝an＋1n1－

n＋1－

nn＋1·

n＝

＝n—

1

1

n＋1，nk＝1nS

＝

bk＝nk＝1

k—

1

1

k＋1＝1－

1

n＋1<1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件．分析法是“执果

”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实．用分析法证“若P

则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q

为真，这只需证明命题P1

为真，从而有…考点2

分析法这只需证明命题

P2

为真，从而有……这只需证明命题

P

为真．而已知

P

为真，故

Q

必为真．3．用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．|a|＋|b|已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：

|a＋b|

≤

2.【思路启迪】

a⊥b⇔a·b＝0.同时注意，|a|2＝a2，将要证式子变形平方即可获证.【证明】∵a⊥b，∴a·b＝0，要证|a＋b|

≤|a|＋|b|2，只需证|a|＋|b|≤

2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证.当所证命题不知决，特别是对于条件简单而结论复杂对含有根式的证明问题也常常使用分析法．1已知

a>0，b－a1>1，求证：

1＋a>11－b.1

1证明：由已知b－a>1及a>0，可知0<b<1，要证

1＋a>11－b，只需证

1＋a·

1－b>1，只需证1＋a－b－ab>1，a－b只需证a－b－ab>0即

ab

>1，1

1即b－a>1，这是已知条件，所以原不等式得证.用反证法证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的命题)成立；(否定结论)(否定归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出

——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实 或自相 ；(推导

)结论：因为推理正确，所以产生 的原因在于“反设”的谬误．既然结论的 不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)考点3反证法若x，y

都是正实数，且x＋y>2，求证：1＋x

1＋yy

x<2

与

<2

中至少有一个成立．【证明】

假设1＋xy<2

和1＋yx<2

都不成立，则有1＋x1＋yy

x≥2

和 ≥2

同时成立，因为

x>0

且y>0，所以

1＋x≥2y，且

1＋y≥2x，两式相加，得

2＋x＋y≥2x＋2y，所以

x＋y≤2，这与已知条件

x＋y>2相，因此1＋x

1＋yy

x<2

与

<2

中至少有一个成立．反证法是一种反设结论导出其难点就是如何反设结论和导出论就是新的已知条件，和题目中的其他已知条件一起进行推理，通过对题目具体情况的分析找到导出设{an}是公比为

q

的等比数列，Sn

是它的前

n

项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若{Sn}是等比数列，则

S2＝S

·S

，即

a2(1＋q)2＝a

·a

(1＋

2)，2

1

3

1

1

1∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋

2，解得

q＝0，这与

q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1

时，{Sn}是等差数列．当q≠1

时，{Sn}不是等差数列．假设

q≠1

时成等差数列，即

2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋

2)．由于

a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋

2，即∵q≠1，∴q＝0，这与

q≠0

相

．2，综上可知，当

q＝1

时，{Sn}是等差数列；当q≠1

时，{Sn}不是等差数列．题是“若A，则B”，那么综合法的逻辑归纳提升2．如果要证明过程是欲证结论

B

成立，需寻找

B

成立的充分条件

C，C

成立的充分条件

D，…，如此逐层上溯，如果能发现一条从结论

B

上接已知条件

A

的逻辑通道，就得到“B⇐C⇐D⇐…⇐A”的证明思路．分析法的特点是执果“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．3．运用综合法叙述推理过程，简明扼要，条理清楚，但是，前进的道路往往不止一条，所以每逢歧路，选择甚难，有时从条件出发，想不到从何处入手才有效；而分析法执果易，便于思考．所以，几何证明题在探索途径时，分析法优于综合法；在表述方面，分析法不如综合法．在实际解题时，常常需要把分析法与综合法综合使用．一方面执果成立所需要的条件，另一方面由因导果，探索由已知条件必然产生的种种结果，当两种思路接通时，问题便得到解决．4．反证法主要适用于以下两种情形：要证的条件与结论之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类

，而从证明，只要研究一种或很少几种情形.放缩有“度”，巧证不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的

“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤．(对应学生P146)n

121已知数列{x

}满足

x

＝

，xn＋1＝

2xnnx2＋1，求证：0<xn＋1－xn<

2＋18.【证明】由条件可知数列{xn}的各项均为正数，故由基本不等式，得

xn＋1＝

2xnnx2＋12xnn＋1

n≤2xn＝1，若

x

＝1，则

x

＝1，这与已1知条件

x

＝12n．所以

0<x

<1，n＋1n从而

x

－x

＝

2x

nnx2＋1n－x

＝x

·1－x2n

1＋x2nn

nn＝x

(1－x

)·1＋x

1＋x2nnn＝x

(1－nx

)·1n1＋x

＋

2

1＋xn－2，其中因上述两个不等式中等n4x

<

·1

1

2

2－2＝

2＋18.本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦．第一次是利用基本不等式，将xn＋1－xn

转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕．从而判定出0<xn<1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项、分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致．【试一试】1n

n

1

2

n已知b

＝

n

，S

＝b

＋b

＋…＋b

，证明：≤S

<2.2n

n

2证明：因b

nn＝2n，1

2

3

nSn＝2＋22＋23＋…＋2n，①2Sn＝22＋23＋24＋…＋1

1

2

3

n 2n＋1，②①－②得，2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1

1

1

1

1

n 2n＋1＝

－

2

2

11

1n1－12—2n＋1＝1－2n－

n

1

n 2n＋1.n2n－1所以

S

＝2－

1

－

n

＝2－n＋2

2.2n

2n

<又Sn＋1－Sn＝

2nn＋2

n＋3

n＋1—

2n＋1

＝

2n＋1

>0.所以

Sn＋1

n

n

n>S

，即{S

}是递增数列，则

S

≥S1＝21.1故2≤Sn<2.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(

)三个内角都不大于

60°三个内角都大于

60°三个内角至多有一个大于

60°三个内角至多有两个大于

60°解析：假设为“三个内角都大于60°”．答案：B(对