新课标必修4同步训练3平面向量的数量积

新课标必修4同步训练3平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.)设i,j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i—3j,b=i+(m—1)j,(a+b)X(a—b),则实数m的值为()21—2D.不存在解析：由题设知：a=(m+1,—3),b=(1,m—1),•••a+b=(m+2,m_4),a—b=(m,—m—2).(a+b)X(a—b),(a+b)(a—b)=0,••m(m+2)+(m—4)(一m—2)=0,解之得m=—2.故应选A.答案：A设a,b是非零向量，若函数f(x)=(xa+b)(a—xb)的图象是一条直线，则必有()B.a//bC.|a|=|b|D.|a|M|b解析：f(x)=(xa+b)(a—xb)的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数.而(xa+b)(a—xb)=x|a|2—x2ab+ab—x|b|2,故ab=0,又•/a,b为非零向量，aXb,故应选A.答案：A向量a=(—1,1)，且a与a+2b方向相同，则ab的范围是()A.(1,+s)B.(—1,1)C.(—1,+8)D.(—s,1)解析：•/a与a+2b同向,可设a+2b二入a»0),则有b=ya,则有b=ya,又•••=pI2+I2二羽,11211ab—=2X2=1】〉一\•••ab的范围是（一1+8）,故应选C.答案：C4.已知△ABC中，AB=a,AC=b,ab<0,saabc二乎，a|=3,|b|=5,则/BAC等于()B.-150C.150D・30或150115解析：■/saABC=2IaIIbIsin/BAC=~,•••sin/BAC=1,又ab<0,•/BAC为钝角，•../BAC=150答案：C5.(2010辽宁)平面上0,A,B三点不共线，设0A二a,0B二b,则"OAB的面积等于p|a|2|b〔2—(ab)2*a121b12+(ab)2抑a|2Ib|2-(ab)2、/a|2Ib|2+(ab)2解析：cos〈a,b〉=ab，sin/AOB=PI-cos2〈a,b〉二寸1—]),1所以GOAB=2|a||bsin/AOB=Ia121b12-(ab)2.答案：C6.（2010湖南）在RtAABC中,/C=90°AC=4,则等于（）A.-16C.8D.16AC解析：解法一：因为ssA=AC,AB||ACcosA=AC2=16,故选D.皿T——故ABAC—TT解法=：AB在AC上的投影为|AB|cosA=|AC|,故A'AC=|ACL|ABcosA=AC2=AB||ACcosA=AC2=16,故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010•西)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60。贝Ub在a上的投影是解析：b在a上的投影是|b|cos〈a,b〉=2cos60°=1.答案：1&(2010浙江)已知平面向量a3,|a|=1,|日二2,aX(a—23，贝【J|2a+日的值是解析：由于a±(a—23)，所以a(a—23)=|a—2a3=0，故2a3=1，所以|2a+3二寸4|『+4a3+|3=寸4+2+4二应答案：已知|a|二2,|b|二迈，a与b的夹角为45。要使Aba与a垂直，则匚解析：由入ba与a垂直，(Aba)a=入ab—a2=0，所以入=2.答案：2在^ABC中，0为中线AM上的一个动点，若AM=2,则°A—(0B+0C)的最小值是解析：令|OM|=x且0Wxw2，则|OA|=2—x.Oa(OB+OC广OAbOiM=—2(2—x)x=2(X2—2x)=2(x—1)2—2>—2.…OA(OB+0C)的最小值为一2.三、解答题：（本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步已知旧|二72,|b|=1,a与b的夹角为45。求使向量（2a+入b与（>a3b）的夹角是锐角的入的取值范围.解：由旧|={2,|b|=1,a与b的夹角为45°贝Iab=|a||b|cos45=721争二1.而（2a+>b（入a3b）=2入&一6ab+>ab一3Xb=入+>一6.设向量（2a+入b与（入④3b）的夹角为0,（2a+入b（・入a3b）贝ycos0=>0,且cos0M1,2a+入b入a3b•（2a+入1（入a3b）>0,•••>+>-6>0,•••?>2或X—3.假设cos0=1,则2a+入=k（入一3b）（k>0）,2一-一2永e解得k23.I入二—3k,故使向量2a+入1和入a3b夹角为0°勺入不存在.所以当>2或k—3时，向量（2a+入b与（入a3b）的夹角是锐角.ab评析：由于两个非零向量"的夹角。满足180°所以用cos。二丽去判断。分五种情况：cos0=1,0=0°cos0=0,0=90°cos0=一1,0=180°cos0<0且cos片一1,。为钝角；cos0>0且cos0*1,。为锐角.当］设在平面上有两个向量a=（cosasina（Ma<360）,b=（一1（1）求证：向量a+b与a—b垂直；⑵当向量逅a+b与a-（3b的模相等时，求a的大小.解：（1）证明：因为（a+b）（a—b）=旧L一卜〔2=（cos2a+sin2a）一已+=0,故a+b与a一b垂直.⑵由n/3a+b|=|a—73b|，两边平方得3af+7sab+|b|2=|a|2—"3ab+3|b|2,所以2(|a|2一b|2)+4屈b=0,而|a|=|b|,所以ab=0,则(一罗cosa+争sina=0,即COS(a+60°=0,•••a+60°=k180°+90°即a=k180°+30°k€Z,又0°<a<360°贝Ua=30°或a=210°13.已知向量a=(cos(—氛sin(—0)),b二仙£—sing—朋(1)求证：aXb；⑵若存在不等于0的实数k和t,使x=a+(t2+3)b,y=—ka+tb满足xXy,试求此时宇的最小值.解：(1)证明：■/ab=cos(—0cosg—0+sin(一0)sing-0=sin0cos0-sin0cos0=0.•••aXb.⑵由XXy,得xy=0,即[a+(t2+3)b](-一ka+tb)=0,•••一ka2+(t3+