随机过程-第三章sjgc

§3.1

正态过程在现实问题中,满足一定条件的随

量之和的极限服从正态分布.电子技术中的热噪声是由大量的热运动引起,也服从正态分布.由于一个随机过程可以用有限维分布来描述,为研究正态过程应首先研究

正态分布随量.电子科技大学一、

正态随

量1.概率密度与特征函数2

21

1

2

2若(X,Y)～

N

(

μ

,

σ

;

μ

,

σ

;

ρ)(X,Y)的联合概率密度为1

21

ρ212

(

x,

y)

2112

2

2(

x

)

(

y

)

1

(

x

)2(

y

)2

exp

1

2ρ

1

2

2

2(1

)2

电子科技大学

2

μ

E(Y

)

Y

记μ

E

X

E(

X

)

μ1

,2

1 2

B

211

2

2

y

xX

其中σ1>0,σ2>0,|

|<1,故协方差矩阵满足|B|≠0.电子科技大学(X,Y)的联合概率密度为1

211

ρ22

(

x,

y)

2211222112)

2

2(

x

)

(

y

)

(

y

)

1

(

x

2exp

2(1

)2

电子科技大学12

exp

1τ

11(X

μ)(X

μ)

B2π

B

2记为(X,Y)～N(μ,B).n定义3.1.1

设B=(bij)是n阶正定对称矩阵,μ是值列向量,定义n维随机向量X=(X1,

X2,

…,

Xn)的联合密度函数为f

x1

,

x2

,,

xn

1112n(2π)2B

2τ

1exp

(X

μ)

B

(X

μ)

其中X=(x1,x2,…,xn)τ,称X服从n

维正态分布.

（*）电子科技大学电子科技大学记为X=(X1,X2,…,Xn)τ

～N(μ,B).注当B=(bij)是n阶正定对称矩阵,有B

0;若

B

则0不能用(*)式给出其概率密度.定理3.1.1

n维正态分布随机向量X=(X1,X2,…,Xn)的特征函数为12u

Bu(u)

exp

i

u

n其中u

(u1

,

u2

,.

,

u

)(**)定义3.1.2

若μ是n

向量,B是n

阶非负定对称阵,称以(**)式中的(t

)

为其特征函数的n

维随

量X

服从n

维正态分布.注若(**)式中的奇异正态分布.B,称X0

服从

正态分布或2.边缘分布及二阶矩以下结论总假定随机向量X=(X1,X2,…,Xn)τ服从N(μ,B).非电子科技大学量X的任一(m

n)定理3.1.2n维正态分布随子向量(

Xk

,

Xk

,,

Xk

)τ1

2

m~

~也服从正态分布B(μ,B),1

2

mk

k

k其中μ~

(

,

,,

),B1

2

m~

是B

保留第k

,k

,…,k

行及列所得的m

阶矩阵.多元正态分布的边缘分布仍是正态分布电子科技大学定理3.1.3

设μ和

B分别是随机向量X的数学期望向量及协方差矩阵,

即E(Xi)=μi

,

1≤i≤n;bij=E{(Xi－μi)(Xj－μj)},1≤i

,j≤n.n维正态分布由二阶矩确定.3.独立性问题定理3.1.4

n维正态分布随机向量X1,X2,…,X

相互独立的充要条n件是它们两两不相关.等价于其协方差矩阵是对角阵.电子科技大学4.正态随机向量的线性变换电子科技大学nL=(l1,

l2,…,

ln

)τj

k

jkD(Y

)

l

l

b

LBL

,n

nj1

k1n

Lμ,Y

lj

X

j

LX

,j1有

E(Y

)

lj

jj1定理3.1.5正态随机向量

X=(X1,X2,…,Xn)τ，记E(X)=μ,协方差矩阵为B.1)对X

的线性组合2)

若C=(cjk)m×n,

线性变换

Z=CX,则

均值向量为

E(Z)=E(CX)=CE(X)=Cμ,协方差矩阵为

DZ=CBCτ定理3.1.6

X=(X1,X2,…,Xn)τ

服从n维正态分布N(μ,B)的充要条件是它的任何一个非零线性组合n

l

j

X

j

,j

1服从一维正态分布.可将

正态随

量问题转化为一维正态分布问题.电子科技大学定理3.1.7

若X=(X1,X2,…,Xn)τ

服从n维正态分布N(μ,B),C=(cjk)m×n是任意矩阵,则Y=CX服从m维正态分布N(Cμ,CBCτ).正态分布的线性变换不变性证

对于任意m

值列向量u,

Y

的特征函数为)iu

YY

(u)

E(e1

exp

i

(C u)

2

(C

u)

B(C

u)iu

CXi

(C

u)

X

E(e

)

E(e

)电子科技大学1

exp

i(C)

u

2

u

(CBC

)u

即随机向量Y=CX

服从m维正态分布N(Cμ,CBCτ)化正态分布?思考问题：能否保证Y=CX

服从非退反例:

设随

量X0与V相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),

令X(1)=X0+V,

X(2)=X0+2V,问(X(1),X(2),X(3))是否服从非X(3)=X0+3V,正态分布?电子科技大学分析

设电子科技大学

X

C

V

V

X003

11

1

X

(3)

X

(1)X

X

(2)

1

2

V

X

0

～

0

10

,0

0

1N因X的协方差矩阵为τ

3

1

1

1

23

11

1C

1

21

11

0CBC

=

C0τ|CBCτ|

=2

3

43

5

7

0,4

7

10参见P28例2正态分布.二维正态随联合正态X=(X(1),X(2),X(3))

从非一般地,

若X=(X1,

X2)是非机向量,其线性变换

Y=

CX,

有每一分量服从正态分布;不能构成二维以上的非分布;电子科技大学分析2)

设X=(X1,

X2)的协方差矩阵为211 2

,22

1

2R(B)

2B

线性变换矩阵,

R(C

)

2c

12

22

m

2

m1

cc

cC

c11

c21则线性变换Y=CX的协方差矩阵为

CBC

,

R(

)

min(

R(C),

R(B))

2Y

Y即二维以上的线性变换向量Y=CX都是(奇异)联合正态分布.电子科技大学问题结论：不能保证Y=CX

服从非

正态分布.当|CBCτ|≠0时,随机向量Y

服从非正态分布.推论

非

正态分布随机向量X的行满秩线性变换仍服从非

正态分布.可证明电子科技大学定理3.1.8

若随机向量X服从N(μ,B),则存在一个正交变换U,使得Y=UX是一个相互独立的正态随机向量.证B为实对称矩阵,存在正交阵U,使n

d

d2d1UBU

D

di

是B

的特征向量电子科技大学又因B是正定阵(从而非奇异的)B

有n个线性无关特征向量设U是以特征向量为列构成的正交阵,令Y=UX

则得证.二、正态随机过程定义3.1.3随机过程{X(t),t∈T}称为正态过程,如果它的任意有限维分布都是联合正态分布.电子科技大学,n维随机即对任意的正整数n和t1,t2

,…,变量(X(t1),…,X(tn))都服从正态分布.注1)上述几个定理均可应用于正态过程.2）若存在n,对t1,t2,

…,

,n维随

量(X(t1),…,X(tn))服从 正态分布,称{X(t),t∈T}为

正态过程.3)正态过程的n维分布由其二阶矩完全确定.电子科技大学有

对任意的n≥1,

t1,

t2

,

…,

,,2

μ

m(tn

)

m(t

)(X(t1),

…,

X(tn))τ～N(μ,B),m(t1

)

B

1

11

nC(t2

,

tn

)C(t

,

t

)C(t

,

t

)

C(t

,

t

)C(tn

,

t1

)

C(tn

,

t2

)

C(tn

,

tn

)2

11

2

C(t

,

t

)C(t2

,

t2

)

C(ti

,

t

j

)

E{[

X

(ti

)

m(ti

)][

X

(t

j

)

m(t

j

)]}(1

i,

j

n).电子科技大学Ex.1

随机振幅电信号电子科技大学X

(t)

cost

sint,

t

R设ω为常数E(ξ)

E(η)

0,

E(ξ2

)

E(η2

)

2

,ξ与η相互独立同服从正态分布,1)

试求X(t)的均值函数和相关函数；2）写出一维概率密度和二维概率密度.解

1)

E{

X

(t

)}

E(ξ

)cosωt

E(η)sinωt

0因

E()

0，故R(s,

t

)

E{(

cost

sint

)(coss

sins)}

E(

2

)cost

coss

E(

2

)sintsins

2cosω(t

s)

2cos(τ),

(τ

t

s)

D(

X

(t))

R(t,

t)

2cos0

2

.2)X(t)的一维密度为e电子科技大学x

R1f

(

x,

t

)

x

22

2

,2πX(ti)是相互独立正态随

量的线性组合,故(X(t1),X(t2))服从二维正态分布,其相关系数为cos

2

R(s,

t

)

m(s)m(t

)

2cosω

R(s,

s)

R(t,

t

)得过程X(t)的二维密度为f

(

x1

,

x2;

s,

t),12

22

2

(1

cos2

)

1

1

2

21

cos2

x2

2x

x

cos

x22(

x,

y)

R

.仅与

=t

－s

有关电子科技大学思考题:此过程是否是正态过程?可否写出任意n维概率密度?Ex.2

分析P28例2中的n维概率分布在概率密度的协方差矩阵C中取n

3,

t2

C电子科技大学可计算得

C

0,

且

Ran(C

)

2,故例中当n>2时，不能写出n维联合正态概率密度.Ex.3

设随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互独立，都是正态随机过程，设Z(t

)

X

(t

)

Y

(t

),

t

R证明

Z(t)是正态过程。电子科技大学证对任意正整数

n

及(

X

(t1

),

X

(t2

),,

X

(tn

))t1

,

t2

,tn

R(Y

(t1

),Y

(t2

),,Y

(tn

))都是n维联合正态随机向量，并相互独立。(Z(t1

),Z(t2

),,Z(tn

))

的n维特征函数为z

(t1

,

t2

,,

tn

;u1

,

u2

,,

un

)

E{ei[u1

(

X

(t1

)Y

(t1

))un

(

X

(tn

)Y

(tn

))]

}

E{ei[u1X

(t1

)un

X

(tn

)]

}E{ei[u1Y

(t1

)unY

(tn

)]

}2

2Y

YX

X

exp{i

u

1

uC

u}exp{i

u

1

uC

u}2电子科技大学YY

XX

)u

1

[uC

u

uC

u]}

exp{i(2电子科技大学X

YX

Y

exp{i(

)u

1

[u(C

C

)u]}由特征函数和分布函数的惟一性定理知(Z(