人教版八年级数学上册《三角形的内角》拓展练习

《三角形的内角》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知△ABC，（1）如图1，若A1点是∠ABC和∠ACD的角均分线的交点，则∠A1＝∠A；（2）如图2，若F点是∠ABC和∠DCE的角均分线的交点，则∠F＝（∠A+∠D）﹣90°；（3）如图3，若A1点是∠ABC和∠ACD连EC，∠AEC与∠ACE的角均分线交于

的角均分线的交点，E为BA延伸线上一动点，Q，则∠Q﹣∠A1＝90°．上陈述法正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（5分）在△ABC中，假如∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上三种都可能3．（5分）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°4．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）第1页（共20页）A．282°B．180°C．360°D．258°5．（5分）等腰三角形的一个内角是100°，它的此外两个角的度数是（）A．50°和50°B．40°和40°C．35°和35°D．60°和20°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连结CG，∠BCG与∠BCE的角均分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝°．7．（5分）已知如图，BQ均分∠ABP，CQ均分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝．（用α，β表示）8．（5分）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．9．（5分）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角均分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三均分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．依据以上阅读理解，你能猜想∠BO2018C＝．第2页（共20页）10．（5分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延伸线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在△ABC中，AD均分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝度；（2）若图1中的∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其余条件不变，则（2）中的结论还建立吗？请说明原因．12．（10分）已知将一块直角三角板DEF搁置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰巧分别经过点B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．第3页（共20页）13．（10分）如下图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角均分线，它们订交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．14．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的均分线订交于点O，若∠A＝42°．（1）求∠BOC的度数；（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，尝试究∠BOC和∠A之间有如何的数目关系．15．（10分）研究与发现：如图1所示的图形，像我们常有的学惯用品﹣﹣圆规．我们不如把这样图形叫做“规形图”，1）察看“规形图”，尝试究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明原因；2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ搁置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰巧经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC均分∠ADB，EC均分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10均分线订交于点G1、G2、G9，若∠BDC＝133°，∠第4页（共20页）BG1C＝70°，求∠A的度数．第5页（共20页）《三角形的内角》拓展练习参照答案与试题分析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知△ABC，（1）如图1，若A1点是∠ABC和∠ACD的角均分线的交点，则∠A1＝∠A；（2）如图2，若F点是∠ABC和∠DCE的角均分线的交点，则∠F＝（∠A+∠D）﹣90°；（3）如图3，若A1点是∠ABC和∠ACD连EC，∠AEC与∠ACE的角均分线交于

的角均分线的交点，E为BA延伸线上一动点，Q，则∠Q﹣∠A1＝90°．上陈述法正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【剖析】（1）依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，依据角均分线的定义可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，而后整理即可获得∠A1＝∠A；2）①依据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，而后依据角均分线的定义可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC＝∠FCE，而后整理即可得解；（3）依据三角形的内角和定理表示出∠ACE+∠AEC，再依据角均分线的定义表示出∠QCE+∠QEC，而后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的角均分线与∠ACB的外角均分线交于A1，第6页（共20页）∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC，∴∠A1＝∠A；（2）由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的均分线，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠DCE，∴∠F+∠FBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠F＝（∠A+∠D）﹣90°，3）∵EQ、CQ分别为∠AEC、∠ACE的角均分线，∴∠QEC＝∠AEC，∠QCE＝∠ACE，又∵∠AEC+∠ACE＝∠BAC，∴∠Q＝180°﹣（∠QEC+∠QCE）＝180°﹣（∠AEC+∠ACE），＝180°﹣∠BAC，由（1）可知∠BAC＝2∠A1，∴∠Q＝180°﹣∠A1，∴∠Q+∠A1＝180°．故（1）（2）正确；应选：C．第7页（共20页）【评论】本题考察了三角形的内角和定理，角均分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并正确识图是解题的重点，要注意整体思想的利用．2．（5分）在△ABC中，假如∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上三种都可能【剖析】依据三角形内角和定理以及三角形的分类可知．【解答】解：∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B，∴∠A大于90°．依据三角形性质可知大于90°的角为钝角，∴此三角形为钝角三角形．应选：B．【评论】本题考察的是三角形内角和定理，娴熟掌握三角形的内角和是解题的重点．3．（5分）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）A．165°B．135°C．105°D．75°【剖析】依据三角形内角和定理求出∠1，依据三角形外角的性质求出∠2，依据邻补角的观点计算即可．【解答】解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，第8页（共20页）∴∠α＝180°﹣15°＝165°，应选：A．【评论】本题考察的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的重点．4．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．282°B．180°C．360°D．258°【剖析】依据三角形内角和定理求出∠3+∠4，依据邻补角的观点计算即可．【解答】解：∵∠C＝78°，∴∠3+∠4＝180°﹣78°＝102°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝258°，应选：D．【评论】本题考察的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的重点．5．（5分）等腰三角形的一个内角是100°，它的此外两个角的度数是（）A．50°和50°B．40°和40°C．35°和35°D．60°和20°第9页（共20页）【剖析】先判断出100°的角是顶角，再依据等腰三角形的两底角相等解答．【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，∴100°的角是顶角，∴另两个底角都是（180°﹣100°）＝40°，应选：B．【评论】本题考察了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角不行能是底角．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连结CG，∠BCG与∠BCE的角均分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝35°．【剖析】依照90°﹣∠B＝∠BAD，90°﹣∠FCB＝∠BAD，可得∠FCB＝∠B，从而判定EF∥AB，即可获得∠ECG＝∠BGC＝70°，再依据∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG，即可获得结论．【解答】解：∵AD⊥BC，Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD，又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD，∴∠FCB＝∠B，EF∥AB，∴∠ECG＝∠BGC＝70°，∵∠BCG与∠BCE的角均分线CM、CN分别交AD于点M、N，∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG，∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°，第10页（共20页）故答案为：35．【评论】本题考察了平行线的性质和判断以及角均分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．7．（5分）已知如图，BQ均分∠ABP，CQ均分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝（α+β）．（用α，β表示）【剖析】连结BC，依据角均分线的性质获得∠3＝ABP，∠4＝ACP，依据三角形的内角和获得∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，求出∠3+∠4＝（β﹣α），依据三角形的内角和即可获得结论．【解答】解：连结BC，BQ均分∠ABP，CQ均分∠ACP，∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，∴∠3+∠4＝（β﹣α），∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），即：∠BQC＝（α+β）．故答案为：（α+β）．第11页（共20页）【评论】本题考察了三角形的内角和，角均分线的定义，连结BC结构三角形是解题的重点．8．（5分）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝72°，36°，108°，△ABC为等腰三角形．【剖析】分三种情况分别议论，运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：①当AB＝AC时，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠B＝72°．②当CA＝CB时，∵∠A＝∠B＝36°，∴∠C＝108°．③当BA＝BC时，∴∠C＝∠A＝36°，综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，故答案为：72°，36°，108°．【评论】本题考察等腰三角形的判断和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的重点是用分类议论的思想思虑问题．9．（5分）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角均分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三均分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．依据以上阅读理解，你能猜想∠BO2018+∠A．C＝第12页（共20页）【剖析】依据已知中的特例，察看两部分前边的倍数和n均分线间的关系，从而写出结论．【解答】解：如图3，依据题中所给的信息，总结可得：BO1C＝×180°+∠A，BOn﹣1C＝×180°+∠A．∴当n﹣1＝2018时，n＝2019，即∠BO2018+∠A．C＝故答案为：+∠A．【评论】本题考察了三角形的内角和定理，综合运用了三角形的内角和定理和n均分角的观点，注意由特别到一般的总结．10．（5分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延伸线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为70°．【剖析】依据三角形内角和定理求出x+y＝145，在△FDC中，依据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠DCE＝∠DEC，∠DFG＝∠DGF，∴设∠DCE＝∠DEC＝x°，∠DFG＝∠DGF＝y°，则∠FEG＝∠DEC＝x°，∵在△GFE中，∠EFG＝35°，∴∠FEG+∠DGF＝x°+y°＝180°﹣35°＝145°，即x+y＝145，第13页（共20页）在△FDC中，∠CDF＝180°﹣∠DCE﹣∠DFC＝180°﹣x°﹣（y°﹣35°）215°﹣（x°+y°）70°，故答案为：70°．【评论】本题考察了三角形内角和定理，能求出x+y＝145是解本题的重点．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在△ABC中，AD均分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝20度；（2）若图1中的∠B＝x，∠ACB＝y，则∠CFE＝y﹣x；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其余条件不变，则（2）中的结论还建立吗？请说明原因．【剖析】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只需求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由均分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；（2）由（1）类推得出答案即可；（3）类比以上思路，把问题变换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，AD均分∠BAC，∴∠BAD＝40°，AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°第14页（共20页）∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，CF∥AD，∴∠CFE＝∠DAE＝20°；故答案为：20；2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠BCA），∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠BCA﹣∠B）＝y﹣x．故答案为：y﹣x；3）（2）中的结论建立．∵∠B＝x，∠ACB＝y，∴∠BAC＝180°﹣x﹣y，∵AD均分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣x﹣y，CF∥AD，∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣x﹣y，∴∠BCF＝y+90°﹣x﹣y＝90°﹣x+y，∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+x﹣y，AE⊥BC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝y﹣x．【评论】本题考察三角形的内角和定理，角均分线的性质，平行线的性质以及垂直的意第15页（共20页）义等知识，联合图形，灵巧选择适合的方法解决问题．12．（10分）已知将一块直角三角板DEF搁置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰巧分别经过点B、C．1）∠DBC+∠DCB＝90度；2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．【剖析】（1）在△DBC中，依据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而后把∠D＝90°代入计算即可；（2）在Rt△ABC中，依据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．【解答】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°；故答案为90；（2）在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，第16页（共20页）∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．【评论】本题主要考察了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的重点是求出∠ABD+∠BAC＝70°．13．（10分）如下图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角均分线，它们订交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．【剖析】依据垂直的定义、角均分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【解答】解∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角均分线，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，∵BF是∠ABC的角均分线，∴∠ABO＝25°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°．【评论】本题考察的是三角形内角和定理、三角形的高和角均分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的重点．14．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的均分线订交于点O，若∠A＝42°．（1）求∠BOC的度数；（2）把（1）中∠A＝42°这个条件去掉，尝试究∠BOC和∠A之间有如何的数目关系．第17页（共20页）【剖析】（1）先求出∠ABC+∠ACB的度数，依据均分线的定义得出∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，求出∠1+∠2的度数，依据三角形内角和定理求出∠BOC即可；（2）依据角均分线的定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，而后用∠A表示出∠1+2，再依据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠A＝42°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝138°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的均分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝＝69°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣69°＝111°；（2）∠BOC＝90°+∠A，BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的均分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180＝90．【评论】本题考察了三角形的内角和定理，角均分线的定义，整体思想的利用是解题的重点．15．（10分）研究与发现：如图1所示的图形，像我们常有的学惯用品﹣﹣圆规．我们不如把这样图形叫做“规形图”，1）察看“规形图”，尝试究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明原因；2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ搁置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰巧经第18页（共20页）过点B、C，∠