几何经典模型：中点四大模型

本文为word版资料，可以任意编辑修中点四大模型模倍中或中线与点关线）造等角A

A倍长中线BDBD图

①EA

A

倍长类中线构造全等

BDC

B

D

图

②

E模分如图①是△ABC的中线至使DEeq\o\ac(△,：)≌△（SAS如图②D是BC中点，延长FD至E使DEFD，易证eq\o\ac(△,：)FDB≌△EDC（）当遇见中线或者中点的时候可尝试倍长中线或类中线造全等三角形目是对已知条件中的线段进行转移．模实如图，已知在△中AD是边上的中线是AD上一点，连接BE并长交AC于＝，证：＝．FD．如图，在中，AB，＝，求边中AD的围．222222

解：延长E，使ADDE连接，∵AD是△ABC的中线，∴BDCD，在△与中BD

，

DE∴△≌EDB（），∴＝＝，根据三角形的三边关系定理：－12＜＋，∴4＜＜16故AD的值范围为4＜16ABE．如图，在中，是BC的点，DM，如果BM＋CN＝＋．求证：AD＝

14

(AB＋AC)．222222222D证明：如图，过点B作AC平行线交ND的长线于E，ME．∵BDDC，∴EDDN．在△与△中BDDC∵

∴△BED（SAS）．∴＝．∵∠MDN，∴为的垂线．∴＝．∴BM＝BM＋NC＝＋＝MN＝EM，∴△BEM直角三角形，MBE．∴∠ABC∠ACB＝∠＋∠＝90°．∴∠BAC．∴AD＝(BE

1BC)＝（AC）．2AD模已等三形底中，可考与顶连用三合

连接中线DBDC模分等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到“边等、角等、三线合一模实如图，在△中，AB＝，BC，M为BC的点，MNAC于，求MN的长度．C

N解答：连接AM．∵＝＝5，BC6点MBC中点，∴⊥BC，BM＝∵＝5

BC＝．∴＝

AB2BM2522

．∵⊥，11∴＝·AM＝·MN．22即：

11×3＝×．22∴＝

125小热．如图，在ABCAB＝ACD的点⊥AF⊥DF，且AE＝，证：∠EDB∠．AE

BD证明：连结AD∵＝，D是BC的点，∴AD，∠ADB∠ADC90°在eq\o\ac(△,Rt)AED与eq\o\ac(△,Rt)AFD中

ABAD

，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)AFD．（HL）∴∠ADE∠ADF，∵∠ADB∠＝90°，∴∠EDB∠．

FD．已知eq\o\ac(△,Rt)，＝BCC°D为边中点，EDF＝°，绕D点转，它的两边分别交AC、CB或它们的延长线）于、F．（1当EDF绕D点转到DF⊥于时如图①证＋＝DEFCEF

S；ABC（2当EDF绕D点旋转到和不直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又怎样的数量关系？eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)请写出你的猜想，不需要证明．22A

C

FC图①

C

图

F

图

解：（1）连接CD如图2所示：∵AC＝BC，ACB，为AB点，∴∠B＝45°，＝

1∠＝45°，⊥AB，＝＝BD2∴∠＝，∠＝90°，∵∠＝90°∴∠＝∠，在△和BDF中CDBDDCB

，∴△≌（），1∴＋＝＋＝；DEFCEFADEBDF（2不成立；＝DEFEF

S；由如下：连接CD如图示：ABC同（）得：DEC△DBF，∠DCE∠DBF∴＝DEFDBFEC＝＋，CFEeq\o\ac(△,1)

，＝＋CFE

2

S，ABC∴－＝DEFCFE

．ABC∴、、的关系是－＝DEFCEFDEFAADD

S．E

1

C

B

C

F

B

E模已三形边的点可考中线定A取另一边中点D构造中位线BB

D

A

E模分在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC且DE＝

BC来题．中位线定理中既线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模实如图，在四边形中AB＝，E、分别是、中点，连接EF并延长，分别与、的延长线交于点，N．证：＝∠．M

MN

A

F

DH

C

B

E

解答如图，连接BD取BD的点，接HEHF．∵E、F分是BC、AD的中点，∴FH＝

1，FH∥，HEDC，∥．22又∵＝，∴HEHF．∴∠＝HEF．∵FH∥MB，∥，∴∠BME∠HFE∠＝．∴∠BME∠．1G111G11练习：.（）如图1，CE别是ABC的外角平分线过点作⊥BD⊥CE垂足分别为DE，连接DE，求DE，=（AB2（2如图，，CE分是ABC内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（）如图△ABC的角平分线CE是ABC的角平分线，其他条件不变DE与还行吗？它与ABC边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想其中一种情况进行证明A

ADEFEDB

图

C

B

图

C

D

图3.解（1如图①，分别延长，AD交于H，K在△和△中DBKBD

BDK∴△BADBKDASA∴ADKD，ABKB同理可证，HEACHC∴DEHK2又∵HKCH+.∴DE（AB+BC.21111111111ADEKB

图

CH（2猜想结果：图②结论为DE（-BC2证明：分别延长AE，AD交于HK.在△和△中DBKBD

BDK∴△BAD△BKD（ASA∴ADKD，ABKB同理可证，HEACHC∴DEHK2又∵HKCH=ABACBC∴DE（AB-）2

D

H

图2

K

（3图③的结论为DE（+AC）2证明：分别延长AE，AD交或长线于HK在△和△中DBKBD

BDK∴△≌（）∴ADKD，ABKB同理可证，HEACHC∴DEKH2又∵HKBHBK111111=CHBK=∴DE（AC）2AF

D

EB

图

CH.问一：如图①在四边形中，与CD相交于点OCDEF分别是BC，AD的点，连接EF，分别交，于，，判断△OMN的形状，请直接写出结.问题二：如图②，在ABC中，AC，点上，=，E，分别是BCAD中点，连接延长，与BA的延长线交于点G若=60°，连接GD，断AGD的形状并证.M

DD

图1

图2

.证（1等腰三角形（提示：取AC中H，接FH，，如图①）H

M

D图1（2△AGD是角三角形如图②，连接BD，BD的点H，接HFHE.∵是中点，∴HF∥ABHFAB2∴∠=∠.同理，HECD，=，2∴∠=∠EFC，∴CD，

1111∴HFHE∴∠=∠.∵∠EFC°，∴∠=∠EFC∠AFG°∴△是等边三角形∴=.∴GFFD∴∠==°∴∠AGD90，即△AGD是角三角.B

A

FE

图

型已AD

构造直角三角形斜边上的中线

DBC模分在直角三角形中当遇见斜边中时经会作斜边上的中线利直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD，来证明线段间的数关系，而且可以得到两个等腰三角2形：△ACD和△BCD该模型经常会与中位线定理一起综合应.模实如图，在△，BECF分为ACAB上高D为的点DM⊥于M，求证：FMEMM

D

证明连接DE，DF，CF分为边ACAB上高D为BC的点，DF，=.2211DFDE即△DEF是腰三角.DM⊥，点M是EF中点，即=.M

D

练习：.如，在中，∠B∠，AD⊥BC于DM为的点AB10求的度AB

.解取AB中N连接DN，MN在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，N是斜边AB上中点，∴==.2∴∠=.在△，，分是，的点，∴∥ACNMB∠，又∵∠NDB是△NDM的角，∴∠=∠+∠.即∠B=∠NMDDNM∠∠DNM又∵∠B=2C，∴∠DNM∠C∠NMD∴DN∴=.GG

DM

.已，△ACE都直角三角形，且ABD∠ACE90，连接DE，MDE的中点，连接MB，，求证MBMC

MD.证延长BM于，ABD和是直角三角形，∴CE∥BD∴∠=∠GEM又∵M是DE中，=EM且∠=∠GME∴△BMD≌GME.∴=MG∴M是的中点，∴在eq\o\ac(△,Rt)CBG中=.ACED.问1如图①，三角形中点D是边中点⊥BC⊥AC，足分别为点E，.、BF交点，连接，，若DE，k的为.问题如②三角形ABC中CB=CA点DAB边中点点M在角ABC内，且∠=∠，过点M分别作⊥BCMFAC垂足分别为点E，，接，DF，求证：DEDF.问题：如图③，若将上面问题的条件“CB”变为CB≠CA他条件不变，试探究DE与DF之的数量关系，并明你的结.1111

D

D

M

M

图1

图2D.解∵（）AE⊥，BF⊥AC∴△AEB和△AFB都直角三角形，∵是AB的点，∴DE，DF22∴DEDF∵DEKDF，∴k.

M图3

D

M

图1

（2∵CA∴∠CBA∠CAB∵∠=∠，∴∠CBA∠∠∠，即∠ABM∠BAM∴=BM∵⊥BCMF⊥，∴∠MEB∠MFA°又∵∠∠MAF∴△MEB≌△（AAS∴.11111111∵是AB的点，即BDAD，又∵∠DBE∠，∴△≌△DAF（）∴DEDFD

M

图2

（3）DF如图，作AM的点G，BM的中点H，DG，FGDHEH∵点D是的点，∴