时间序列分析与应用 R语言例子317

3.5预测在预测的过程中，我们的目标是根据现有的数据xn……x1来预测未来的值xn+m,m=1,2,……在这一节中，我们假定这一时间序列xt是平稳的，并且其模型的参数是已知的。有关未知参数模型的预测我们将在后面的部分加以讨论。Xn+m的最小均方误差预测为：丁岩+m=E（工n+m■XI因为条件期望最小化均方误差为+m—?3）］藉、（3.51）其中g（x）是观测值x的函数。n球=M+工口杪房

k=\首先，我们来看预测值是观测值的线性函数的情形，在这种情况下，预测值的表达形式为（3.52）其中a0，a1……an都是真实确定的数。使均方预测误差最小化的（3.52）式形式的线性预测我们称之为最优线性预测（BLPs），我们可以看到，线性预测仅仅依赖于其过程的二阶矩。而这个二阶矩我们可以很容易地从现有的数据中估计出来。这一节中很多的内容被附录B中的理论部分加强了。例如，定理B.3说明了如果这个过程是高斯过程的话，那么最小均方误差预测与最优线性预测将是一致的。如下的性质是基于投影定理（定理B.1）而得出的。性质P3.3：平稳过程的最优线性预测给定数据x1，x2,……xn，最优线性预测球+"=%+二；=】*^-，其中，m2l,那么这n球=M+工口杪房

k=\E［（珏+m-琮+m）乓］=Sk=0,h…（3.53）。如其中x0=1.式（3.53）定义的房产称为预测方程，可以用来求解系数果E（xt）=u，那么当k=0时，由（3.53）的第一个方程即可以得到：。如E（玲+m）=E3n+m）=北将期望值代入（3.52）中可以得到nn#=%+E口对qt%=住（1-工快）k=lk=I于是，最优线性预测的形式可以表示为TI露+m=#+£诳・（瓦一川）・k=l因此，当我们讨论这个估计值的时候，我们会考虑到修0的情况，这种情况也是不失一般性的，而在这种情况下，a0=0.接下来，首先我们考虑一步向前预测，也就是给定，我们希望预测到时间序

列的下一个时点的值Xn+1,那么Xn+1这一预测值的最优线性预测BLP即为:+i—fPnl^n+®n2^n—1+…“+^nn-^1(3.54)其中，为了更简洁地表示，我们在3.54）中将（3.52）中的ak写成，k=1，2n。列的下一个时点的值Xn+1,那么Xn+1这一预测值的最优线性预测BLP即为:+i—fPnl^n+®n2^n—1+…“+^nn-^1(3.54)其中，为了更简洁地表示，我们在3.54）中将（3.52）中的ak写成，k=1，2n。利用性质P3.3，系数应满足n(工n+1—〉:也nJ£n4-1—j)工n+1-kJ=1ornj=i(3.55)这个预测方程可以用矩阵的形式表示为:（3.56）其中二：「七.是一个n*n矩阵，W和都是n*1维向量。矩阵「n是非负正定的，如果「n是奇异的，那么理可知，Xrn+m却是唯一的。如果「n是非奇异的，礼=（3.56）就会有很多的解，但是由投影定那么Bn的解就是唯一的，即：（3.57）对于ARMA模型，由于，当时，Y（h）一0，由这些条件足以确保「n是正定的，有时候可以很方便地用向量的形式写出一步向前预测的表达式:^Tt+l=式萨（3.58）其中步向前预测的均方误差为:咯］=引我+】—球+产=忡）—7；馈％（3.59）Eg+i—史+】尸=Eg+i一就芦尸=引存+1—《『「虹尸=E3M+1-^r~]X3：n+l+=7(0)-她总咏+吐「广4&%=7(0}-7^-^.

例题3.17对AR（2）的预测假设有一个因果型的AR（2）过程，’•《‘、.—：切罚一-.••：.•.••：，和一个观测值X］，然后用3.57的方程，可以得到基于x1的一步向前预测值x2为］/⑴-

工2=嫉】】工1=——T］=7（0）现在，假设我们想用观测值x2和x1来作一个一步向前预测x3，我们也可以用3.55来求解饱口+蜥（1）=禅）饱口（1）+姻十（0）=幽为了得到系数的解，我们也可以利用3.57矩阵的形式但是，从模型中我们可以看出：迂史'E.，因为满足预测方程（3.53），即：E｛匡一（饥邛+桓工1）］工1｝=E（眄对=0£｛厨一（饥定!+Mn）］此｝=E（此互）=0实际上，，此例中唯一的系数解为：和，再继续使用这种方法，我们就可以很容易证明当n>2时，建+1=©1工孤+旗卫Tt-I.然后再扩展到一般的情况：如果时间序列是一个因果关系AR（p）过程，当n>p时，有工：+1=如卫n+炊2工?1一】十…十^p^n-p+l（3.60）对于一般的ARMA模型，预测方程不会像纯粹的自回归模型那么简单，另外，当n很大的时候，没办法使用3.57，因为3.57中要求一个很大的矩阵的逆矩阵，然而，迭代法不要求求矩阵的逆。性质P3.4杜宾一莱文森运算法则方程3.57和3.59可以通过以下的迭