初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题含答案

初中数学方程与不等式之分式方程技巧及练习题含答案一、选择题1．分式方程，解的情况是（）A．x＝1B．x＝2C．x＝﹣1D．无解【答案】D【解析】【分析】观察式子确定最简公分母为（x+1）（x﹣1），再进一步求解可得．【详解】方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得：x（x+1）﹣（x2﹣1）＝2，解方程得：x＝﹣1，检验：把x＝﹣1代入x+1＝0，所以x＝﹣1不是方程的解．故选：D．【点睛】此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键2．方程＝的解为（）A．x＝10B．x＝﹣10C．x＝5D．x＝﹣5【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根，∴原方程的根是x＝5；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．3．解分式方程的结果是（）A．x="2"B．x="3"C．x="4"D．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D．考点：解分式方程．4．若数使关于的分式方程有正数解，且使关于的不等式组有解，则所有符合条件的整数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a的个数为2．【详解】解方程，得：，∵分式方程的解为正数，>0，即a>-1，∴又，1，a1，∴∴a>-1且a1，∵关于y的不等式组有解，∴a-1<y8-2a，即a-1<8-2a，解得：a<3，综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a1，则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，故选：B．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．5．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产个零件，根据题意可列方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】原计划平均每天生产个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个，，∴故选：C.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.7．若关于x的分式方程﹣=3的解为正整数，且关于y的不等式组至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为（）A．1B．0C．5D．6【答案】A【解析】【分析】先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m的值，最后求和即可．【详解】解：化简不等式组为，解得：﹣2＜y≤，∵不等式组至多有六个整数解，≤4，∴∴m≤3，将分式方程的两边同时乘以x﹣2，得x+m﹣1=3（x﹣2），解得：x=，∵分式方程的解为正整数，∴m+5是2的倍数，∵m≤3，∴m=﹣3或m=﹣1或m=1或m=3，∵x≠2，≠2，∴∴m≠﹣1，∴m=﹣3或m=1或m=3，∴符合条件的所有整数m的取值之和为1，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．8．如果关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，则a的值是（）．A．a=3B．a≤-3C．a=-3D．a>3【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x的不等式（a+1）x>2的解集为x<-1，所以a+1＜0，即a＜-1，且=-1，解得：a=-3．经检验a=-3是原方程的根故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市种月、两种月饼场．省城某商场在中秋节来临之际购进、两种汾阳月饼共1500个，已知购进种月饼和饼的费用分别为3000元和2000元，且种月饼单价多1元．求种月饼的单价比的单价各是多少？设种月饼单价为元，根据题意，列方程正确的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设种月饼单价为元，再分别表示出A种月饼和B种月饼的个数，根据“购进、两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.【详解】设种月饼单价为元，则B种月饼单价为(x-1)元，根据题意可列出方程，故选C.【点睛】本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.10．把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（）A．1-(1-x)=1B．1+(1-x)=1C．1-(1-x)=x-2D．1+(1-x)=x-2【答案】D【解析】【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2－x，首先要化成x－2；②、等式右边的常数项不要漏乘．【详解】解：两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2故选：D【点睛】本题考查解分式方程．11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴，故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.12．方程的解为().C．A．B．D．【答案】D【解析】【分析】方程两边同乘以3x（x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可求得分式方程的解.【详解】方程两边同乘以3x（x+5）得，x+5=6x，解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解.故选D.【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.13．方程的解是（）A．－3B．3C．4D．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣【答案】B【解析】【分析】【详解】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，已知关于x的方程=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜，当x=3时，x==3，解得：m=，所以m的取值范围是：m＜且m≠．故答案选B．15．若关于的分式方程有增根，则的值为（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】解：方程两边都乘x﹣2，得x+m﹣3m＝2（x﹣2），原方程有增根，∵∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，2+m﹣3m＝0，∴m＝1，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．16．若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的不等式组至少有四个整数解，则所有符合条件的整数的和为（）．A．17B．18C．22D．25【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：，不等式组整理得：，由不等式组至少有四个整数解，得到－1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a＝3，4，5，6，…，2－，去分母得：2（x－2）－3＝－a，解得：x＝，∵≥0，且∴a≤7，且a≠3，≠2，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述要求的所有整数的绝对值之和为（）A．12B．14C．16D．18【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a＞-5，找出-5＜a＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】解分式方程得：x=，因为分式方程的解为正数，所以＞0且≠4，解得：a＜3且a≠2，解不等式，得：x≤a+7，不等式组有解，∵∴a+7＞1，解得：a＞-6，综上，-6＜a＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a的绝对值的和为：|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a＜3且a≠2是解题的关键．18．某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（）A．＋＝4B．－＝20C．－＝4D．－＝20【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程即可．【详解】由题意得－＝4故答案为：C．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．19．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得A．C．B．D．【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均