高三数学二轮专题总结复习教案――平面向量

高中高三数学二轮专题总结复习优选教课方案――平面向量高中高三数学二轮专题总结复习优选教课方案――平面向量10/10高中高三数学二轮专题总结复习优选教课方案――平面向量20XX届高三数学二轮专题复习教课方案――平面向量一、本章知识结构：二、要点知识回顾1.向量的看法：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。ax2y2；若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，AB(x2x1)2(y2y1)23.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：a就是单位向量）|a|4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任向来量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法规和平行四边形法规。②向量的减法向量

a加上的

b

相反向量，叫做

a与b

的差。即：

a

b

=

a+

(

b

)；差向量的意义：

OA=

a,

OB

=b

,

则BA=a

b③平面向量的坐标运算：若

a(x1,y1)，b

(x2,y2)

，则

a

b

(x1

x2,y1

y2)

，ab

(x1

x2,y1

y2)，

a

(

x,

y)。④向量加法的交换律

：a+b=b+a

；向量加法的结合律：

(

a+b

)+

c=a+(

b+c)7．实数与向量的积：实数

λ与向量

a的积是一个向量，记作：

λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λ

a=0；（3）运算定律

λ(μa)=(

λμ

)a，(λ+μ)

a=λa+μ

a

，λ(

a+b

)=λa+λb8．向量共线定理向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。9．平面向量基本定理：若是e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任向来量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不独一，要点是不共线；(3)由定理可将任向来量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式独一.λ1，λ2是被a，e1，e2独一确定的数量。10.向量a和b的数量积：①a·b=|a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。②|b|cos称为b在a的方向上的投影。③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。④若a=（x1，y1）,b=（x2，y2）,则abx1x2y1y2⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。⑥a和b的夹角公式：cos=ab＝x1x2y1y2abx12y12x22y22|a|2=x2+y2，或|a|=x2y22⑦aaa2a⑧|a·b|≤|a|·|b|。11．两向量平行、垂直的充要条件设a=（x1，y1）,b=（x2，y2）①a⊥ba·b=0，abab=x1x2+y1y2=0；②a//b（a≠0）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使bλa。=a//bx1y2x2y10向量的平行与垂直的坐标运算注意差异，在解题时简单混淆。12.点P分有向线段P1P2所成的比的：P1PPP2，P内分线段P1P2时,0;P外分线段P1P2时,0.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：x1x2xx1x2x2x1x2x3y1y2y311、,)y1y2y1、(yy233y21三、考点剖析考点一：向量的看法、向量的基本定理【内容解读】认识向量的实质背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等看法，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量看法的理解，向量是可以自由搬动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。若是e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任向来量a有且只有一．．．对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.注意：若e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，．．．【命题规律】有关向量看法和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档种类。例1、（2007上海）直角坐标系

xOy中，i，j

分别是与

x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形

ABC中，若

AB

2i

j,

AC

3i

kj，则

k的可能值个数是（

）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则C点在直线x=3上，由图知，只可能

B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)A、B为直角，C不可以能为直角．因此

，因此k的可能值个数是2，选B议论：本题主要察看向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，表现平面向量中的数形结合思想。例2、（2007

陕西）如图，平面内有三个向量

OA、OB

、OC,其中与

OA与OB的夹角为

120°，

OA与OC的夹角为

30°

,且|

OA|

＝|OB|＝1，|OC|

＝23，若

OC

＝λOA+μOB

（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为

.解：过

C作OA与OC

的平行线与它们的延长线订交，

可得平行四边形，由角

BOC=90°角AOC=30°，OC=23得平行四边形的边长为2和4，2+4=6议论：本题察看平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也察看了平行四边形法规。考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法规、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，领悟平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，察看要点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其他内容相结合。例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6)，(a+2b)·c(5,6)(3,2)3，选C议论：本题察看向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还察看了向量的数量积，结果是一个数字。例4、(2008广东文)已知平面向量a(1,2),b(2,m)，且a∥b，则2a3b=（）A．（-2，-4）B.（-3，-6）C.（-4，-8）D.（-5，-10）解：由a∥b，得m＝－4，因此，2a3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），应选（C）。议论：两个向量平行，实质上是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，简单与向量垂直的坐标运算混淆。例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（）A.－1B.1C.－2D.2解：由于ab4,32,a1,3,aba∴43320，即101001，选Ａ议论：本题察看简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，由于这是一道基础题，要争取满分。例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若ACa,BDb,则AF（）A．1a1bB.2a1bC.1a1bD.1a2b42332433解:AO1a,ADAOOD1a1b,1211112121AE(AOAD)a22aba2b,2224由A、E、F三点共线,知AFAE,1而满足此条件的选择支只有B，应选B.议论：用三角形法规或平行四边形法规进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，表现数形结合的数学思想。例7、（2008江苏）已知向量a和b的夹角为1200，|a|1,|b|3，则|5ab|．222213249，解：5ab5ab25a10abb=2512101325ab7议论：向量的模、向量的数量积的运算是经常察看的内容，难度不大，只要认真，运算不要出现错误即可。考点三：定比分点【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。【命题规律】要点察看定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，剖析几何一并察看，若出现在解答题中，难度以中档题为主，有时也以难度略高的题目。例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC2BD,CE2EA,AF2FB,则ADBECF与BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由定比分点的向量式得:ADAC2AB1AC2AB,同理，有：1233BE1BC2BA,CF1CA2CB,以上三式相加得3333ADBE1BC,因此选A.CF3议论：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点.考点四：向量与三角函数的综合问题【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，察看了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。例9、（2008深圳福田等）已知向量a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx,)函数f(x)2ab1(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x[,]时,若f(x)1,求x的值．62解：(1)f(x)23sinxcosx2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x).6因此，T＝.(2)由f(x)1,得sin2x61，2∵x[,]，∴2x[,7]∴2x65∴x6262663议论：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但平时难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而察看的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例10、（2007山东文）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC37．1）求cosC；（2）若CBCA5，且ab9，求c．27，sinC解：（1）tanC337cosC1又sin2Ccos2C1解得cosC．8tanC0，C是锐角．cosC1．855（2）由CBCA，abcosCab20．2，2又ab9a22abb281．a2b241．c2a2b22abcosC36．c6．议论：本题向量与解三角形的内容相结合，察看向量的数量积，余弦定理等内容。例11、（2007湖北）将y2cosxπ的图象按向量aπ平移，则平移后所36，24得图象的剖析式为（）Ａ．y2cosxπ2Ｂ．y2cosxπ34324Ｃ．y2cosxπ2Ｄ．y2cosxπ1223312解：由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点P'x',y'，Px,y，则aπ2P'P',yy'x'x,y'y2，代入到已知剖析式中可，xx44得选Ａ议论：本题主要察看向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的序次搞反，或照本宣科以为是先向右平移个单位，再向4下平移2个单位，误选Ｃ考点五：平面向量与函数问题的交汇【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主若是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。例12、（2008广东六校联考）已知向量a＝(cos3x，sin3x)，＝(x，x)，2222且x∈[0，]．2（1）求ab（2）设函数f(x)ab+ab，求函数f(x)的最值及相应的x的值。解：（I）由已知条件：0x2，得：ab(cos3xcosx,sin3xsinx)(cos3xcosx)2(sin3xsinx)22222222222cos2x2sinx（2）f(x)2sinxcos3xx3xx2sinxcos2x2cossin2sin222sin2x2sinx12(sinx1)2322由于：0x，因此：0sinx1213x因此，只有当：时，fmax(x)22x0，或x1时，fmin(x)1议论：本题察看向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成张口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则简单搞错。考点六：平面向量在平面几何中的应用【内容解读】向量的坐标表示实质上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”亲密地结合在一起．因此，好多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转变成大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到合适的坐标系中，赐予几何图形有关点与平面向量详尽的坐标，这样将有关平面几何问题转变成相应的代数运算和向量运算，从而使问题获取解决．【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。例13、如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段

yPQ以A为中点，问PQ与BC的夹角取何值时，BPCQ的值最大？并求出这个最大值。解：以直角极点A为坐