数量关系总思维导图

文案大全文案大全第二部分鸳攵量关系★总框架：数学运算三大方法代入排除.数字特性、方程法六大题型工程问题.行程问题经济利润，排列组合

容庠原理，最值问题专项补充周期问题.几何问题学霸养成浓度问题，牛吃草.植树问题等♦第一节：代入排除法特定题型0年缺、不定方程，余数、多位数,_问法特征：分别.各为，比例这项充分令1选项为一组数、可转化为一组数的项必代O只剩两项时，代入一项即可得解先排除。尾数、奇偶、倍数再代入⑥最值、好算先排除。尾数、奇偶、倍数再代入⑥最值、好算♦第二节：数字特性实用标准实用标准文案大全文案大全4x>Ey必为偶不定方程◎3乂、5y不确定4x>Ey必为偶不定方程◎3乂、5y不确定质数0逢质必2奇偶特性其它<■■两者相等、两者平均数、A是B的2倍a+b与a—b的奇偶性相同和差同性O（一）奇偶特性奇数-奇数二偶数奇数-奇数二偶数

偶数-偶数二偶数

奇数-偶数二奇数

偶数奇数二奇数（-）奇偶特性奇数+奇数二偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数偶数中奇数二奇数

奇偶特性什么时候用？.不定方程（ax+by=j不防程T先分晒M）.知和求堂、知差求和工平日分两份、2倍在加减法中，同奇同偶则为偶r一奇一偶则为奇结诒：日+5与育山的奇偶性相同4.质数（送质必2）（二）倍数特性倍数特性分数、百分数、比例、倍数A是m的倍数.B是n的倍数A/B=m/nC/A±B是（m±n）的倍数T方法忖答案i能被日整除、——：ax+bO厂若b不是白的倍数,则答案不被a整除一■比例比例的常见形式（m、门且质）①A是m的倍数②B是n的倍数③A+B是m+n的倍数®A-B是m-ri的倍数①男生是女生的：（分数）②男生与女生之比3:5（比例）③男生是女生的60%（百分数）④男生是女生的0.6倍（倍数）解题逻辑第一步,看到比例首先想到倍数特性第二步,直接找与问题有关的比例第三步,利用倍数特性秒杀整除判定法则①一般用口诀法（3/9看备位和；4/8看末2乃位;2乃善末位）二.平均分组常考题型②随时都能用拆分法①整除型（总数=ax）（要睑证是否是台的倍数,只需拆分成日的整数倍土一个〃强字匕例：一堆莘果平均每人分io个r刚好分完r若小数字也能被H整除r原数即能被H整除.）③要杂倍数用因式分解（判断T数能否被15整除，只霭判断它是¥口5的倍轴tips：注意分解后的2个数必馈互质。②余数型（总数=ax+b）例：一堆苹果平均每人分10个f还剩3个■第三节：方程法方法：谩方程组中系数较复杂的未知数为零，解出其余未m数即可奇偶特性〔系敬为偶数）方法：谩方程组中系数较复杂的未知数为零，解出其余未m数即可奇偶特性〔系敬为偶数）方程法「数字柠性q倍数特性l系数为■「等号,尾数法T系数为5、呼）不定方程（组）q代人排除（无法直接排蔗所有错误答案时、不定方程组c先消元，转化为不定方程…一口]设小不设大、没中间曷，求i隹谀睡普通方程「＞范围：仃环定方程组：②未知数可以非整数;③求的是克武赋零法二不定方程一、普通方程找等量、设未知数、列方程和解方程设未知数技巧I设小不设大（减少分数计算）n设中间量（方便列式）田问谁设谁（避免陷阱）第一类：未知数必须是跚的不定方程定方艰ax-by=M方法：分析哥晟倍数.尾瓣数字将性，宴试代人排除②不定方程组alx+bly+dz=Ma2x+b2y+2=M方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解，二、不定方程第二类:未知数可以不是整数的不定方程赋零法工①未知数个数多于方程个数，且未知数可以不是整数1②答案是一个算式的值，而非单一未知数的值.操作3赋其中1个未知数为零，从而快速计算出其他未知数口

解题思维范围奇偶倍数代入排除排除呼方法解题思维范围奇偶倍数代入排除排除呼方法q.代入、方程（组）0设未知数方程法目不定方程®代入排除■第四节：工程问题基础公式：总量效率时间识别：题干只给了去个完工时间识别二黑干给出了效率比.旗率倍数等方法•：履值效率——求出总量一一列式求解技巧,按照比例设钦率.设馆尽量设整的识别：题干有发奉、思量的具体值给具体值型方法：代公式——列方程求解工程问题腻值效至型技巧：总量一般设公倍，公倍难算用乘积一一赋值总量型方法：斌值总量一一算出效率一一列式求解工程问题切入点①给定E寸间型（完工时间）赋值工作总量为完工时间的最小公倍数②给效率型I给具体值一列方程n给效率比一赚值效率为对应的比值

给定时间型（完工时间）①赋总量（时间的公信数）②算效率：效率=忌量+时间③根据题意完成工程给定效率的比例关系型给具体的效率值①设效率为未知数（设”不设大或设出现最多的）②根据工作过程列方程①设效率为未知数（设”不设大或设出现最多的）②根据工作过程列方程②算总量：效率/时间=总量,③根据题意完成工程同时开始同时结束【技巧】多个人做多项工程，不论怎样分工,如果满足“同时开始，同时结束，且中间没有怠工",则相当于多人一起合作完成所有工程，①所有人工作时间相同②时间=工作量加和一效率加和■第五节：行程问题基础公式：路程速度时间（）年律第n次和通日仁口一1〕筝=”和近顺水逆水O环形第n次相遇日nUtl=V^T环僚第n次追及0n圈=Y差*T顺水rSCF能一切K：*丁1区逆水।S«船一“水。xT逆¥（T）一定，£与TCO成正比总距离♦息时向相，4号和=¥下:4吗追及;写装=丫差*T追妾次运动O醇距离上下坡、往返v=zab/<a-^b5平均逢求旧行程扣遇池及口相对行程蹈■程=速度X时间普通行程比例行程相对行程公式：S相遇=(Vi+V2)公式：S相遇=(Vi+V2)XT二,直线追及公式：S迫及」（V怏-Vflt）XT追及蹲韩=为了退上赫，第志的那一段一.直线相遇与环形相遇ft*:Hi-公式：s追及二（n快-v慢）XT三.环形追及（同点出发）四.多次相遇（两端出发）西端出发相遇第1次相遑，共走1S第可次相遇，共走已11）5流水行船比例行程V顺.V逆.V船.V水V顺=\/船+丫水V逆=\/船-V水船=<V顺+V逆）/2水工（V顺"逆）/2s一定，V与T成反比V一定,S与T成正比T一定rS与V成正比注；静水速度装船速.潦流速度二水速方法：确定不变量，找比例第六节：经济利润问题经济利润答;便宜的那件商品的原价M折扪差利湘率=利润由成本折扣（8折、85折）合并付费L水电费；2、出租车费;3、税费等等先分开买，再合并买，问省了多少钱?◎瓦段费用分别计算，求和后即为总费用利润=售价一成本基础公式经济利润问题涉及的公式经济利润问题涉及的方法①求具体价格①求具体价格：列式计算.方程例如：成本、售价、利润等①利润=售价•成本②利润率=利润.成本③售价=成本X（利润率）④折扣=售馀?原价⑤总价=单价X数量君利;闰二单个利，闰X数量【小即】如果一r那么A_C方一方②求比例：赋值法例如：利;闰率、打折【技巧】常设成本为L10,100等好算的薮也可以对数量赋值。A±CB±D分段计价合并付款在生活中，水电鼠出租车计费等，每段计费标准不等，品生活中，商品享醐折扣在彳撅总金额而变化，问：在不同收费标;隹下，一共霄要的费用?同■如果将分开购买的物品告第卜恚买会省多少钱呢？计算方法：臼即10口元内和折,1Q0-2S希打9折,2况元以上打眈t购昊两①按标准分开件辱密■分期付差的元和1曹元,阑司如果一黝黑,会比第明买看多②计算后，汇信燔?容并付於：通吉糙在于折扣的不同例：臬地出租车收费标准为：3公里内8元，超出3公里，军②折扣星在旧协的基社上进行打折公里2元,小明坐车走了1哈里，共花费多少隹?3例合并前后折扣沏巨厂第七节：排列组合与概率分类用加法口或3要么……要么……〕分步用乘法（1且2；先…...再—）•他于用排列（不可互二央）无序甲组合（可以互换）排列组合站一川O全排列排队日要相邻。捆药法不相匏O插空法把板兴。口个相同的物品力给m人金错位排列。治情况求概率概需一满足要求的情况数一所有的情况我给概率求概率分类用加法.分击用乘法正面太蜡就从反面想，1一反向情况概率一）排列组合①捆绑法②插空法【引例】三乙丙丁戊己6个老师站成一排照相，要求甲乙丙3人必须【引例】三乙丙丁戊己6个老桁站成一啡照用一要求三乙丙之人必须不相邻,有C）种不同的站法?方法:格孤有〔）种不同拘站法？方法：3失排;先安排L.TW次:的元裁，相成芳十个空位;助康：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序；②再插：将不带舞的元南插入到:川口就啊中付中去.②再排：将捆绑后的善成一个大胖子，进行后续排列.号加泰第四步有无离出取决于描世宫的元素不同或川而③插板法④枚举法【引例】6个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分1个,有多少种不同的分注？育若干种黄币，要支付一笔金前，有多少种无需找零的付钱方式？方法：a个相同物品分给m人，每人至少分1个,有（方法上①按照面额或数值的大小,从大到小列表校举，不漏不重）种/②注意每种数值的个数不得超过条件给的上限口二）概率给情况求概率公式：概率:满足要求的情况数亍全部的情况数给概率求概率方法：分弊:P(A)=P1+P2+…+Pn分步：P(A)=PlxP2x...xPn注；正难则反，满足概率=1•不满足概率・第八节：容斥问题画圈圈，标数据，去重复交叉部分重点标注第八节容库问题画圈圈，标数据，去重复交叉部分重点标注第八节容库问题容斥问题的解题方法A十B—AB一总玄玄一都不A+B+C—AB—A匚-EC+ABC=总数一都不A十B十。一满足两个一满足三个乂2二总数一都不①公式法题目当中r所给所求都是公式的①公式法题目当中r所给所求都是公式的一部分①两集合②三年合方法：①公式法②国圄法K叼率型公式：全部-都不=4+B+G满足两者4k三者满足.：，：流足两种，满足三种在计数时，先不考虑工复的部分，先把符合条件的加在一起,最后再W重复的剔除、渣濡的补上，做到“不重不漏”，题型：②画图法公式法解决不了的，问“只”满足方法：①回U②标数字（从里往勺陶、每部分-层）③列黛式（足数法）■第九节：最值问题一、至少……保证……（最不利构造）【引例】袋子中装有5个红球，8人白球，10个黄球.问:①至少取匕（）--才能保汪有红球？②至少取匕（）个，才能保证至少有孑个同邑的球？③至少取匕C》个,才能保证至少有岸个同色的球？二、某个主体最……（和定最值）例1;H个钢就r4ASW,每人分得的个徵各不版L叵；分得最察的人最少分缚少了例2:1。个遮渊,4人分赃.问：分得晟少的人最多方姿少?方法：求谁设谁一一反向构造一一加和求解方法：要兼证司种情况至少n个…立每种