zw-高一数学人教版必修2课件3.3.1两条直线交点坐标两点间距离公式

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学必修②·

人教A版新课标导学第三章直线与方程直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标两点间的距离公式1自主预习学案2互动探究学案3作业学案1．两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的

交点个数

判断两直线的位置关系．一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0

和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0

的方程联立，得方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0.当方程组

有唯一

解时，l1

和

l2

相交，方程组的解就是交点坐标；当方程组

无

解时，l1

与

l2

平行；当方程组

解时，l1

与

l2重合．有无数组2．两点间的距离公式两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x_2_－x1_2_＋y_2_－y1__2

.3．坐标法(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．(2)步骤：①建立坐标系

，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．1．两条A．(3,2)C．(－2，－3)B．(2,3)D．(－3，－2)[解析]

解方程组2x－y－1＝0，得x＝2x＋3y－11＝0

y＝3.故选B．B导学号090247872．已知

M(2,1)、N(－1,5)，则|MN|＝

5

.[解析]

|MN|＝

2＋12＋1－52＝5.3．求经过两条直线2x－3y－3＝0

和x＋y＋2＝0

的交点且与直线3x＋y－1＝0

平行的直线l

的方程.导学号09024788[解析]由方程组2x－3y－3＝0x＋y＋2＝0，解得x＝－35y＝－75.∵所求直线l

和直线3x＋y－1＝0平行，57

3∴直线

l

的斜率

k＝－3，根据点斜式可得

y－(－

)＝－3[x－(－5)]．即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.4．直线l

经过原点，且经过另两条直线

2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0

的交点则直线l

的方程为A．2x＋y＝0导学号09024789(

B

)B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0[解析]

解法

1：由2x＋3y＋8＝0x－y－1＝0解得x＝－1y＝－2∴kl＝2.∴l

的方程为y＋2＝2(x＋1)，即2x－y＝0.解法2：设l：2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0.∵l过原点，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l方程为2x－y＝0.互动探究学案命题方向1

⇨两直线的交点问题(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.[思路分析]

题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．[解析]

(1)解方程组2x＋y＋3＝0x－2y－1＝0，得x＝－1y＝－1，所以直线l1

与l2

相交，(2)解方程组交点坐标为(－1，－1)．x＋y＋2＝0

①2x＋2y＋3＝0

②，①×2－②得1＝0，，方程组无解．所以直线l1与l2

无公共点，即l1∥l2.(3)解方程组x－y＋1＝0

①2x－2y＋2＝0

②，①×2

得2x－2y＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．『规律方法』

两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．〔

练

〕导学号

09024791(1)已知直线

l1：3x＋4y－5＝0

与

l2：3x＋5y－6＝0

相交，则它们的交点坐标为(

C

)A．(－1，31)

11

1B．(1，3)

C．(3，1)

D．(－1，－3)(2)若两直线l1：x＋my＋12＝0

与l2：2x＋3y＋m＝0

的交点在y

轴上，则m的值为(

C

)A．6B．－24C．±6D．以上都不对[解析](1)联立方程组3x＋4y－5＝03x＋5y－6＝0，解得1x＝3y＝11，故交点为(3，1)．(2)分别令x＝0，求得两直线与y

轴的交点分别为：－12mm

和－3

，m由题意得－12

，m

＝－

3解得m＝±6.命题方向2

⇨平面上两点间的距离导学号09024792已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a

的值.[思路分析]

利用两点间距离公式列方程解得

a

的值．[解析]

∵|AB|＝

a－32＋3－3a－32＝5，8即5a2－3a－8＝0，∴a＝－1

或a＝5.．『规律方法』两点间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．〔

练习

2〕已知点

A(3,6)，在

x

轴上的点

P

与点

A

的距离等于

10，则点导学号09024793P

的坐标为

(－5,0)或(11,0)

．[解析]

设点

P

的坐标为(x,0)，由|PA|＝10

得x－32＋0－62＝10，解得x＝11

或x＝－5.∴点P

的坐标为(－5,0)或(11,0)．已知△ABC

的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0).导学号09024794判定△ABC

的形状；求△ABC

的面积．[解析]

(1)如图，△ABC

可能为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝

－1－12＋[3－－1]2＝20＝2

5，|AC|＝

3－12＋[0－－1]2＝

5，|BC|＝

[3－－1]2＋0－32＝

25＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC

是以A

为直角顶点的直角三角形．3－－1

0－－13－11＝2，解法二：∵kAB＝

－1－1

＝－2，kAC＝∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC

是以A

为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°，△ABC2∴S

1

AB|·|

AC|＝5.＝

|『规律方法』

三角形形状的判定方法：(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．〔导学号09024795A．等边三角形

C．等腰三角形∵|AB|＝

4－22＋3－12＝2B．直角三角形

D．等腰直角三角形2，[解析]|AC|＝|BC|＝0－22＋5－12＝2

5，5－32＋0－42＝2

5，∴|AC|＝|BC|.又∵A、B、C三点不共线，∴△ABC

为等腰三角形．C因考虑问题不全面而致误若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0共有三个不同的交点，则a

的取值范围为A．a≠±1C．a≠－2[错解]

选A

或选

B导学号09024796(

D)B．a≠1

且a≠－2D．a≠±1

且a≠－2[错因分析]

在解题过程中，若由①处得a≠1且a≠－2，错选B，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．由②处得a≠±1，错选A，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．[解析]

因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从 着手求解．(1)若三条直线交于一点，由x＋ay＋1＝0x＋y＋a＝0，解得x＝－a－1y＝1，将l2，l3

的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2.①(2)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，解a＝±1

，②当a＝1

时，l1与l2

重合．(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1，当a＝1，l2与l3重合．(4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2.[正解]

D[错解]

当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l1与l3不平行．当l1∥l2时，m＝4；当l2∥l3时，m＝－1.[错因分析]

错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标，同时满足第三条直线即可．〔

练习

4〕若三条直线

l1：4x＋y＋4＝0，l2：mx＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成三角形，求m

的值．导学号09024797＝1.综上可得m＝4或－1或1.[警示]

解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况．[正解]

显然

l1

与

l3

不平行，当

l1∥l2

或

l2∥l3

时，不能构成三角形，此时对应

m

的值分别为

m＝4，m＝－1；当直线

l1，l2，l3

经过同一个点时，也不能构成三角形，由4x＋y＋4＝0x－y＋1＝0，

x＝－1，y＝0，得，

代入

l2

的方程，得－m＋1＝0，∴m直经方程的设法技巧与直线系方程直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．(1)已知l：y＝kx＋b，与l

平行的直线方程设为y＝kx＋b1；与l

垂直的直线11方程设为y＝－kx＋b

(k≠0)．(2)已知

l：Ax＋By＋c＝0，与

l

平行的直线方程设为

Ax＋By＋C1＝0，与

l垂直的直线方程设为Bx－Ay＋C2＝0.(3)过定点P(x0，y0)的直线方程(斜率存在时)可设为y－y0＝k(x－x0)．(4)与x轴交于点(x0,0)的直线方程可设为x＝my＋x0.(5)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2相交于点P，则过点P的直线方程设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2)．(6)斜率为k的直线方程设为y＝kx＋b.[思路分析]

可先求l1与l2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2

的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l

的方程.导学号09024798[解析]

解法一：解方程组：x－2y＋3＝02x＋3y－8＝0，得x＝1，y＝2，∴l1

与l2

的交点为(1,2)，∵直线l过点(1,2)且与直线3x＋4y－2＝0

平行，∴设方程为3x＋4y＋c＝0，把(1,2)代入得：c＝－11，∴所求方程为：3x＋4y－11＝0.解法二：∵l

过l1

与l2

的交点，∴设l

的方程为x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0，∵l

与直线3x＋4y－2＝0平行，∴3λ－2

2λ＋1

3—

＝－48λ－31≠3λ－2

2，∴λ＝10，∴l

的方程为x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0，即3x＋4y－11＝0.〔

练习

5〕求过两直线

3x＋4y－2＝0与

2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．导学号09024799[解析]

解法一：设过两直线交点的直线方程为

3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0.3＋2λ整理为一般式，得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y－2＋2λ＝0，其斜率为－4＋λ

.而直线7

74＋λ3＋2λ6x－7y－3＝0

的斜率为6

6

(－

)＝－1，解得

λ＝2.，由垂直条件可得×故所求直线方程为(3＋2×2)x＋(4＋2)y－2＋2×2＝0，即7x＋6y＋2＝0.解法二：将两直线方程联立得3x＋4y－2＝0，x＝－2，2x＋y