因式分解法解一元二次方程典型例题

学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载.•・5^3x.•・5^3x+<3-6=0或<3+6-<3x=0 学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载.•・5^3x.•・5^3x+<3-6=0或<3+6-<3x=0 学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载典型例题一例用因式分解法解下列方程：y2+7y+6=0; (2)t(2t—1)=3(2t—1);(3)(2x—1)(x—1)=1.解：(1)方程可变形为(y+1)(y+6)=0y+1=0或y+6=0•y1——1,y2=—6(2)方程可变形为t(2t—1)—3(2t—1)=0(2t—1)(t—3)=0,2t—1=0或t—3=0-11=—,12=3.2(3)方程可变形为2x2—3x=0x(2x—3)=0,x=0或2x—3=0..x〔=0x2=92说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般

式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.(2)应用因式分解法解形如(x—a)(x—b)=c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x—e)(x—f)=0的形式，这时才有x1=e,x2=f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x—1=1或x—1=1.；x[=1,x2=2.(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t—1),请同学们思考典型例题二例用因式分解法解下列方程6x23..3x=2、.2x..6解：把方程左边因式分解为：(2x、3)(3x-..2)=0「•2x+<3=0n£3x-v/2=0.3 .2一x1二一一,x2二一2 3说明：对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例用因式分解法解下列方程。一2 一2y=y15解：移项得：2y2—y_15=0把方程左边因式分解得：(2y5)(y-3)=02y+5=0或y—3=0•・yi=-2，y2=3.说明：在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般

式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积， 而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解下列方程6x2-13x+2=0；3(2x+1)2-9(、Qx—2)2=0；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如(2)符合平方差公式的结构特征.解：(1)原方程可变形为(6x-1)(x-2)=0,6x-1=0或x-2=0,v.1V-9,•x1-,x2-2.6(2)原方程可化为(2j3x+J3)2-(3<3x-6)2=0,即 (273x+V3+3&x-6)(2V3x+<3—3^3x+6)=0,(5^3x+V3-6)(73+6-V3x)=0,学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载2x—3=02x—3=0或2x—5=0学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载2x—3=02x—3=0或2x—5=0学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载yy1二23,y2=32.23-1 19q••X1= ,x2=12.3.5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想” .事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题五例用因式分解法解方程：X2—5x—36=0;2(2x-3)2-3(2x-3)=0;x2-(2-272)x-3+272=0；y2_(2V3+3j2)x+676=0.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为 AB=0的形式，然后通过A=0或B=0,求出xi,x>.解：(1)(x-9)(x+4)=0,x-9=0或x+4=0.x1=9,x2=-4.(2)(2x-3)(4x-6-3)=0,即(2x-3)(4x-9)=0.2x-3=0或4x-9=0,9一x1一—，x2——.4(x+1M—(3-2V2)1=0,即x+1=0mEx-(3-2<2)=0.x1--1,x2=3-2,2.(y-2向)(y-3后)=0,即y—2招=0或y—3d5=0,

说明：有些系数或常数是无理数的一元二次方程，只要熟悉无理数的分解方法,也可将之和因式分解法求解.典型例题六例用适当方法解下列方程：2 2 _ _ 12x2—5=0; (2)5x2+2=2(1—x)—x(x—万);2(x-3)2+2(x2-1)=4x+1; (4)x2-4%；3x+10=0(5)3x2-7x+4=0(用配方法)解：(1)移项，得方程两边都除以2,得解这个方程，得解：(1)移项，得方程两边都除以2,得解这个方程，得即(2)展开，整理，得方程可变形为(3)展开，整理，得方程可变形为2x2=5,1一x=±—M10,

2x1=—V10,x2=--T10.2 24x2x=0.x(4x1)=0x=0或4x+1=0,八 1x1=0,x2=--.44x2-16x+15=0,(2x-3)(2x-5)=0学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载va=1,b=sT3,c=10,b2-4ac=(-4<3)2-4父1父10=8>0,一i3)'8=43-2.2=2..3_2. x1. x1-2,3,2,(5)移项，得X23x2—7x=4,方程各项都除以3,方程各项都除以3,得27 4x一一x二一—3 3配方，得7x(一7x(一7)2=一3 64 72(--)3 6；(X-7)2=」

6 36解这个方程，得v4 .x1一3,x2—1.说明：当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a#0),若b=0,a、c异号时，可用直接开平方法求解，如(1)a、b、c题.若a、b、c均不为零，有的可用因式分解法求解，如(3)题；有的可用公式法求解，如(4)题.配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如(5)题.而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程(x+3)2-4=0可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程(x-2)(4x+1)+(x-1)(x-2)也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得(x-2)[(4x+1)-(x-1)]=0,用因式分解法求解，得2为=2,x2=-幺,对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以 (x-2),这3会丢掉一个根x=2.也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载mm1=3,m2=1.学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载mm1=3,m2=1.典型例题七例解关于x的方程20m2x2+11mnx-3n2=0(mw0)解法一：原方程可变形为(5mx-n)(4mx3n)=05mx-n=0或4mx+3n=0TOC\o"1-5"\h\z:m00,n 3n,• xi二 ,x2二一.5m 4m解法二：= a=20m2 ,b=11mn, c=-3n2 ,,2 2 2 2、b2-4ac=(11mn)-420m2(-3n) 22=361mn>0,又m00,-11mn二.36m2n2 -11mn二19mnTOC\o"1-5"\h\z-x= ~~~2 = ~~2 .220m 40mn 3nx1 ，x2 .5m 4m说明解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法， 也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单.典型例题八例已知m—2=1,试解关于x的方程mx(x—2)+2=(x+1)(x—1).分析由|m-2=1,容易得到m=3或m=1.整理关干x的方程，得(m-1)x2-2mx+3=0.题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当m-1=0时，方程是一元一次方程；当m-1#0时，方程是一元二次方程。解：由m—2=1,得m-2=1,学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载(3)x1=2,x(3)x1=2,x2=-1(4)x1=26,整理mx(x—2)+2=(x+1)(x—1),得2(m-1)x—2mx3=0.当m=3时，原方程为2x2—6x+3=0,解得当m=1时，原方程为—2x+3=0,解得3x=一.2当m=3时,TOC\o"1-5"\h\z3 3 3-3当m=3时,x1= " ,x2= "2 2. . 3当m=1时，x=-.2填空题.方程(x-2)2=(x-2)的根是.方程(x+3)(x+1)=6x+4的解是2.万程(2y+1)+3(2y+1)+2=0的解是答案：1. x1=2, x2 =32.x1=1+、Q, x2=1-423. y1 =-1, y2=-1.解答题.用因式分解法解下列方程：(x+2)2=2x+4； (2)4(x-3)2-x(x-3)=0;(3)10x2—11x—6=0; (4)9(x—2)2=4(x+1)2。2 2(5)x+x=0;(6)x-2x-35=0;2 2(7)x—7x+10=0;(8)x+9x+18=0;(9)10x2-11x-6=0;(10)6x2+11x-7=0.2.用因式分解法解下列方程：(1)(x—3)(x+1)=5;(2)14(x—4)2+9(x—4)—65=0；(3)3(1—x)2—5(x—3)—2=0。3.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：(1)x2+x-k2x=0;(2)x2-2mx+m2-n2=0;(3)x2+3mx-54m2=0；(4)15m2x2-17mx-18=0(m*0);2,2 2、(5)abx-(ab)xab=0(ab=0)4.用适当的方法解下列方程：(1)4x2-49=0；(2)4x2-9x=0;(3)x2-x=2；(4)x2-2x=624;x2—x—1=0;(6)x2_2,5x+2=0.5.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程2x2-5x+3=05.已知三角形的两边分别是求这个三角形的周长.答案：. (1)x1=-2,x2=0； (2)x1=3,x2=4；3 2 4x[=二，x2=一二； (4)x1=8,乂2=二.2 5 5(5) x(5) x1 =0, x2 = -1 (6) x1 = -5 , x2 =7(7)x1=2,x2=5(8)x1=-3,x2=-6(9)x1=3,x2=-|(10)x1=1,x2=-7.2 5 2 32.(1)x1=