柔性绳索有限元分析中微元与惯性系在不同姿态坐标下的变换

柔性绳索有限元分析中坐标系变换研究绳索在进行动力学和运动学分析过程中，通常被视为柔性体。分析方法也主要是有限元分析。具体思路是将柔性绳索划分为若干微元线段，每个微元作为理想刚体看待，再运用多体系统动力学理论对各微元进行运动学和动力学分析。柔性钢索的运动学分析属于姿态分析的逆问题，既已知刚体的方向余弦阵，要求刚体的姿态坐标，每个微元的姿态坐标确定后，整个柔性绳索的动态姿态就能确定下来，这是运动学分析的核心。所以，姿态分析的逆问题急需解决的首要问题是方向余弦阵。对于相互关联的两个微元而言，在不同的姿态坐标体系下，其方向余弦阵表达式不同，则各微元与惯性坐标系的关系式也不同。为此，本文旨在研究常用的方向余弦坐标、有限转动四元数坐标、欧拉角坐标和卡尔丹角坐标这四种坐标体系下，柔性绳索微元与惯性系之间的姿态坐标变换矩阵，以及微元上的连体基与惯性参考基之间的关系式。1方向余弦坐标图1方向余弦坐标体系下微元的连体基和惯性参考基微元的连体基为=0X,OY,OZ1，惯性参考基为OXQYQZ］。连体基的每个

IrIriioo°ooo基矢量在参考集中的坐标分别为：XX,Xy,Xz】，lyX,yy,yZ1，IzX,Zy,ZZL此三个IoIoIoioi"ioioi"ioTOC\o"1-5"\h\z矢量称为方向余弦坐标。以此三个矢量作为矩阵元素可得到方向余弦矩阵A.:oi1XXyXzxi/・・、XIXo7ioIo(1-1)Aoi=XiKyy。ZiK*zoyizozzo_这时，微元连体基与惯性参考基的姿态坐标关系为：’e。一e-A(1-2)JI如果将此微元上一个微元的连体基看作是惯性参考基，那么(i-2)式就是这两个微元之间的姿态坐标关系。以此类推，在柔性绳上第s个微元与大地坐标之间的姿态关系式应为：efISIT/(1-3)s=e,j±3I2、有限转动四元数坐标我们现在由欧拉定律可知，刚体的任意姿态可通过绕空间某一轴一次转动有限角来实现。我们现在假设微元的连体基色是惯性参考基eo绕单位矢量P旋转二得到的。此单位矢量P在惯性参考基eo上的坐标P1,P2,P3与旋转角度二组成有限转动四元数坐标q=[Pi,P2,P3,扪（2-1）此时，微元连体基与惯性参考基之间的关系矩阵为：P1(1—CQ+CgP1P2U—P1P2(1-C-P3S丁P3P1(1-C-P2S-_!A01egP?1_c才.C寸(1p3p2(1-cP1S0(22)P3p1(1—c弓一p2sQP3P2「C扎P1SP：(1_C+c0C二cos71,Sr二sin如果将此微元上一个微元的连体基看作是惯性参考基，那么（；2-2）式就是这两个微元之间的姿态坐标关系。以此类推，在柔性绳上第s个微元与大地坐标之间的姿态关系式应为:3、欧拉角坐标根据欧拉定律，微元的连体基e可视为惯性参考基eo绕其基矢量Zo旋转角，然后绕新的基矢量X旋转，角，最后再绕新的基矢量Z0旋转角得到的。图2图2欧拉角坐标体系下微元连体基的三次变换惯性参考基e依次绕基矢量进行了3次有限转动。3次的转动角分别是＜、二、程这3个转动角称为欧拉坐标q:°(3-1)其中，’「称为进动角，二称为张动角，’称为自转角根据式（2-1）和式（2-2）,3次有限转动的关系矩阵是:C中一s中0■100)A1C中一s中0■100)A1=(s中c中0A2=0c日-S日A3=001[0seC「LC$_S©s©c00]ol(3-2)A01=A1A2A3C护0-S护利_C谕©_S护彳3-3)式就是这两个微=sVC0-cVC-SAg-CXpC(C©-C谕H(3-3)C6如果将此微元上一个微元的连体基看作是惯性参考基，那么（元之间的姿态坐标关系。以此类推，在柔性绳上第s个微元与大地坐标之间的姿态关系式应4、卡尔丹角坐标根据欧拉定律，微元的连体基G可视为惯性参考基eo绕其基矢量X0旋转t角，然后绕新的基矢量y。’旋转n角，最后再绕新的基矢量乙旋转角得到的。■图3■图3卡尔丹角坐标体系下微元连体基的三次变换惯性参考基eo依次绕基矢量进行了3次有限转动。3次的转动角分别是＜、二、，这3个转动角称为卡尔丹坐标q:qrfdqrfd(4-1)根据式（2-1）和式（2-2）,3次有限转动的关系矩阵是:-c-c中s中0Ic00-sel「10]%a1=—s中c中0A2=010a3=0c©.001s日010—s©c^(4-2)微元连体基与惯性参考基之间的关系矩阵为：C护日St|fC日_S「(4-3)A01=Ai£入二：「sg©cgA-s中SAS©ACg■一s诒©+c中s4©—S

妒牛*+s咱4©c(4-3)如果将此微元上一个微元的连体基看作是惯性参考基，那么（4-3）式就是这两个微元之间的姿态坐标关系。以此类推，在柔性绳上第s个微元与大地坐标之间的姿态关系式应为：

5、总结e05、总结e0二esA0s二es(I]Aj)

±

s£ji态坐标变换矩阵，以及微元上的连体基与惯性参考基之间的关系式。如下表所示。表1四种姿态坐标下相邻微元之间姿态关系矩阵以及微元连体基与惯性参考基之间姿态关系式姿态坐标坐标矢量相邻微元之间姿态关系矩阵A01微元连体基与惯性参考基之间姿态关系式方向余弦坐标xixo,xiyo,xizo]Rx，y”。，yZ]2泌0以』0，乙忆o]7必0yXoz，XolX”y”Z"oJooX1Z0yZoZ1Z0sTe0—es'A0s—es(口Aij)有限转动四元数坐标q=[p,p，P3,6]12-P12(1_C占也甘P1P2(1-CQ—PsSAP3P,1_CQ廿2$甘]P1P2O_C占十p3s£pA-CdACeP3P2u_cg—pSgrP1(1-Cd_P2sgP3P2(1-Cd+P1sEPW-Cd"欧拉角坐标q=*,日冲T1黑既:评序_C护©_*&C怜％sj护护讷一护于一牛1s列s》Ce」卡尔丹角坐标q=牝，日中j[C诉日s叩日-se-S\|C