物理老师-下册量子

11、物质波的概率振幅：3、概率密度2Ψ(r,t)

Ψ(r,t)*

Ψ(r,t)Ψ(

t)r,物质波的波函数(x,y,z,

t)

对应粒子的运动状态2、物质波 的统计解释在某一时刻、空间某一地点,粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数(概率

幅)的平方.粒子在t时刻、在(x,y,z)处出现的概率密2d

x

d

ydz

1

全空间归一化条件：4、

(r

,t)须度满足的条件：单值、有限、连续、归一化概率密度量纲：上次课内容复习26、一维方程粒子的（1）.方程Ψ

i2Ψ

22m

x2t5、态叠加原理若：波函数1

2

3

…是体系的可能状态它们的线性叠加

=c11

+C22+C33

…也是体系的可能状态（2）.有势场时粒子的含时能量算符

E

i

方程tp

ix动量算符哈密顿量算符H

2

2-

2m

x

2

U

(x,t)

2tΨ(x,t)

U(x,t)(x,t)

i2m

x22m:运动粒子的质量（3）．有势场时粒子

一维定态

方程(x)

U(x)

E(x)

2

22m

x2(x)一维定态波函数一维定态时波函数EtΨ

(x,t)

(x)

ei

概率密度:

Ψ

(x,t)

2

(

x)

2U与时间无关体系处于某个定态时，具有确定的能量E定态:量纲:长度的倒数

m13定态 方程求 方程的通解根据波函数应满足的条件写出定态波函数对量子力学处理的结果进行分析i

EtΨ(

x,

t)

(

x)

e(

x)

U(

x)

E(

x)2m

x2根据具体条件

2

2(x)

C

sin(kx

)(x)单值、有限、连续和归一化写出本征波函数概率密度分布能量本征值C

..

..K

..7、有势场时粒子一维定态方程->本征波函数方法和步骤45U

0x

0,

x

a0

x

aUx0a8、在如图势函数U场中粒子的本征波函数及特征和规律定态波函数:本征波函数:e

(x,t)

0x

0,

x

a运动粒子的质量0

x

ane

(x)

02

sin

n

xa

a

(x)

(x)

i

n

(x,t)

(2sin

n

x)

a

a能量本征值：2ma2n2

22En

概率密度:n

n

0e

e2n

(x)2sinaanx2mE

0

i

En

te6本次课教学重点和难点重点1、一维无限深势阱的定态波函数具体函数形式、概率分布规律及量子化能量的具体形式。2、一维势垒,隧道效应3、了解电子隧道显微镜的原理4、了解一维谐振子模型下微观粒子的能量和波函数的性质。一维谐振子的零点能不为零。难点1、一维无限深势阱的定态波函数的性质2、理解隧道效应以及其实验验证7Ux金属体原子核Ux一维无限深势阱微观粒子被限制在一定范围内运动如：金属中的

电子C

G

G

CCCEG

G势能曲线8一维无限深势阱U

00

x

ax

0,

x

aUx0a势阱:抽象出来的物理模型类似“一个微观粒子被限制在长度为a的盒子里”模型。势能分布（势函数)

:x

0,

x

a0

x

aU

0Ux0a定态

方程:ii22m

x22

E

0

x

a(

x)

U

(

x)

E(

x)

2

22m

x2势函数U与时间无关求一维无限深势阱中粒子运动的特征和规律求通解根据波函数应满足的条件：单值、有限、连续和归一化n2ma

2n2

2

2En

2

sin

n

x)

9a

a

(x)

(课堂练习运动粒子的质量mn=1,

2,

3,...10U

0x

0,

x

aUx0a在一维无限深势阱中粒子特征和规律0

x

a定态波函数:本征波函数:e

(

x,

t)

0x

0,

x

an0

x

ae

(x)

0

(x)

(x)

i

n

(x,t)

(aa能量本征值：En2

222ma2En

概率密度:n

n

0e

e2n

(x)nx

a2sin2an=1,

2,

3,...2

sin

n

xa

a

i

En

t2

sin

n

x)

e

011阱）中 运动粒子的特征和规律n2

22En

2ma2n=1,

2,

3,...2ma2

221

粒子的能量不连续,是量子化的；2同一量子数下粒子在势阱中不同位置的能量相同.3

粒子能量不同,速度不同;4粒子能量最小值不为零，粒子无法

。当n=1时粒子能量最小(基态):Emin

E1

aE

4E

3E

2E

1n=10n=2n=3n=41、 粒子的能量E：在U势场（势运动粒子的质量m重要！特点n2

22nE

2ma222n2E

En1

En

(2n

1)2ma2E

(2n

1)Enn

时E

0

经典(能量连续)En量子经典(能量连续)5）分立光谱Em

En

h对应原理6）相邻两能级间隔122

阱内波函数-本征波函数n

(x,t)

i

E

tn(2

na

asin

x)

e驻波形式！定态

空间和时间函数分离E13h

经典平面简谐波复函数表示式2

i

(

t

x

)(x,t)

Ae2E(x,t)

A

cos(t

2

x)内容回顾3

定态波函数3

x2

x1

xn=10aa

121;

2a22a

2

2

;

a2aa

3

;

2

3

33a22a

44;

4a4

xan

(x)

2

sin

n

xn=1,

2,

3,...n=2n=3n=40

x

aa

14sin

x2

a1

(x)2

sin

2

xa

a2

(x)E2

3

(x)

sin

x3

a

a2

sin

4

xa

a4

(x)15特点3

x2

x1

xn=10an=2n=3n=42

sin

n

xa

a4

xn

(x)

n=1,

2,

3,...0

x

a1)

在无限深的势阱中为驻波形式，阱边界处是波节.2）阱宽与驻波波长的关系：a

n

n2不同量子数下粒子在无限深势阱中的驻波波长不同2

ann

重要！23

xn

324

xn

422

xn

221

xn

10a4.概率密度分布nn

nnxa22

sin

2a

(x)

E特点重要！161）同一量子n粒子在阱中的概率密度分布连续，概率密度与粒子在阱中的位置x有关；3

x2n

324

xn

422

xn

221

xn

10ann

nnxa22

sin

2

(x)aE17特点2）同一量子n粒子在阱中的概率密度分布有n个位置处具有相同的最大值;n

4例如极大值位置：x

(2

k

1)a

,

k

1,2,3...n2

n0an很大n

时粒子在各处概率相等量子经典对应原理3）在量子数n的态下 ,

粒子在阱内出现的概率为

1

。4）

1;P0

axaP

0

xx粒子在阱内x区段出现的概率特点183

x2n

34

x2n

42

x2n

2

x21n

10aa

3a

5

7x

;

;

a;

a8

8

8

8问：N=4时粒子出现的概率最大的各个位置？E问：在0

x

a区间内n=1和n=3时粒子出现的概率？答：

P

1课堂练习19比较经典结果与量子结果经典结果①粒子能量是连续的量子结果①能量是量子化的。②粒子能量不同,速度不同;②粒子在阱内匀速运动或③粒子在各处概率相等④粒子在x1—x2之间的能量不为零，粒子无法

。③粒子在各处概率为

n

x2概率为ax2

x1④粒子在x1—x2之间的概率为xn2x12

dx2021aE

3E

2E

1n=10n=2n=3n=4n2

22En

2ma

2n=1,

2,

3,...E

4定态波函数n=10aa

121;

2aa

2

222;

a2

33a

3

3

;

2a2a

44;

4n=2n=3n=4na

a

(x)

2

sin

n

x

x

n=1,

2,34

x3

x2

x1,...驻波a2能量E小结：一维无限深势阱0xa

中粒子运动的特征和规律:4

x3

x2

x1

xE4;n

4E3;n

3E2;n

2E1;n

10a

x23n

324

xn

4

x22n

221

xn

10a1

2a2

a3

2a324

a概率密度22n2

sin

n

x)a

a定态波函数

(x)(2n

(x)n

n

一维无限深方势阱0

x

a中粒子的定态波函数和概率密度22

2

0a2ax

,

x

a

x

aU

Ux定态波函数:e

(

x,

t)

0a

aon

2

sin

n

x(

x)

a

aen2

cos

n

x

(

x)

a

x

a2

2x

a

,

x

a2

2n

2,4,6,

n

1,3,5,n2

22En

2ma2n=1,2,3,...

能级高度不变！2a02a无限深方势阱一维无限深势阱

a

x

a的定态波函数:2

2234

x3

x2

x1xoE4E

3E

21E-a/2a/223

xn

32

x4n

4

x22n

221

xn

1-a/2o

a/21

2a2

a33

2a4

a23a

a

a

3a

;

;

;8

8

8

82

2定态波函数 概率密度无限深方势阱

a

x

a

中粒子的波函数，能级和概率密度驻波2425能量n=10aE

4E

3E

2E

1n=2n=3n=4n2

22En

2ma

2一维无限深势阱中粒子的能量0a/2E

4E

3E

2E

1n=2n=3n=4n2

22能量

En

2ma

2n=1,

2,

3,.-a/2

0n=10xa2

2

a

x

a2ma222E1

26n=12n=321

1

sin2x

a极大值位置：x

an

3时aasin2

xa

a2

3x23

3

极大值位置：x

a

;

a

;

5

a6

2

6n

1时an

nnxa

2

sin22nn

在0

a一维无限深势井中粒子在量子数为1, 3

和n时的概率密度为多少?概率密度的极大值的位置?2n(x)

(x)极大值位置：

x

(2

k

1)a

,

k

1,2,3...n2

n课堂练习解：272

sin

4xa

a4(x)

粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a），其定态波函数为粒子出现的概率最大的各个位置是(

0

<

x

<

a

)x

a

;

3a

;

5

a;

7

a8

8

8

8粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a），其定态波函数为4(x)

2

sin

4xa

a

a

x

a2

2粒子出现的概率最大的各个位置是x

a

;

3a8

8课堂练习-填空课堂练习-填空28质量为m微观粒子处在长度为L一维无限深势阱中,试求:解:(1)(1)粒子在0

x

L4区间内出现的概率,并对n

=1和n的情况进行

.(2)在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?sin

x2

nL

Ln定态波函数

(

x)

L

L概率密度

22n2

nx

sin粒子在0

x

L4区间内出现的概率:sin2

x

dxLP

L04

0

0L4L4

dx

2nLsin

n

1

14

2n

2Lo

L/421n=1(x)

(x)课堂练习4

2n

2P

1

1

sin

n0

L4n

1:

9

14

204LP

1

0L1

;4nLP

x2

x1x1x22

(x)2

1

1

s

i

n n

4 2

n

P0

L4连续！经典结果n

L4P

1;

x

:

0

L;1440

LP

量子结果与经典结果相同29(2)L4处的概率密度4L

L

430(x)

2

(

L)

2

sin2n4Ln

(

L

)

2

sin2max对应于sin

n

14 (

2

k

1

)

2即n

4

n

2

(

2

k

1)

2,6,10,在L4处概率密度取极大.k

0,1,2,31用驻波法求解阱宽为a的一维无限深势阱能量量子化形式.E

Ek

Ep

Ek

0

定态波函数对应阱中为驻波解:则有h阱宽与驻波波长的关系：a

n

2a;n

1,2,3,

2

n

p

8ma22mP2

n

E

En

2ma2n2

22n2an2

h2

P

P

nh

量子化动量式量子化能量式,与前面方程的结果相同!2mp2n

1,2,3,

在一维无限深势阱中粒子的能量：课堂练习高难度例题：在阱宽为a

的无限深势阱(0<x<a)中,一个粒子的状态为f

(

x)

sin

sinx

2xa

a多次测量其能量。问：（1）每次可能测到的能量值；相应概率？能量的平均值？超基本重点32要求范围（1）n

(x)

sin

x,

n

1,2,3,

2a

an

22n22ma2En无限深势阱中粒子线性组合态212a

2a

f

(

x)

sin

x

sin

2xa

a它们的线性叠加也是体系的可能状态多次测量能量(可能测到的值)1E

222ma2122,

E

2222ma2

2n

1

,

2分析：33

f

(x)的归一化定态波函数(x)2f(x)

dx

aa1f(x)1

22

2

1

(x)

1

(x)a(x)

1(21a2

)

a2

(

x

)

C

(

x

)

C

(

x

)1

1

2

22

212C

;

C

1

1（2）分析：341

1

2

2线性组合态的概率密度(x)

2

(x)21

1

2

1

2

1

2(x)

C

2

(x)

C

2

2

(x)

2C

C

(x)

(x)2项对应态1和态2

性组合态中对应的概率密度所占的比例（百分比）122|

C

| &

|

C

|2

(

x

)

C

(

x

)

C

(

x

)221C

2

(1

)

2

1222C

2

(

1

)

2

1n

1,2

能量出现的概率：35能量的平均值（3）：E

C

2

E

C

2

E1

1

222

ma

2

2

2

E

5222ma2(

1

)

2

22ma2

1

22

22

2

36如果不是无限深势阱，阱外不远处概率为零吗？答:因波函数连续，阱外不远处:e

0，概率不为零.|(x)

|

2n=3n=2n=1粒子在E

<

U0,

区域出现的概率不为零。U0势

垒思考:3738EU0透射Ψ2Ψ1xⅡ区Ⅰ区0xⅡ区Ⅰ区

0入射+反射EU(x)U0—、半无限宽势垒1.E

>U0的粒子，经典：

越上势垒。2.E<U0的粒子，不能越过势垒。量子：电子可透入势垒.x

>0区(E

<U0)粒子出现的概率

0电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气.39EΨ2U00

a

xⅡ区Ⅰ区Ⅲ区隧道效应Ψ3有限宽势垒二、 有限宽势垒和隧道效应(potential

barrier

and

tunnel

effect)入射+反射Ψ1有限宽势垒的现象。振幅2m(U0

E

)a2

(a)

C

e波穿势垒过后,

将以平面波的形式继续前进

3，振幅为

2(a).隧道效应：

当粒子的能量E<U0

，微观粒子有概率穿过40

系数:a；(U0当U0–E

=5eV，a>50nm

时，T

0量子概念过渡到经典了.

E)

T

xE0

aU0Vo

aIIIIIx电子的隧道效应在表面边界形成电子云。电子密度在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。1nm金属样品电子云T

(a)

e02m(U

E

)

2a22U0势垒123经典理论01.E

>U的粒子，越过势垒。2.E

<U0的粒子，不能越过势垒。a量

1.E >U0的粒子，也存在被弹回子

的概率——

反射波。理

2.E <

U0的粒子，也可能越过势垒论

到达3区——

隧道效应。比较经典结果与量子结果2mE

p22

m2

pp

E

x

=

a很小时,

p

很大怎样理解粒子通过势垒区?势垒区宽度量子物理：运动粒子有波动性，遵从不确定原理有可能使得E

U0

E势垒很大2xP

思考:42一矩形势垒，设U0和d都不很大．在Ⅰ区中向右运动的微观粒子能量为E

。OdxU(x)U0ⅠⅡⅢ(A)

如果E

>

U0，可全部势垒Ⅱ进入Ⅲ区;(B)如果E

<

U0，都将受到x

=

0处势垒壁的反射，不可能进入Ⅱ区;(C)

如果E

<

U0，都不可能(D)

如果E﹤U0，有一定概率势垒Ⅱ进入Ⅲ区．势垒Ⅱ进入Ⅲ区．[

D]课堂练习43238U

234Th

+4HeE

4.25MeV通过隧道效应出来对不同的核算出的衰变概率和实验一致。R35MeV4.25MeVr0三、隧道效应的应用核的衰变,隧道二极管，金属场致发射…1.核的衰变不稳定的重原子核自射一个粒子而转变为另一种核的过程442.扫描隧道显微镜(STM)(Scanning

Tunneling

Microscopy)原理：利用量子力学的隧道效应STM是一项技术上的重大发明,用于观察表面的微观结构(不接触、不破坏样品)STM使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。45隧道电流iAUB探针样品d

~

10Å

di

Ue

AA——常量控制i不变，反映表面的起伏情况.若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可46得到表面电子态密度的分布。

—样品表面平均势垒高度(~eV)电子密度在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nmd变~

1

Å

i

变化几十倍.针尖只有1~2个原子！微小电压47隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压扫描隧道显微镜示意图扫描一步0.4

Å

，扫描12，用0.7s“量子围栏－扫描隧道显微术的又一杰作”

物理

1994.

10,

p.58249不足:STMSTM样品必须具有一定程度的导电性；在恒流工作模式下有时对表面某些沟槽不能准确探测利用光学中的受抑全反射理论，研制成功光子扫描隧道显微镜（PSTM)。它可用于不导电样品的观察。一维无限深势阱中质量为m的粒子所处的定态波函数为设势阱宽度为L，则粒子在何处出现的概率密度最大？L

L(x)

2

sin

3

x概率密度是多少？26B.

L

2L50%C.3L

2L2D.

L2√A.

L

课堂练习24b分析：n

3

x230L623

L

2L

粒子在一维无限深势阱中运动,设其定态波函数表达为（n

x）

0

x

0,

x

aan（x）Csin

x

0

x

a02

2试问其归一化系数如何计算？C

sin

(axA.归一化系数C满足：)dx

1)dx

1B.归一化系数C满足：D.归一化系数C满足：E.以上都不对0aaC

sin(x0C.归一化系数C满足：C

sin()dx

1ax)dx

10aC

2

sin2

(x

a#1a1301014a√课堂练习粒子在一维无限深势阱中运动，设其定态波函数表达为#1a1301014ban（x）Csin

x

0

x

a（n

x）

0

x

0,

x

a试问何处粒子概率密度最大？A.

x

aB√.

x

a

/

2C.

x

a

/

4D.

x

a

/

3E.

x

02

sin

n

xa

an

(x)

n=1课堂练习分析：B.C.D.E.以上都不对粒子在一维无限深势阱中运动，设其定态波函数表达为在x=0

~a/4区间内发现粒子的概率可以表达为0a

/

42)d

xsin

(2axaaA.

2

sin2

(x

)a

/

40sin(

)d

xa

a2

xa2a4sin

(

)2n（x）

2

sin

x

0

x

a；（

x）

0

x

0,

x

ana

a√课堂练习C.E.粒子在一维无限深势阱中运动，设其定态波函数表达为a0x

x2)d

xsin

(2ax

a0axaax

2

sin(

x

)d

xd0

x

aa

an2

sin

x（x）粒子的位置平均值为：0x

a

/

2x

a0a

ax

2

sin

2

(x

)d

x2D√.

课堂练习#1b13010037a0 0

x

a

x

0,

x

a一维无限深方形势阱：

U(x)

{如何来理解这一理想模型？以下那条论述是错误的？√A.在势阱中粒子受到的是无穷大的B.与“一个微观粒子被限制在长度为L的盒子里”模型类似C.金属中的

电子可以用这个模型作为近似√D.晶体中的原子在平衡位置附近的微小振动可以用这个模型作为近似课堂练习#1b13010037b一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子，则以下哪些论述是正确的？A√.在势阱中找到该经典粒子的几率在阱内各处相等，在阱外为零B.在势阱中找到该经典粒子的几率在全空间各处相等C√.该经典粒子在阱内有可能是

的D.该经典粒子的能量是量子化的课堂练习下列波函数哪个可能存在于一维无限深方形势阱中？（图中的(x)和d(x)/dx在区域内均为单值连续函数)(x)(x)A.只有1B.只有2C√.1,2都可以D.1,2都不是课堂练习#1b13010037d被

在一维无限深方形势阱中的粒子的能量有以下哪些特征？A√.有零点能，也即基态能量不为零B.势阱的宽度a越大，能量间隔越大C.该粒子在阱内有可能是

的√D.该粒子的能量是量子化的课堂练习#1a1301024c设一维无限深势阱宽度的量纲为nm(纳米),描述该势阱中粒子的波函数是归一化的，则描述找到该粒子的概率密度的量纲应为无量纲nmC√.

1/nm1/nm21

/

nm课堂练习设有如下图所示的定态波函数：-LL-LL并假设有三个势阱及能级分布如下图所示，问上面所示的两个波函数与那两个势阱的能级图对应？势阱A与B势阱B与C√C.势阱C与A都对应势阱A都对应势阱C都对应势阱B课堂练习分析：n

2n

2下列哪个图正确表述了粒子从右边穿过势垒到达左边过程中定态波函数的图像？

ACD#1a1301019c√B课堂练习62分析：由于两边都是无

壁，应该在左右的势阱内形成驻波粒子运动过程中能量守恒U右U左

U右P2右2m左

U

2P

左2m左U右U右

P左

P左左hP

右右h

P

左

右与图示的波长关系一致右左

图为一无限深势阱，势阱宽为2a，

0x

a,

x

a0

x

a

a

x

0

VV

(

x)

0则下面的四个图中，

哪个或那些图正确表述了该势阱的定态波函数？IIIIIIIV#1a1301019bV(x)xOV0a只有I

和IV只有II只有I只有II

和III√E.

只有IV课堂练习的能量E

分别为

(

x)

2

sin

3

xL

L设势阱宽度为L，则粒子的德布罗意波波长和粒子#1a1301024a一维无限深势阱中质量为m的粒子的波函数为8mL2h2C.6LmL29h29h226mL9h2D.

3LmL2A.

L3√B.

2L32

mL

232

2

2E

3

n

3课堂练习3

2Ln;a

n2xn2asin

na分析：

(

x

)

2

ma

2n

2

2

2E

n0

x

a65本征波函数:e

(

x,

t)

0x

0,

x

an0

x

a能量本征值

E

0n

1,2,3,nn

2

2

22

ma

2E