平面向量基础题

平面向量基础题一、高考真题体验1．（2015新课标卷I）已知点uuur(uuurA(0,1),B(3,2)，向量AC4,3)，则向量BC()（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)2．（2015新课标卷II）已知a1,1,b1,2,则(2ab)a（）A．1B．0C．1D．23．（2014新课标卷I）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFCA.ADB.1ADC.1BCD.BC22二、知识清单训练【平面向量概念】1、定义：大小、方向 2 、几何表示：有向线段 AB,a、3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量4．下列判断正确的是 ( )uuur uuurA.若向量AB与CD是共线向量，则 A,B,C,D四点共线；单位向量都相等；C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D.模为0的向量的方向是不确定的。5．下列命题正确的是 (A．单位向量都相等

)

B．若

a与b共线，

b与c共线，则

a与c共线C．若

|a

b||a

b|，则ab

0

D．若

a与b都是单位向量，则

ab

16．已知非零向量

a与b反向，下列等式中成立的是

（ ）A．|a| |b||a b|B．|a b||a b|C．|a| |b||a b|D．|a| |b||a b|【线性运算】1、加法：首尾相连，起点到终点ABBCAC2、减法：同起点、连终点、指向被减ABACCBa0,a方向与a方向相同；0,a方向与a方向相反aa3、数乘：7．空间任意四个点A、B、C、D，则等于(）A．B．C．D．8．设四边形ABCD中，有DC=1AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是2A.平行四边形B.等腰梯形C.矩形D.菱形9．设D，E，F分别为uuuruuurABC的三边BC，CA，AB的中点，则EBFCuuurBuuurC1uuurD1uuurA．BC．AD．BC．2AD210．设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，则（）A．+=B．+=C．+=D．++=11．如图.点M是ABC的重心,则MAMBMC为（）A．0 B ．4ME C ．4MD D ．4MF【平面向量基本定理】 c a b，基底uuur uuur uuur r uuur r uuur r12．如图所示，已知 AB 2BC，OA a，OB b，OC c，则下列等式中成立的是 ()CBA O(A)r3r1r(B)rrr(C)rrrr3r1rcbac2bac2ab(D)c2a2b22uuurruuurruuurruuuur13．在空间四边形ABCD中，ABa，ACb，ADc，M，N分别为AB、CD的中点，则MN可表示为（）A.1rrrB.1rrr(abc)2(abc)2rrrrrrC.1D.1(abc)2(abc)2uuuruuuruuur1uuuruuur14．在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB,CD3CACB，则()2112A．C．D．3B．333【共线定理】a//bbax1y2x2y1rrrr15．已知a3e12e2，则与a共线的向量为(A)rr(B)rr(C)rr(D)rr2e13e26e14e26e14e23e12e216a(1,2)，b(2,n)，若a//b，则n等于．平面向量A4B．4C．1D．2．【坐标运算】1、已知2、已知

Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1ax1,y1,bx2,y2则abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，a(x1,y1)，a?bx1x2y1y217．已知向量a2,1,b3,4，则abA． 1,5 B ．1,5 C ． 1,3 D ．1,3uuur(2,4)uuur(1,3)uuur18．若向量AB，AC，则BC=（）A．(1,1)B．(1,1)C．(3,7)D．(3,7)rrrr19．已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2abA．（5,7）B．（5,9）C．（3,7）D．（3,9）【数量积】1、ababcosx1x2y1y2定义：，a在b方向上的投影acos2、 投影：23、模：aax12y12cosa,babx1x2y1y2abx12y12x22y224、夹角：5、垂直：abab0x1x2y1y20rrrr12rr20．已知|a|6，|b|3，ab，则向量a在向量b方向上的投影是（）A．－4B．4C．－2D．2r3r2rrrr21．已知a，b3，agb3，则a与b的夹角是A.30B.60C.120D.150r(1,2)rrrr22．设a，b(2,k)，若(2ab)a，则实数k的值为（）A．2B．4C．6D．8rrrrrrrrrr23．已知a,b是平面向量，若a(a2b)，b(b2a)，则a与b的夹角是A．B．3C．2D．5636uuuruuur24．空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos<OA,BC>的值是（）3A.1B.2C.－1D.02 2 2rrrrrrrrrr25．设向量a,b满足|a|1,|ab|3,a(ab)0，则|2ab|＝()A．2B．23C．4D．4326ABC的边长为1．已知等边，则ABBC1A．2

31D．3B．C．22227．在RtABC中，D为BC的中点，且AB6，AC8uuuruuur，则ADBC的值为A、28B、28C、14D、1428．若同一平面内向量rrrrrrrrra，b，c两两所成的角相等，且a1，b1，c3，则abc等于（）A．2B．5C．2或5D．2或5【课后练习】29．已知和点满足.若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．uruurrurruruurrr30．设向量e1,e2是夹角为2的单位向量，若a3e1，be1e2，则向量b在a方向的投影为（）3A．3B．1C．1D．122rrr2rrrrr31．已知平面向量（）a，b满足a3，b2，ab3，则a2b．B．7C．43D．27A1rrrrr32．已知a1,b2,且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为（）.（A）30o（B）45o（C）90o（D）135o33．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）uuuruuuruuuruuuruuurA．ABDCB．ADABACuuuruuuruuurDuuuruuuruuurC．ABADBD．ADCDBD34．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，uuuruuuruuurAB(2,4)，AC(1,3)，则DA＝（）A．（2,4）B．（3,5）C．（1，1）D．（－1，－1）uur35OABPABuuuruuuruuuruuur中，为线段上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝3PA，则（）．．如下图，在△A、x＝2，y＝1B、x＝1，y＝2C、x＝1，y＝3D、x＝3，y已知向量a(1,2),b(4,m)，若2ab与a垂直，则m（）A．-3B．3C．-8D．837．已知平面向量a,b满足a(a+b)=3，且a=2,b=1，则向量a与b的夹角为（）A．B．C．3D．63638．已知向量a(2,1),b(5,3)，则ab的值为A．-1B．7C．13D．1139．已知平面向量A．1 B ．4

rr(rra(1,2),b2,m)，且a//b，则实数m的值为（）C．1D．4uuur1,2uuur3,4uuur40．已知平面向量AB，AC，则向量CB=（）A．(4,6)B．(4,6)C．(2,2)D．(2,2)41．已知向量a2，1，bx，2，若a∥b，则a+b等于（）A．2,1B．2,1C．3,1D．3,142．已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB同向的单位向量是（）A．(3，-4)B．(-3，4)C．(-4，3)D．(4，-3)5555555543．若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．344．设x,yR，向量ax,1,b1,y,c2,4,且ac,b//c，则ab()A.5B.10C．25D．10rr(2,1)，下列结论中不正确的是（）45．已知向量a(1,2),b．．．rrrrrrrrrrA．a//bB．abC．|a||b|D．|ab||ab|1．A【解析】试题分析：∵

平面向量基础题参考答案uuuruuuruuuruuuruuuruuurABOBOA=（3,1），∴BCACAB=(-7,-4)，故选A.考点：向量运算2．C【解析】试 题 分 析 ： 由 题 意 可 得 a2 1 1 2 , ab 1 2 3, 所 以2aba2a2ab431故选C..考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.3．A【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF中，uuuruuuruuuruuur1uuur，同理uuuruuuruuuruuur1uuur，则EBEFFBEFABFCFEECFE2AC2uuuruuuruuur1uuuruuur1uuur(1uuur1uuur1uuuruuuruuurEBFC(EFAB)(FE2AC)ABAC)(ABAC)AD2222．考点：向量的运算4．D【解析】解：因为uuuruuurA,B,C,DA.若向量AB与CD是共线向量，则四点共线；可能构成四边形。单位向量都相等；方向不一样。共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。模为0的向量的方向是不确定的，成立5．C【解析】对于A，单位向量模长都为 1，但方向不确定，所以不一定相等；对于B，若b 0，此时若a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线；对于C，若|a b|=|a b|，则两边平方，化简可得 ab 0，C正确；对于D，若a与b都是单位向量， ab 1 1 cos .6．C【解析】解：因为非零向量a与b反向，所以则有根据向量的加法法则可知，|a| |b||a b|，选C.7．C【解析】试题分析：如图，uuuruuuruuuruuuruuuruuurBACBCDCADCDA，故选：B．考点：向量加减混合运算及其几何意义．8．B【解析】解：因为四边形 ABCD中，有DC=1AB，且|AD|=| BC|，，因此一组对边平行，2另一组对边相等的四边形为等腰梯形，选B9．B【解析】uuur1uuuruuuruuur1uuuruuur试题分析：由向量加法法则得BEBABC，CFCBCA，因此uuuruuur1uuuruuur22EBFC2BABC1uuuruuur1uuuruuur1uuuruuur1uuuruuur2CBCA2BACA2ABAC22ADAD，故答案为B.考点：向量加法法则的应用.10．A【解析】∵+=2，∴﹣=﹣，=，﹣=，+=故选A．11．D【解析】试题分析：点M是ABC的重心，所以有F点是中点，MF1CFuuuruuuruuuur1CMQMAMB2MF32uuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuurMAMBMC2MFCM4MF考点：向量的加减法点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量12．A【解析】试题分析：OC OA AC OA 3BC OA 3OC OB,所以OC 3OB1OA.2 2考点：向量的三角形法则 .13．C【解析】试题分析：取 AC的中点E，连接ME,NE，则uuuuruuuruuur1uuur1uuur1uuuruuur1uuur1rrrMN=MEENBC2AD2ACABAD(abc).222考点：向量的加减运算；向量加法的三角形法则。点评：我们要注意向量加法的三角形法则的灵活应用。属于中档题。14．D【解析】15．C【解析】rrrrba，那么对于选项A,试题分析：因为a3e12e2，那么则与a共线的向量要满足分析不满足比例关系，对于选项B，由于不存在实数满足ba，因此不共线，同理可知选项D，也不满足，排除法只有选 C.考点：共线向量点评：主要是考查了向量共线的概念的运用，属于基础题。16．A【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知 1?x (-2)?(2)=4，所以x=4.考点：向量共线的坐标表示 .17．A【解析】试题分析：根据向量的加法运算法则，可知考点：向量的加法运算．18．B【解析】试 题 分 析 ： 因 为 向 量

r ra b (2 3,1 4) (1,5)，故选A．uuuruuurAB(2,4)，AC(1,3)，所以BC AC AB (1,3) (2,4) (1,1)．故选B．考点：向量减法的坐标的运算．19．A【解析】试题分析：根据向量的坐标运算可得：考点：向量的坐标运算20．A

r r2a b 4,8 1,1 5,7，故选择A【解析】rr试题分析：向量a在向量b方向上的投影是acos（是a，b的夹角），acosab-4.=b考点：向量的数量积运算.21．C【解析】试题分析：根据题意，由于r，r，rrr与r的夹角是a3b23ab3，那么可知abgab-3=-1，因此可知其夹角为120，选C.|a||b|62考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的基本运算，属于基础题。22．C【解析】试题分析：因为2ab(4,4k)，(2ab)a412(4k)122k0k6考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量abab0；3．数量积公式的坐标形式；23．B【解析】rrrrrrrr试题分析：根据题意，由于a,b是平面向量，若a(a2b)，b(b2a)，则可知（g）=02g0,（g）=02g022，a-2bb-2ab=aaa-2ab=bb-2ab=g11rr可知a与b的夹角cosa,ba,b|a|g|b|2233，选B考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题。24．D【解析】OB=OC，以及两个向量的数量积的定义化简uuuruuur试题分析：利用cos＜OA,BC＞的值，根据题意，因为OBOC，则uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurggOB)gg0,故可知答案为D.cos<OA,BC>=uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur|OA||BC||OA||BC||OA||BC|考点：向量的数量积点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用25．B.rrr0,r2rr1rrr2rrr2r24,【解析】Qa(ab)aab,|ab|2a2abb3,brrr2rrr244423,故选B.|2ab|4a4abb26．A【解析】试题分析：ABBC＝11cos21．32考点：平面向量的数量积．27．D【解析】uuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuur试题分析：由题意得，ABAC,AD(ACAB),BCACAB,2uuuruuur1uuuruuuruuuruuur1uuur2uuur2136)14.ADBC2(ACAB)(ACAB)(ACAB)(6422考点：平面向量的线性运算和数量积28．C【解析】rrr试题分析：因为同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120时，rrrr2r2r2rrrrrrrrr|abc|abc2ab2ac2bc1191334，即|abc|2，rrr1135，所以当三个向量所成的角都是0时，|abc|rrr故|abc|2或5.考点：平面向量的数量积，向量的模的求法.29．B【解析】uuuvuuuvuuuuvv试题分析：由题根据MAMBMC＝0，则M为△ABC的重心．uuuvuuuvuuuuvv根据MAMBMC＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，uuuuv221uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuvuuuvuuuuv3，故选B则AM＝AD3(ABAC)(ABAC)，ABAC＝3AM，m323考点：平面向量的几何意义30．A【解析】uruur2的单位向量，所以e1|cos21向试题分析：因为向量e1,e2是夹角为e2|e1||e2rr332量b在a方向的投影为ab3e1(e1e2)3e123332|b|cosa,b3e1e2.a|3e1|332考点：向量数量积的运算 .31．B【解析】试题分析：根据题意结合向量的运算可得： |a 2b| a2 4ab 4b2 7.故选B.考点：向量模的运算32．B【解析】()20,1，则ab12试题分析：由aaababcosa,b，abab22向量a与向量b的夹角为45o，选B.考点：平面向量的数量积和向量夹角；33．C【解析】uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur试题分析：由向量的有关知识可知ABDC，ADABAC，ADCDBD正确．而uuuruuuruuurABADBD错误．选C考点：向量的运算和性质34．C．【解析】uuuruuuruuuruuur(1,1)试题分析：DAAD(ACAB)．考点：平面向量的线性运算．35．D【解析】uuruuur试题分析：由已知BP＝3PA，得OPOB3(OAOP)，整理，OPOB3(OAOP)3OA1OB，可得x＝3，y＝14444考点:向量的加、减运算．36．A【解析】rr2,4m)，所以rrr22(4m)0试题分析：由已知2ab((2ab)a，解得3．故选A．考点：向量垂直的坐标运算．37．C【解析】rr1，所以试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小．由条件得abrrrrrr12，故选C．cosa,buura