初中数学定义定理公理公式证明汇编

(圆满版)初中数学定义、定理、公义、公式证明汇编(圆满版)初中数学定义、定理、公义、公式证明汇编(圆满版)初中数学定义、定理、公义、公式证明汇编初中数学定义、定理、公义、公式直线、线段、射线已知：RtABC,∠C=90°七上p1281.过两点有且只有一条直线.求证：∠A+∠B=90°（简：两点决定一条直线）证明：∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°七上p1322.两点之间线段最短∴∠A+∠B=90°七上p1423.同角或等角的补角相等.七下p75同角或等角的余角相等.3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个七下p4内角的和.4.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直4.三角形的一个外角大于任何一个和它不相七下p6邻的内角.5.直线外一点与直线上各点连结的全部线段全等三角形的性质、判断中，垂线段最短.（简：垂线段最短）八上p3平行线的判断1.全等三角形的对应边、对应角相等.七下p13八上p91.平行公义经过直线外一点，有且只有一条2.边角边公义(SAS)有两边和它们的夹角对直线与这条直线平行.应相等的两个三角形全等.七下p13八上p112.假如两条直线都和第三条直线平行，这两条3.角边角公义(ASA)有两角和它们的夹边对直线也相互平行（简：平行于同向来线的两直应相等的两个三角形全等.线平行）八上p12七下p144.推论(AAS)有两角和此中一角的对边对应3.同位角相等，两直线平行.相等的两个三角形全等.七下p14八上p74.内错角相等，两直线平行.5.边边边公义(SSS)有三边对应相等的两个七下p15三角形全等.5.同旁内角互补，两直线平行.八上p14平行线的性质6.斜边、直角边公义(HL)有斜边和一条直角七下p20边对应相等的两个直角三角形全等.1.两直线平行，同位角相等.角的均分线的性质、判断2.两直线平行，内错角相等.八上p203.两直线平行，同旁内角互补.性质：在角的均分线上的点到这个角的两边的三角形三边的关系距离相等.七下p64八上p211.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的判断：到一个角的两边的距离相同的点，在这差小于第三边.个角的均分线上.三角形角的关系等腰三角形的性质七下p73八上p501.三角形内角和定理三角形三个内角的和1.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个等于180°.底角相等(即等边相同角).2.直角三角形的两个锐角互余.2.推论1等腰三角形顶角的均分线均分底边而且垂直于底边.已知：ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的角均分线求证：AD均分BC,AD⊥BC.证明：∵AB=AC,AD是∠BAC的角均分线AD均分BC,AD⊥BC.（三线合一）八上p50等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线和底边上的高相互重合.八上p54推论3等边三角形的各角都相等，而且每一个角都等于60°.等腰三角形判断八上p521等腰三角形的判判断理假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角相同边）八上p542.三个角都相等的三角形是等边三角形.八上p54有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.线段垂直均分线的性质、判断八上p33定理：线段垂直均分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.八上p33逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直均分线上.线段的垂直均分线可看作和线段两头点距离相等的全部点的会合.轴对称、中心对称、平移、旋转八上p30对于某条直线对称的两个图形是全等形八上p32八上p32假如两个图形对于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直均分线八上p33两个图形对于某直线对称，假如它们的对应线段或延伸线订交，那么交点在对称轴上

八上p32若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直均分，那么这两个图形对于这条直线对称.九上p645.对于中心对称的两个图形是全等的.对于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，而且被对称中心均分.九上p646.若两个图形的对应点连线都经过某一点,而且被这一点均分，那么这两个图形对于这一点成中心对称.九上p57p62平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特别形式。八下p65勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.八下p73勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、222，那么这个三角形是直角b、c相关系a+b=c八上p55①直角三角形中，假如一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.八下p95②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.边形、四边形的内角和、外角和七下p82四边形的内角和等于360°.七下p83四边形的外角和等于360°七下p82多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）180°.七下p83４.推论随意多边的外角和等于360°.平行四边形性质八下p84平行四边形的对角相等.八下p84平行四边形的对边相等.夹在两条平行线间的平行线段相等.已知：直线a∥b,线段AB∥CD.求证：AB=CD.证明：∵a∥b,AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形∴AB=CDACa八下p85BbD4.平行四边形的对角线相互均分.平行四边形判断八下p831.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.八下p872.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.八下p873.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.八下p874.对角线相互均分的四边形是平行四边形.八下p88一组对边平行相等的四边形是平行四边形八下p94矩形性质1.矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.矩形判断八下p951.有一个角是直角的平行四边形是矩形.八下p962.有三个角是直角的四边形是矩形.八下p963.对角线相等的平行四边形是矩形.八下p98菱形性质1、菱形的四条边都相等.菱形的对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角.3、菱形面积=对角线乘积的一半，即s1ab2证明：菱形被两条对角线分红四个全等的直角三角形,且菱形对角线相互均分

设菱形对角线长为x,y则S菱形=4×1/2×(x/2×y/2)==1/2×xy因此菱形的面积等于其对角线乘积的一半八下p99菱形判断有一组邻边相等的平行四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形对角线相互垂直的平行四边形是菱形.八下p100正方形性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角.正方形判断八下p100四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形对角线相互垂直均分且相等的四边形是正方形.证明：对角线相互均分→平行四边形；对角线相互垂直的平行四边形→菱形；对角线相等的平行四边形→矩形形；菱形+矩形→正方形八下p107等腰梯形性质1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.2.等腰梯形的两条对角线相等.等腰梯形判断八下p108同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：梯形ABCD中，AD∥BC,AC=BD.求证：梯形ABCD是等腰梯形。证明：过D点作DE∥AC交BC延伸线与E点，QAD∥BC四边形ACED是平行四边形AC=DE,ACB=DEBBD=ACBD=DEDBC=DEBDBC=ACBQAC=BD,BC=CB三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于它的一半.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，而且等于两底和的一半l1(ab)，S=Lh2已知：梯形ABCD中，AD∥BC,EF是梯形的中位线，设AD=a,BC=b,EF=l,梯形高为h。求证：l1(ab)S=Lh2证明：连结AF交BC延伸线与G点①经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必均分另一腰.已知：梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，此中EAB中点。求证：F是CD中点证明：

EF是中位线DF=CFQADPBCG=DAG,D=DCGADFGCFAD=CG=a,AFFGEF是ABG的中位线1EFPBG,EF=BG1(ab)2连结AC交EF于点GAD∥BC∥EF∴△AEG∽△ABCE是AB中点AEAG1ABAC2CG1AC2同理可证CFCG1CDAC2F是CD中点.②经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必均分第三边.（证法参照上题）八下p89

QSABGS梯形ABCD=1BGh21Lh2九下p36比率的基天性质假如a:b=c:dad=bc相像三角形判断九下p42定理：平行于三角形一边的直线和其余两边订交，所构成的三角形与原三角形相像.九下p462.两角对应相等，两三角形相像.九下p44两边对应成比率且夹角相等，两三角形相像九下p43三边对应成比率，两三角形相像九下p47假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角三角形相像.已知：RT△ABC和RT△DEF，AC与DF为斜边，AB：DE=AC：DF求证：RT△ABC:RT△DEF证明：由勾股定理得：BC=AC2-AB2EF=DE2-EF2AB：DE=AC：DF=kAB:AC=DE:DF=kAB:AC）2=（DE:DF）2=k2AB2=k2AC2,DE2=k2DF2BC=AC2-k2AC2=1-k2ACEF=DF2-k2DF2=1-k2DFBC:EF=1-k2AC：1-k2DF=AC:DF=AB：DE三边对应成比率RT△ABC:RT△DEF相像三角形性质九下p52相像三角形对应高的比，对应中线的比与对应角均分线的比都等于相像比.相像三角形周长的比等于相像比.相像三角形面积的比等于相像比的平方.九下p59-60位似图形是相像图形的特别形式。位似比等于相像比。以三角形为例：

已知：ABC与DEF是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：k求证：ABC与DEF的相像比为1：kABC与DEF是以O为位似中心的位似图形BCPEFVOBC:VOEFOBOCBC1OEOFEFk]理可得OBOAAC1OEODEDkOCOAAC1OFODFDkACBABCOA1FDEDEFODkVABC:VDEF，ABC与DEF的相像比为1：k圆九上p791.圆是到定点的距离等于定长的点的会合.九上p90圆的内部能够看作是到圆心的距离小于半径.的点的会合.圆的外面能够看作是到圆心的距离大于半径的点的会合.九上p79同圆或等圆的半径相等.九上p92不在同向来线上的三点确立一个圆。垂径定理九上p81垂直于弦的直径均分这条弦而且均分弦所对的两条弧.推论1①均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧.②弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧.已知：AB为圆O的一条弦，CE垂直均分AB，垂足为D求证：CE是过点O，????ACBC,AEBE证明：假定CE可是点O连结OA,OD,OBQOAOB,ADBDODAB又QCDAB过点D有两条直线与AB垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，因此假定不建立CE是过点O，即CE是圆O的直径????依据推论1，可得ACBC,AEBE③均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧.已知：O为圆心，CE是直径，??ACBC求证：??，AEBECEAB，ADBD??∵ACBC∴∠AOC＝∠BOC.OA=OB∴⊿AOB为等腰三角形，CE均分它的顶角。从“三线合必定理”，CEAB，ADBD又∵∠AOE＝180°-∠AOC＝180°-∠BOC＝BOE.∴??AEBE九上p823.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.九上p83在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.以下是等弦推出等弦心距的状况，其余的近似已知：AB，CD为圆O的两条等弦,OEAB,OFCD求证：OE=OF证明：QBACDOEAB,OFCDAE1AB,CF1C22AECF在RtV和RtVOAEOCFAECFOAOCRtVRtVOAEOCF(九上p85OEOF圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.九上p87③假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个极点的距离相等.如图，三种△ABC中，l1为AB的垂直均分线，l2为BC的垂直均分线，l1与l2交于点O，连OA、OB、OC，∵l1是AB的垂直均分线，∴OB＝OA又l2是BC的垂直均分线∴OB＝OC故OA＝OB＝OCO在BC的垂直均分线上，即AC的垂直均分线过点O。九上p97三角形的心里，三角形内切圆的圆心，它是三个内角的均分线的交点，到三边的距离相等.已知，I是三角形ABC中ABC和ACB的角均分线的交点求证：AI均分CAB，I到三边的距离相等证明：作IDBC,IEAC,IFABQI是三角形ABC中ABC和ACB的角均分线的交点IDIF,IDIEIFIE点I在CAB的角均分线上，即AI均分CAB且IDIFIE直角三角形三边为a、b、c，c为斜边，则外接圆的半径Rc；内切圆的半径2abcr2已知例2：如图，Rt△ABC，∠C=90°，两直角边a，b，斜边为c，它的内切圆⊙O分别与BC，AC，AB相切于点D、E、F1）求这个三角形外接圆半径R和内切圆的半径r.解：做出如图协助线,∠C=90°AB为外接圆直径直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点∴外接圆半径R=c2（2）∵Rt△ABC的内切圆⊙O分别与BC，AC，AB相切于点D、E、F

∴四边形CDOE是矩形，又OE=OD∴矩形CDOE是正方形，∴EC=CD=r由切线长定理可得：BD=BF=a-rAF=AE=b-rAF+BF=ca-r+b-r=crabc2九上p94直线和圆的地点关系①直线L和⊙O订交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r九上p95切线的判断：经过半径的外端且垂直于这切线九上p96切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.已知：直线l是圆O切线，A为切点，OBl，垂足为B求证：直线OB不经过A点证明：假定直线OB可是A点Q直线l是圆O切线，A为切点QOAl又QOBl∴过点O有两条直线OA和OB与直线l垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，因此假定不建立∴直线OB过A点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆.已知：直线l是圆O切线，A为切点，ABl，AB与O交于点B求证：直线AB过圆心O证明：假定直线AB不经过圆心OQ直线l是圆O切线，A为切点QOAl又QABl∴OEAC,ODBC过点A有两条直线OA和AB与直线l垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，因此假定不建立∴直线AB过圆心O九上p97切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角.圆和圆的地点关系假如两个圆相切，那么切点必定在连心线上证明：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，两圆构成的图形也是轴对称图形，连心线是它的对称轴，假定切点不在连心线上，则它对于连心线的对称点也不在连心线上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相切只有一个公共点矛盾，因此切点必定在连心线上九上p100①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆订交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)正多边形和圆①挨次连结各均分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形n(n≥3):以五边形为例——已知：圆O中,?????ABBCCDDEEA求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．??QABBC???CDDEEAABBCCDDE???EA,BCECDA3ABAB同理BCDE又，五边形ABCDE的极点都在圆O上，∴五边形ABCDE是圆O的内接正五边形。②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆的外切正n边形。

已五边形为例，经过圆的五均分点作圆的切线，察看以相邻切线的交点为极点的五边形是否是正五边形？已知，PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：五边形PQRST是O的外切正五边形．证明：QOAOBOE,AOBAOEVABOVAEO,ABOBAO,AEOEAOABOBAOAEOEAOQPQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的⊙O的切线．OAPTOAP=OATOAP-OAB=OAT-OAEPAB=TAEQPAPB,TATEPABPBA,TAETEAPABPBATAETEAQABAEVPABVTAE(ASA)PAPBTATE,PT同理，RC=CQ=QB=BP,ES=SD=DR=RC,T=S=R=QPPAPBTATERC=CQ=QB=ES=SD=DRPQQRRSSTTP∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是齐心圆.以五边形为例——证明：假如正五边形ABCDE有外接圆，则A、B、C、D、E五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等．不在同向来线上的三点确定一个圆，不如过正五边形ABCDE的极点A、B、C作⊙O，连结OA、OB、OC、OD、OE．则OA=OB=OC；△OAB≌△ODCABCDE有一个外接圆⊙O．既然正五边形有一个外接⊙O，那么正五边形的五条边也就应是⊙O的五条等弦．依据弦等、弦心距相等，证明拜见p4，可知点O到五边的距离等．以该弦心距为半径作圆，可得该圆与各边都相切，因此相同，正n边形也应有一个内切⊙O，且两圆齐心．定理正n边形的半径和边心距把正n边形分红2n个全等的直角三角形.以五边形为例已知：正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距求证：正五边形的半径和边心距把正五边形分

成十个全等的直角三角形.证明：Q正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距OPAE,OTABPA1AE,AT1ABQAE22ABPAAT,OPOT（弦等推出弦心距等证明拜见p4）在VOPA和VOAT中PAATOPOTVOPAVOAT（HL)Q在VOPA和VOPE中OAOTOPOPVOPAVOPE（HL)VOPAVOATVOPE同理其余直角三角形也全等，每条边和圆心以及对应半径一共构成5个三角形，每个三角形能够切割成两个直角三角形，因此一共有10个全等的直角三角形。正三角形面积s3a2，a表示边长.4已知，正VABC边长为a求证：正三角形面积3a24证明：作ADBCD，Q正VABC边长aABACBCaBD1BCa22ADAB2BD2a2a23a42SABC1AD?BC1?3a?a3a2V2224九上p110扇形弧长：lnr180九上p111扇形面积：snr21nrr13602180lr2圆拄的侧面积s2rh圆柱张开图是矩形，长和宽中此中一条是圆柱的高h，另一条是圆柱底面周长2r，因此面积为2rh圆拄的表面积s2rh22r九上p113圆锥的侧面积s1.2rlrl2圆锥的表面积srlr2幂的运算：八上p160a≠0时a0=1，八下p19a-p=1pa八上142②aman=am+n；（am）n=amn0的0次幂没存心义八上p15122平方差：a-b=(a+b)(a-b)圆满平方：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2推行：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab证明：(ab)22aba22abb22aba2b2(ab)24aba22abb24aba22abb2(ab)2八上p27一次函数y=kx+b（k≠0）

八上p30k>0，y随x的增大而增大k<0，y随x的增大而减少八上p23正比率函数y=kx（k≠0）八上p25k>0，y随x的增大而增大,直线y=kx经过（0，0），（1，k）,经过第一、三象限②k<0，y随x的增大而减少,直线y=kx经过（0，0），（1，k），经过第二、四象限八下p39反比率函数yk（k≠0）x八下p43k>0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的增大而减少.k<0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，随x的增大而增大当九上p36一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac≥0）根为bb24acbb24acx12ax22a九上p41x1x2b