2019寒假北师大八年级下册第五讲因式分解有关概念及提取公因式法

2019-2020年寒假北师大版八年级下册第五讲因式分解的有关看法及提取公因式法(无答案)2019-2020年寒假北师大版八年级下册第五讲因式分解的有关看法及提取公因式法(无答案)2019-2020年寒假北师大版八年级下册第五讲因式分解的有关看法及提取公因式法(无答案)第五讲因式分解的有关看法及提取公因式法一、因式分解（一）知识梳理：做一做：9999+99992=？1）先乘方再相加：9999+99992=（2）先逆用乘法分配律，再计算：9999+99992=比较一下，哪一种运算更简略？答：_______从上面的计算可知：把一个多项算式化成几个算式的乘积的形式再计算，会给我们的运算带来极大的方便，在今后的运算中常需这样运算试一试：你能试一试把多项式ax+ay化成几个整式乘积的形式吗？ax+ay=1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的乘积形式，叫做把这个多项式分解因式，也叫多项式的因式分解。如a2-b2=（a+b）（a-b）就是把多项式a2-b2化成了两个整式a+b,a-b的乘积形式。这样的变形就是多项式的因式分解。无论你采用什么方法，只要把一个多项式变成了与原来多项式恒等的几个整式乘积形式，都是多项式的分解因式。1）对因式分解看法的理解①因式分解的对象必定是多项式（为什么不是单项式？）②因式分解的结果必定是次数低于原多项式的几个单项式和多项式的乘积形式③分解因式必定分解到每个因式不能够再分为止（2）因式分解的作用因式分解有着降次的作用，它是一种重要的代数恒等变形，有着广泛的应用，是今后学习根式、分式、一元二次方程以及二次函数必不能少的工具。2、因式分解与整式乘法的关系计算以下各式依照左边算式填空（1）a（b+c）=ab+ac=()()（2）(a+1)(a-1)=a2-1=()()（3）(x+2)(x-3)=x2-x-6=()()（4）(y-2)2=y2-4y+4=()2想一想：由a（b+c）获取ab+ac是什么运算？____________由ab-ac获取a（b-c）是什么变形？_____________由此可知整式运算和因式分解是互为相反的变形（能否是互为相反的运算）可表示为：（二）、典例精讲：例1.选择题（1）以下各式变形是因式分解的是（）A.6xB.x2-y2+1=（x+y）（x-y）+1C.2x2-4xy=x（2x-4y）D.a2+2ab+b2=（a+b）2（2）（m+2n）（m-2n）是以下哪个多项式分解因式的结果（）A.m2+4n2B.-m2+4n2C.m2-4n2D.-m2-4n2（3）多项式x2+2x-3分解因式得（）A.x（x+2）B.（x+1）2-4C.（x+2）（x-2）+（2x+1）D.（x-1）（x+3）例2、判断：以下变形哪些是整式乘法，哪些是因式分解①（x+2）（x+3）=x2+5x+6（）②9xyz-6x2y2=3xy（3z-2xy）（）③x2-6x+9=（x-3）2（）④（）例3、用简略方法计算2007×+2007×即学即练：1、以下变形中不是因式分解的是（）A.ax-ay=a（x-y）B.x2-10xy+25y2=（x-5y）2C.-a2+a2b-ab=-a（a-ab+b）D.（x+1）（x-1）=x2-12、填空题1）运算2（a+3）=2a+6是_________运算2）变形m2n+mn=mn（m+1）是________3）若是多项式ax+A能分解为a（x-y），则A=_______3、依照乘法运算：（m+4）（m-4）=m2-16，（x+2）（x+3）=x2+5x+6，（y+3）2=y2+6y+9直接写出以下多项式分解因式的结果：m2-16=_____________;y2+6y+9=________;x2+5x+6=__________________.4、利用因式分解计算________________.5、若a+b=2，ab=1则代数式ab2+a2b=______=__________.6、已知关于x的多项式3x2+x+m分解因式为（3x-2）（x+1）（1）求m的值；（2）将这个多项式分解因式。二、提取公因式法（一）知识梳理多项式分解因式的方法有很多，第一来学习一种常用的方法───提取公因式法1、观察乘法分配律的逆用公式：ab+ac=a（b+c）把多项式中相同的因式提出来写在括号的外面，再把各项剩下的因式写在括号里面，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法。我们把多项式里各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如多项式ab+ac中的a就是多项式ab+ac的公因式。2、提取公因式法的步骤第一步：确定多项式的公因式；第二步：把多项式写成公因式与某个整式的积；第三步：把各项的公因式提到括号外面，写成公因式与另一个多项式的积3、提公因式法分解时应注意几点1）确定公因式时，若公因式是单项式，要对数字系数和字母分别进行考虑；①关于系数，若是各项系数都是整数时，取各项系数的最大合约数作为公因式的系数；②关于字母因式，是取各相同字母因式的最低次幂；③当公因式是多项式时，则应注意下述几种变形：b+a=a+bb-a=-(a-b)(b-a)2=(a-b)2(b-a)3=-(a-b)3（1-a）（2-a）=（a-1）（a-2）有些多项式诚然看起来形式不相同，但经过上述变形后发现仍是公因式。（2）提取公因式时要注意提取公因式后，多项式各项不再含有公因式，剩下括号里的各项就是用多项式中的每一项分别除以公因式所得，当公因式和多项式中的某一项完好相同时，提取公因式后该项应该是“1”，而不是“0”，不要遗漏。（3）若是多项式的第一项为哪一项负数时，一般要先提出“-”号，使括号内的第一项的系数为正数，在提出“-”号时，多项式的各项必然要改变符号。（4）当公因式是多项式时，要注意符号问题，若需要改变括号内的字母序次，应尽量改变偶次项括号内字母序次；若均为奇次项时，则应保持首项系数为正。当n为偶数时，；当n为奇数时，。5）提取公因式要随时把每个因式内部化简，最后结果形式应把单项式因式写在前面，相同的多项式因式要写成幂的形式，多项式因式之间只能用小括号连结。（二）典例精讲例1.填空：1）3a2b2，-6a3b3，-12a2b2c的公因式是____________.2）4m(a+b)(a-b)-6m(b-a)2的公因式是_________________.3）多项式2（x-y）2-2（y-x）提取公因式________后，节余的因式是____________.（4）多项式-3（n为大于1的正整数）的公因式是________.（5）若（m-n）3+（n-m）2=（n-m）2.A，则A=______.（6）14m2+21mn=7m（）7）-6mx2+2mx-4m2=_____(3x2-x+2m)例2、分解以下各项的因式(1)、(2)（3）（4）-34x（m-n）+51x2（n-m）（5）a（a-b-c）+b（b-a+c）+c(c-a+b)(6)(7)(x-y)2-2y+2x（8）例3、利用因式分解进行化简计算（1）×91+156×3.21-3.21×47（2）例4、利用因式分解说明：关于任意整数n，n2-n必是偶数。例5、能被7整除吗?并说明原由。即学即练：1、填空题：1）y-x=___(x-y);(y-x)2=_____（x-y）2;(y-x)3=___（x-y）3(填“+”或“﹣”)（2）单项式与的公因式是_________.(3)分解-(a-b)mn-a+b=____________(4)-3a(1-x)-2b(x-1)+c(1-x)=(x-1)( )2、把以下各式分解因式（1）-4m3+8m2-12m（2）x2y-2xy2+xy（3）（4）-2（5）（6）a（x-2）-b（2-x）7）a（x-2）-b（2-x）2（8）m(m+1)-m2(m-2)(m+1)（9）-4（x-2y）-2（2y-x）（5x-2）9）m（q-p）2+n（p-q）2-（q-p）3，（10）a（a-b-c）（b-c）+b（a-b-c）（c-a）+c（a-b-c）a-b）3、有关求值：已知n-m=-5，mn=6，求m2n-mn24、有关证明：已知a是正整数，试判断a2+a是奇数仍是偶数。5、已知a、b、c、d为非负数，且ac+bd+ad+bc=1997，求a+b+c+d的值。（江苏省竞赛题）八年级数学寒假班【家庭作业】（第5次课：因式分解的有关看法及提取公因式法）校区：学号：姓名：______作业等级：______第一部分：（1）（a+2）（a-1）=a2+a-2的左边是表示_____与___相乘，运算后其结果是________,这是_______运算。(2)a2+a-2=（a+2）（a-1）是把多项式__________化为________与_________的积的形式，这是

_________.（3）如多项式-6ab+18abx+24aby

的一个因式是

-6ab，则另一个因式是（

）A.-1-3x+4yB.1+3x-4yC.-1-3x-4yD.1-3x-4y第二部分：分解以下各式的因式：4）-4x3+8x2+16x（5）x（y-x）2+x（x-y）3（6）-ab（a-b）2+a（b-a）-ac（a-b）2（7）（x-3）（x2-2）-（x-5）（3-x）-2（