2015届自动化专业学习库-大物1.1质点运动描述

研究力学要明确的两个基本概念☻物体运动是,但运动的描述是相对的。参照系:描写物体运动选择的标准物。坐标系:可精确描写物体运动。☻建立理想化的模型质点:将物体看作一个有一定质量的点（忽略形状）。①

平动的物体可看作一个质点。P②

物体运动范围>>物体本身线度。例如：地球绕公转时地球可视一个质点。一、位置矢量r1.位置矢量：描写质点空间位置的物理量。ˆ

ˆ

ˆr x2

y2

z2大小：r

方向：坐标原点→质点式中

iˆ、ˆj、kˆ

为单位矢量。1.位置矢量：描写质点空间位置的物理量。r

xi

yj

zk一、位置矢量rr

z

z(t

)

y

y(t

)2.运动方程：质点位置随时间变化的关系。r

(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)kx

x(t

)或注意：矢量的书写方法即：质点的实际运动是各个分运动的矢量合成，称作运动的叠加（或合成）。3.轨迹方程：f

(x,y,z

)=0

（二维：y=f

(x)）即：质点的实际运动是各个分运动的矢量合成，称作运动的叠加（或合成）。3.轨迹方程：f

(x,y,z

)=0

（二维：y=f

(x)）rr

(t

t

)二、位移r描写质点位置变化的物理量。r

r

(t

t)

r

(t

)2

2

2r

(x)

(y)

(z)srr

(t

t

)二、位移r描写质点位置变化的物理量。r

r

(t

t)

r

(t

)2

2

2r

(x)

(y)

(z)方向：A→B思考：r

r

?

r

r(t

t

)

r(t

)

OB

OAr

s

?何种情况下上两式成立？思考：r

r

?

r

r(t

t

)

r(t

)

OB

OAr

s

?t1.平均速度：

rv方向:与该段时间内的位移

r

方向相同。三、速度v描述质点位置改变的快慢。rr

(t

t

)何种情况下上两式成立？t1.平均速度：

rv三、速度v描述质点位置改变的快慢。dt

t

0

t2.(瞬时)速度：v

lim

r

dr或

dr

dx

dy

dz

v

i

j

k

v

i

vdt

dt

dt

dt

x

ydtv

drrr

(t

t

)方向:与该段时间内的位移

r

方向相同。

t

0

t2.(瞬时)速度：v

lim

r

dr或dydt

dt

dt

dtv

dr

dx

iˆ

ˆj

dz

kˆ

vx

iˆ

vy

ˆj

vzkˆdt

dtv

dr22

2y

z大小：

v

v

vv

x方向：轨迹上该点的切线方向由于△t→0

时，dr

ds22

2y

z大小：

v

v

vv

x方向：轨迹上该点的切线方向由于△t→0

时，

dr

dsdrdrv

dt

dtds

dt

v常见物体速度大小(m/s)光在真空中在

系中地球公转人造地球卫星现代歼击机出膛子弹3.0×1083.0×10５3.0×1047.9×103～9×102～7×102赤道上某点相对于地心

4.6×102空气分子热运动(0℃)声音在空气中(0℃)机动

（最快）即：速度的大小等于速率。猎豹大陆板块移动4.5×1023.3×1021×1022.8×10～10-9例

已知质点的运动方程为(

SI)，求质点：1）轨迹方程；2）在t=1s至t=2s内的位移及平均速度；3）在t

=1s和t

=2s时的速度。2r

2ti

(2

t

)

j解

1）由题意可知：2y

2

tx

2t4y

2

x2消去时间txo

1

24y21

1

234y

2

x2消去时间txo

1

241y2

1

232）

t

=1s时：r1

2i

j

;st

=2

时：2r

4i

2

js

s12r

r

r

2i

3

j

∴

在t

=1

至t=2

内的位移：平均速度：

2i

3

j2i

3

j2

1tv

r

rxo

1

24y21

1

232）

t

=1s时：r1

2i

j

;s

s12r

r

r

2i

3

j

∴

在t

=1

至t=2

内的位移：平均速度：t大小:

22

(3)2v

3.61(m

/

s)方向:与该段时间内r

同向rst

=2

时：2r

4i

2

j

2i

3

j2i

3

j2

1v

r

xo

1

24y21

1

23dtv

dr

2i

2tj1∴

t

=1s时：v

2i122

(2)2

2.82(m

/

s)大小:

v

方向:o1)

45

22

arctg(3）在t

时刻的速度:大小:

22

(3)2v

3.61(m

/

s)方向:与该段时间内r

同向r2r

2ti

(2

t

)

jv1xo

1

24y21

1

23dt

2i

2tj

dr

122

(2)2

2.82(m

/

s)大小:

v

方向:o1)

45

22

arctg(v2

2iˆ

4ˆjt

=2s时：大小:22方向:

arctg(

4)

6325483）在

t

时刻的速度:

vv2

2

(4)2

2

4.48(m

/

s)(解毕)v2v1r∴t

=1s时：v1

2i

2

jdtdr（A）（B）)2dtdydx（C）

d

r一运动质点在某瞬时位于位矢r

(x,y)的端点处，其速度大小为dt注意dtdrdt

dt(

)2

(dr

dr

dtxoyyr

(t)xAvBt1.平均加速度：

a

v

（方向与v

同向）dt

dtdtj

dvz

k

dvx

i

dvy四、加速度a描述质点速度改变的快慢（m/s2)BABv

v

vdt

2vvAABv

axi

ay

j

az

kt

0

tdta

dvdt

2.(瞬时)加速度：a

lim

v

dv

d

2

rABvdvdvdt

dt

dtdv

x

iˆ

y

ˆj

z

kˆAvBABv

v

vvAvB

axiˆ

ay

ˆj

azkˆdta

dvxa2

a2

a2y

za

其中dt

2dtdvxx

d

2

xa

dt

2dtdvzz

d

2za

dt

2dtay

d2y

dvy大小xa2

a2

a2y

za

其中dt

2dtdvxx

d

2

xa

dt

2dtdvzz

d

2za

dt

2dtay

d2y

dvy大小☻a与速度v无直接关系，而与v有关，即不仅与速度大小的改变有关，而且还与速度方向的改变有关。☻加速度方向为速度变化的方向，指向运动轨迹的凹的一侧。

由于

，v

v

vBABvA

v

vˆ

2

j

2(

m

/

s

)

v

v2

v112v

22

(2)2v

22

(4)22

1v

v

vˆ

ˆ1v

2i

2

jvˆ

ˆ2

2i

4

j

2.82(m

/

s)

4.48(m

/

s)

1.66

(

m

/

s

)所以一般情况下:

v

,

同样

d

dvv

v，由于：dt例

例1中质点运动速度为

v

dr

2iˆ

2tˆj

显然

v

v

12

2.82(m

/

s)

4.48(m

/

s)v

22

(2)2v

22

(4)22

1v

v

v

1.66

(m

/

s2

)显然

vv吗能由运动方程说明dv

dv2r

2ti

(2

t

)

jv

dr

2i

2tjdv

2tdt

1

t

2dv

2dtj

2dtdtv

2 1

t

2dt

2dt

2

a

dv

d

r

2

j（大小为2m/s2，沿-y方向）吗能由运动方程说明dv

dv2r

2ti

(2

t

)

jv

dr

2i

2tj1

t

2另：t

时刻物体的加速度为：dv

2tdt

dv

2dtj

2dtdtv

2 1

t

2dtv

drdt

2dt

2

y(t)

j

z(t)kr

(t)

x(t)i速

度：加速度：

a

dv

d

r位

移：

r

r2

r1回顾：位

矢：r

r

(t

)z

z(t

)y

y(t

)x

x(t

)dtv

dzdydtdxzvy

vx

dtdtdvdvzaz

dt

y

aydvxax

dtxv2

v2

v2y

zf

(x,

y,

z)

0v

xa2

a2

a2y

za

一、已知r

求v

、adta

dv

dv

adt

txvxa

dtdv

二、已知a或v及初始条件求rvx0x

0tyvya

dtdv

y0vy

0tzvza

dtdv

vz0z

0vy

vy

(t

)vz

vz

(t)dtvx

vx

(t)

v

drtxxv

dt0x0tyyyv

dt00tzzv

dtdx

dy

dz

0z0x

x(t)y

y(t)z

z(t

)ˆ

ˆ

ˆr(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)kvy

vy

(t

)vz

vz

(t)dtvx

vx

(t)

v

drtxxv

dt0x0tyyyv

dt00tzzv

dtdx

dy

dz

0z0x

x(t)y

y(t)z

z(t

)ˆ

ˆ

ˆr(t)

x(t)i

y(t)

j

z(t)kvd

a

dtdtv

dr

dr

vdt

dv

adt

r

r

(t

)vam s

iˆ

，沿+x轴作直线运动，其v0

100(

/

)例质点初速度

dta

dv

对于一维运动，有dtdta

dv

10vtvdv

v0

10

dtv0v

100e10ta

dv

（为什么

）

则：加速度

ˆ

，其中v为t时刻质点的速率。问：质a

10vi点在停止前运动的路程有多长？解法一设质点在t

时刻停止于x

处，即x

处v

=0。x0xxv=v0v=0m s

iˆ

，沿+x轴作直线运动，其v0

100(

/

)例质点初速度

加速度

ˆ

，其中v为t时刻质点的速率。问：质a

10vi点在停止前运动的路程有多长？x0xxv=v0v=0dta

dv

10vtvdv

v0

10

dtv0v

100e10t

tdtv

ex

010t00)010tx

x

10(1

et→∞时，v

=0，即：停止运动前质点走过了10米距离。dt由v

dx

得：x

dx

m s

iˆ

，沿+x轴作直线运动，其v0

100(

/

)例质点初速度

加速度

ˆ

，其中v为t时刻质点的速率。问：质a

10vi点在停止前运动的路程有多长？x0xxv=v0v=0

tdtv

ex

010t00)010tx

x

10(1

edt由v

dx

得：x

dx

t→∞时，v

=0，即：停止运动前质点走过了10米距离。解法二

对于一维运动，有dta

dv

10v或dx

dtdv

dx

10vm s

iˆ

，沿+x轴作直线运动，其v0

100(

/

)例质点初速度

加速度

ˆ

，其中v为t时刻质点的速率。问：质a

10vi点在停止前运动的路程有多长？dxdv

v

10vxvdxx0v0dv

100100v

vx

x

10

(m)0xxxv=v0v=0dta

dv

10v或dx

dtdv

dx

10v(解毕)三、加速度为恒矢量时的质点运动若a

=常矢量，则质点作匀加速曲线运动：v

v

a

tv

v

a

tvz

v0z

azty

0y

yx

0

x

x222

212121z

z

v

t

a

t

v

t

a

tx

x

v

t

a

ty

y0

0z

zy0

0yx0

0x或20

021

r

r

v

t

ata

=常矢量时，若初速度为零或初速度方向与加速度方向同向，则质点将作匀变速直线运动。[常见的运动实例]匀变速直线运动抛体与落体运动，如:

斜抛运动、平抛运动、竖直上抛运动、竖直下抛运动、 落体运动等。圆周运动212gt0r

v

t

1

抛体运动方程设一抛体以初速v0沿与水平面上ox轴的正方向成

角抛出，则a

g，若t

0时

0，则r0v0tAr12

gt

2ox12

gt

2PP和沿竖直方向 落体动抛体从O点到P点的运动，是沿初速方向的匀速直线运动

v0t2

的叠加。2gt1

2

式的物理意义y2120r

v

t

gtL

v00例

在倾角为

300

的斜坡上，以初速度

v求小球 处离抛物0

点之间的距离

L抛出一小球，设v

与斜坡夹角

600

如图示方法一

取如图坐标系oxy,

坐标原点在抛物点处，则20y

v

sin(

)t

1

gt2x

v0