数理经济学-生产函数专题

§5.2

生产函数模型(ProductionFunction

Models，P.F.)几个重要概念以要

间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展以技术要素的描述为线索的生产函数模型的发展几个重要生产函数模型的参数估计方法生产函数模型在技术进步分析中的应用建立生产函数模型中的数据质量问题一、几个重要概念⒈生产函数⑴定义描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式。Y

f

(

A,

K,

L,)投入的生产要素最大产出量⑵

生产函数模型的发展从20年代末，数学家Charles

Cobb和Paul

Dauglas提出了生产函数这一名词，并用1899-1922年的数据资料，导出了著名的Cobb-Dauglas生产函数。1928年Cobb,

DauglasC-D生产函数1937年Dauglas,DurandC-D生产函数的改进型1957年SolowC-D生产函数的改进型1960年Solow含体现型技术进步生产函数1967年Arrow等两要素CES生产函数1967年Sato二级CES生产函数1968年Sato,Hoffman1968年Aigner,Chu1971年RevankerVES生产函数边界生产函数VES生产函数1973年

Christensen,

Jorgenson

对数生产函数1980年

三级CES生产函数⑶生产函数是经验的产物生产函数是在西方国家发展起来的，作为西方经济学的一部分，与特定的生产理论与环境相联系。西方国家发展的生产函数模型可以被我们所应用：生产函数反应的是生产中投入要素与产出量之间的技术关系；生产函数模型的形式是经验的产物；不能照搬。⒉要素产出弹性（Elasticity

of

Output）⑴要素的产出弹性某投入要素的产出弹性被定义为，当其它投入要素不变时，该要素增加1%所引起的产出量的变化率。EK

Y

K

f

KY

K

K

YY

L

f

LEL

Y

L

L

Y要素产出弹性的数值区间？为什么？⑵规模所有要素的产出弹性之和规模

不变规模

递增规模

递减为什么经常将规模 不变作为生产函数必须满足的条件？⒊要素替代弹性（Elasticity

of

Substitution）⑴要素的边际产量(Marginal

Product)其它条件不变时，某一种投入要素增加一个单位时导致的产出量的增加量。用于描述投入要素对产出量的影响程度。MPK

f

/

KMPL

f

/

L边际产量不为负。MPK

0,

MPL

0,

(

MPK

)

2

f

K

K

2

0

(

MPL

)

2

f

L

L2

0边际产量递减。⑵要素的边际替代率(Marginal

Rate

of

Substitution)当两种要素可以互相替代时，就可以采用不同的要素组合生产相同数量的产出量。要素的边际替代率指的是在产量一定的情况下，某一种要素的增加与另一种要素的减少之间的比例。MRSKL

K

/

L要素的边际替代率可以表示为要素的边际产量之比。MRSK

L

MPL

/

MPK

MRSLK

MPK

/

MPL从生产函数可以求得要素的边际产量和要素的边际替代率。⑶

要素替代弹性要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比。

d

(K/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(K

/

L)

(

MPL

/

MPK

)要素替代弹性是描述生产行为的重要参数，求得要素替代弹性是生产函数的重要应用。要素替代弹性不为负。特殊情况：要素替代弹性为0、要素替代弹性为∞。⒋技术进步⑴

广义技术进步与狭义技术进步所谓狭义技术进步，仅指要素质量的提高。狭义的技术进步是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。求得“等价数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样的方法来引入技术进步因素。所谓广义技术进步，除了要素质量的提高外，还包括管理水平的提高等对产出量具有重要影响的因素，这些因素是独立于要外的。在生产函数模型中需要特别处理广义技术进步。⑵

中性技术进步假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资本密集度，用ω表示。即

EL

/

EK如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技术进步；如果技术进步使得ω越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约资本型技术进步；如果技术进步前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为中性技术进步。在中性技术进步中，如果要

比不随时间变化，则称为

中性技术进步；如果劳动产出率不随时间变化，则称为

中性技术进步；如果资本产出率不随时间变化，则称为哈罗德中性技术进步。二、以要 间替代性质的描述为线索的生产函数模型的发展⒈线性生产函数模型(Linear

P.F.)Y

0

1

K

2

L

d

(

K

/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(

MPL

/

MPK

)(

K

/

L)

为什么？如果选择线性生产函数，就意味着承认什么假设？⒉投入产出生产函数模型(Input-Output

P.F.)Y

min(

K

,

L

)a

b

0为什么？如果选择投入产出生产函数，就意味着承认什么假设？⒊C-D生产函数模型Y

AK

LE

Y

K

Y

KK

A

K

1

L

Y

KE

YL

1

Y

L

Y

AK

L

L

L

d

(

K

/

L)(

K

/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(

MPL

/

MPK

)

1LMPK

d

(ln(

K

))MPd

(ln(

L

))L

d

(ln(

K

))L

d

(ln(

K

))LKd

(ln(

))L

Kd

(ln(

)

ln(

))在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象变化？是否合理？为什么？在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间变化？是否合理？为什么？在C-D生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变化？是否合理？为什么？C-D生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什么？⒋CES生产函数模型(Constan0f

Substitution)asticitymY

A(

K

L)21

d

(K

/

L)(K

/

L)d

(

MPL

/

MPK

)(

MPL

/

MPK

)KMPL

d

(ln(

L

))d

(ln(

MP

))K11

替代弹性的推导过程？（独立推导一遍）在CES生产函数中要素的替代弹性是否随研究对象变化？是否合理？为什么？在CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本区间变化？是否合理？为什么？在CES生产函数中要素的替代弹性是否随样本点变化？是否合理？为什么？CES生产函数中每个参数的数值范围是什么？为什么？⒌VES生产函数模型(Variable

Elasticity0f

Substitution)⑴1968年Sato和Hoffman假定得到

(t)

a

b

t

(t

)1

(t

)

(t

)

)

(t

)1

(t

)1Y

B(L

(t

)

(1

)

K与CES有什么联系与区别？⑵1971年RevankarK假定

a

b

Lka

bkZ

A

exp

dk

k

c()1

a其中

Z

Y

L

,

k

K

L当b=0时，LkY

A

exp

dk

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c(

a

)1

a

A

exp(

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ln1

a

)1akc1

a1

a

k1aaaa1

a

,

Ae

AYL

A(a1

a

ck

a1

a

k

)

1A(ak

c)1

a

1令Y

A(a

(KL)

c)

L1

a

1

A(a1

a

K

cL

)

1为CES模型。为什么？当b=0，a=1时，Y

A

exp

dk

L

k

(1

c)ln

k1

A

exp(1

c)

Ak

1c1

1

1

cY

AK

1c

L

1c

L

AK

1c

L1c为C-D生产函数。为什么？当a=1时，

1

bkb1

cY

AK

1c

(

L

(1

c)K)

1cbc(

)m1(

)mY

AK

1c

(

L

(1

c)K)

1c为实际应用的VES生产函数。为

“变替代弹性”？⒍对数生产函数模型

(Translog

P.F.)如果，表现为何种时常函数？如果，表现为何种时常函数？

LL

(ln

L)

ln

K

ln

L2KL

K

ln

K

L

ln

L

KK

(ln

K

)2ln

Y

0KK

LL

KL

0KKLLKL

1

2⒎多要素生产函数模型⑴多要素线性生产函数模型Y

0

1

K

2

L

3

E⑵多要素投入产出生产函数模型Y

min(

K

,

L

,

E

)a

b

c⑶多要素C-D生产函数模型Y

AK

L

E⑷多要素一级CES生产函数模型m1Y

A(

K

L

E

)1

2

3要

间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？⑸多要素二级CES生产函数模型YKE

(a1

K

a

E

)m1

KE

2Y

A(b

Y

b

L

)21

1

1

1要

间的替代弹性是否相同？是多大？为什么？⑹多要素三级CES生产函数模型三、以技术进步的描述为线索的生产函数模型的发展⒈将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型Y

AK

L

mY

A(

K

L

)1

2ka

bkZ

A

exp

dk

k

c()1

a⒉改进的C-D生产函数模型0参数的经济意义是什么？关于技术进步的假设是什么？为什么？Y

A(t)K

L0Y

A

(1

)t

K

LY

A

et

K

L⒊改进的CES生产函数模型关于技术进步的假设是什么？为什么？m12Y

A

(1

)t

(

K

L0

1)Y

A

em10 1 2t(

K

L

)⒋含体现型技术进步的生产函数模型⑴总量增长方程Y

A

K

LY

A

K

L⑵分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型Y

AJ

Lt

t

t

ttmttJ

Km0(1

)mJ

K

aJ

KY

A

(

a

K

)

LY

A

K

L⑶分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型L

(

b

L

)K

(

a

K

)AY

AY⒌引入人力资本的生产函数模型Lucas（1988）为了解决技术内生问题，提出人力资本的概念，Romer等人（1992）提出包括人力资本的生产函数模型⒍边界生产函数模型⑴确定性边界生产函数Y

f

(K,

L,)eu⑵随机边界生产函数(u

0)Y

f

(K,

L,)evu

(

f

(K,

L,)ev

)eu四、几个重要生产函数模型的参数估计方法⒈C-D生产函数模型及其改进型的估计⑴线性估计方法Y

AK

L

⑵非线性估计方法Y

AK

L

能否线性化，与假设有关。哪个方法更合理？⒉CES生产函数模型及其改进型的估计m

Y

A(

K

L

)21lnY

ln

A

mln(

K

L

)

1

2))

KLlnY

ln

A

mln

K

mln

L

1

m

(ln(21

2

1

2Z

0

1

X1

2

X

2

3

X

3

假设？误差？2⒊VES生产函数的估计bc(

)m1(

)mY

AK

1c

(

L

(1

c)K)

1c

lnY

ln

A

m

ln

K

cm

ln(

L

K)

1

c

1

c

1

cbln(

L

K)

ln(

L

K)

Z()b1

cLZ

()

ln

L

K

0()lnY

ln

A

ln

K

cm

ln

L

1

c

1

c

(1

c)2mcmbLK

Z

0

1

X1

2

X

2

3

X

3

⒋二级CES生产函数模型的估计二级CES生产函数为：YKE

(a1

K

a

Em1

KE

2Y

A(b

Y

b

L

))

12111由第2级函数展开取近似，得到：mb

b

(ln(YLKElnY

ln

A

b

mlnYKE12121

2

b

mln

L

2))

由第1级函数展开取近似，得到：(ln(

))KE2KE

1

2

1

1

2lnY

a

ln

K

a

ln

E

1

aa2代入前式，得到：ln

Y

ln

A

b1ma1

ln

K

b1ma2

ln

E

b2

m

ln

L2

212

2K

K

1

mb

1a1a2

(ln(

))

1

mb1b2

(ln(

))

E

LZ

0

1

X1

2

X

2

3

X

3

4

X

4

5

X5

代入后的式中有多个二次项，应该选择多少项？为什么？是否造成估计结果的任意性？⒌含体现型技术进步生产函数模型的估计估计的生产函数为：Y

A

(

a

K

)

L

Y

A

K

L直接作为线性模型估计：Zt

0

X1t

X

2t

t关键是如何得到X1t的样本观测值⒍确定性统计边界生产函数模型的修正的普通最小二乘估计（Corrected

OLS,COLS）采用C-D生产函数形式：Y

f

(K,

L,)euY

AK

L

eulnY

ln

A

ln

K