波函数和算符PPT资料

波函数和算符1第一页，共23页。上讲内容(nèiróng)：德布罗意公式不确定(quèdìng)关系2第二页，共23页。求解(qiújiě)问题的思路：一般,t时刻,到达空间r(x,y,z)处附近某体积dV内的粒子数微观粒子的基本属性不能用经典语言确切地表达，建立关于振幅函数(x)的方程——振幅方程德布罗意、薛定谔：波动力学理论3)建立包含粒子性特征量的概率波波动方程——薛定谔方程。I大电子到达该处概率大I大处到达光子数多一维定态薛定谔方程(fāngchéng)由于受不确定关系约束(yuēshù)，需突破经典描述方法：同理可得动量的其它(qítā)两个分量算符为：t时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。亦即，微观粒子的力学量只能用算符表示。非自由粒子，能量=动能+势能I=0电子到达该处概率为零这是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实践检验。微观粒子的基本属性不能用经典语言确切地表达，“波粒二象性”——借用经典语言进行互补性描述。对微观客体(kètǐ)的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾。量子力学在“波粒二象性”概念基础上，建立了包含一套计算(jìsuàn)规则及对数学程式的物理解释。这是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实践检验。第三节波动性和粒子(lìzǐ)性量子力学德布罗意、薛定谔：波动力学理论海森堡、约当：矩阵力学理论3第三页，共23页。一、波动性经典理论(lǐlùn)：波动即是振动状态在空间的传播波动方程：波动方程表示了如下特征：

1)描述波动的特征量为波长、频率、波速。

2)波动满足叠加原理，即如果1、2是方程的解，其线性组合C11+C22也是方程的解。

3)边界条件约束下得到相应的方程解，对应于各自的运动状态，驻波对应于定态。

4)平面单色波的解表示波在x从-∞到+∞传播的行波特征。4第四页，共23页。二、粒子(lìzǐ)性经典力学表示的粒子具有如下特征：1)描述粒子运动的基本(jīběn)物理量是质量、大小、位置、速度、能量、动量。2)粒子整体运动遵从牛顿定律。三、微观粒子波粒二象性的描述由于受不确定关系约束(yuēshù)，需突破经典描述方法：1)“波长、频率”作为描述波动性的特征量。2)“能量、动量”作为描述粒子性的特征量。

3)建立包含粒子性特征量的概率波波动方程——薛定谔方程。5第五页，共23页。量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本(jīběn)方程。波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本(jīběn)假设。第六章波函数和薛定谔方程(fāngchéng)第一节波函数与算符一、微观粒子的运动状态描述----波函数波函数：描述微观客体的运动状态，是概率波的数学表达形式。一般表示为复指数函数形式6第六页，共23页。例：一维自由粒子的波函数经典描述(miáoshù)：沿x轴匀速直线运动量子描述：类比：单色平面波一定沿直线传播自由粒子：不受任何(rènhé)其它势场或粒子的作用以坐标原点为参考点，7第七页，共23页。（取实部）推广：三维自由粒子波函数意义：波函数确定了微观粒子运动的全部力学性质。8第八页，共23页。二、力学(lìxué)量的确定由于(yóuyú)波粒二象性，微观粒子的能量和动量只能通过相应的算符作用于波函数得到。自由粒子动量将波函数对x求偏导数，再乘以–iħ，则有将波函数对t求偏导数，再乘以iħ，则有可见E、px对应着算符作用于波函数，相应的算符为：9第九页，共23页。同理可得动量的其它(qítā)两个分量算符为：可以推知自由粒子的非相对论动能算符为：其中为拉普拉斯算符用算符表示力学量：力学量与其相应(xiāngyīng)的算符对应亦即，微观粒子的力学量只能用算符表示。这是微观粒子波粒二象性的结果。非自由粒子，能量=动能+势能对应算符即哈密顿算符10第十页，共23页。光栅衍射电子衍射类比第二节波函数的统计(tǒngjì)解释经典物理中波函数具有描述空间(kōngjiān)振动状态的确切意义对于微观客体，其状态由波函数完全确定。问题：波函数有什么样的物理意义？11第十一页，共23页。I大处到达光子数多I小处到达光子数少I=0无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定用I对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点、终点、路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述I大电子到达该处概率大I=0电子到达该处概率为零I小电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射12第十二页，共23页。

t时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。

t时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的概率。

t

时刻，粒子在空间的概率密度分布。一般,t时刻,到达空间r(x,y,z)处附近某体积dV内的粒子数的物理意义：13第十三页，共23页。物质波的波函数不描述介质中运动状态(相位)传播(chuánbō)的过程

概率密度，描述粒子在空间的统计分布概率幅注意干涉项14第十四页，共23页。4.波函数的归一化条件(tiáojiàn)和标准条件(tiáojiàn)粒子在整个空间出现的概率为1

归一化条件对微观客体的量子力学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾(máodùn)，将波粒二象性统一到一起。

标准条件15第十五页，共23页。第三节薛定谔方程(fāngchéng)是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。一、薛定谔方程一维自由(zìyóu)粒子的薛定谔方程由经典波动方程设微观粒子波函数满足代入上式得16第十六页，共23页。薛定谔方程对于质量为m的自由粒子，三维自由粒子薛定谔方程

三维粒子薛定谔方程——存在势场17第十七页，共23页。式中，振幅函数与驻波类比1.一维自由粒子的定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程(fāngchéng)定态：势函数不随时间(shíjiān)变化18第十八页，共23页。要求波函数(x,t)的模方，只需求振幅函数(x)的模方。建立关于振幅函数

(x)的方程——振幅方程*振幅函数19第十九页，共23页。非相对论考虑自由粒子：势函数*代入得即一维自由粒子的振幅方程20第二十页，共23页。一维定态薛定谔方程(fāngchéng)粒子在力场中运动，且势能不随时间变化即一维定态薛定谔方程得*代入21第二十一页，共23页。2.三维定态薛定谔方程(fāngchéng)拉普拉斯算符即三维定态薛定谔方程振幅函数22第二十二页，共23页。求解(