最短路径问题教学课件人教版八年级数学上

最短路径问题

学习目标1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.（重点）

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.（难点）新课导入情境导入

相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.BA这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？新课导入如图：点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？∙∙ABl新课导入∙∙ABl解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短.如图：点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？新课导入如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？∙B′容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.∙∙ABlC你能证明这个结论吗∙新课讲解练一练如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.∙∙ABa∙∙B′P新课讲解练一练如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.分析：上述题目可以描述为，点C，D为线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一点E使得CE+DE的值最小.ACDBE新课讲解练一练如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要使EC+ED最小，请找点E的位置.解：如图所示，作点D关于线段AB的对称点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.ACDD′BE新课导入思考（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）新课讲解

知识点

造桥选址问题

这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ABab∙∙MN新课讲解如图：直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小.ABab∙∙MN新课讲解如图，连接A′，B两点的线段中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.ABab∙∙MNA′

课堂小结：

知识点

本节课你有哪些新的收获？把你的想法和大家交流一下

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课堂小结：

知识点

1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.∙∙BlAC2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.∙∙ABlCB′当堂小练如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）A.900B.1200C.1500D.1800ACDB当堂小练解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.∵A′C=AC=BD，在△A′CE和△BDE中，∠A′CE=∠BDE，

∠A′EC=∠BED，A′C=BD，则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.∴点E是CD的中点.

∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.ACDBEA′当堂小练如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？AB当堂小练FHEGABMNC解析：（1）如图，作点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN为所建桥的位置.拓展与延伸分析：本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和应用，同时考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形内角和定理，要熟练掌握学过的知识才能综合应用解题.ABCMN└如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A.4B.6C.D.8拓展与延伸B解析：如图，连接PC.∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∴PB=PC.∴PB+PE=PC+PE.∵PE+PC≥CE，∴当P，C，E三点共线时，PB+PE的值最小，