力学与结构课件幻灯片T4

第4章

杆件的应力、强度和刚度

目录.ppt截面的几何性质轴向拉伸和压缩杆件的剪切和扭转梁的弯曲应力及强度计算杆件的组合变形习题本章内容

教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算方法；熟悉内力、应力、应变等基本概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用；熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。一、静矩和形心

1.静矩如图4.1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。即截面的几何性质平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的静矩之和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的静矩，用Sz(或Sy)表示，即(4-1a)(4-1b)从静矩的定义可以看出，静矩是对特定的坐标轴而言的。选择不同的坐标轴，静矩也不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是m3或mm3。若则截面的几何性质2.形心现设平面图形的形心C的坐标为(Zc，Yc)。均质等厚薄板的形心在板平面zoy中的坐标为(4-2a)(4-2b)则由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。【例4.1】矩形截面尺寸如图4.2所示，以矩形的形心为原点建立坐标系zoy，z1通过矩形的底边。试求该矩形对z轴的静矩和对z1轴的静矩。图4.2矩形截面截面的几何性质解:(1)计算矩形截面对z轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形对z轴的静矩等于零，即。(2)计算矩形截面对Z1轴的静矩。

【例4.2】试确定如图4.3所示的组合截面的形心位置，长度单位为cm。图4.3组合截面解:取坐标zoy，因为y为截面的对称轴，所以形心必在y轴上，即。故只需确定yc。该截面可视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组合而成。矩形Ⅰ的面积，形心纵坐标。矩形Ⅱ的面积，形心纵坐标。一、惯性矩、惯性积和惯性半径

1.惯性矩图4.4惯性矩如图4.4所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。微面积dA与坐标y(或坐标z)平方的乘积y2dA或(Z2dA)称为微面积dA对z轴(或对y轴)的惯性矩。整个平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的惯性矩之和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即截面的几何性质用积分精确表示为(4-3a)(4-3b)微面积dA与坐标原点O的距离ρ的平方的乘积ρ2dA称为微面积dA对坐标原点O的极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为所以由于存在几何关系：即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中，z2和y2恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是m4或mm4。简单图形的惯性矩可以直接由式(4-5)计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。

2.惯性积如图4.4所示，微面积dA与坐标y和坐标z的乘积zydA称为微面积dA对y和z两轴的惯性积，记为zydA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积，用表示Izy，即截面的几何性质(4-4) (4-5)(4-6)惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。如图4.4所示，微面积dA与坐标y和坐标z的乘积yzdA称为微面积dA对z和y两轴的惯性积，记为yzdA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积，用Izy表示，即截面的几何性质(4-6)惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。如图4.5所示，y轴是图形的对称轴，在y轴两侧各取一相同的微面积dA，显然，两者的y坐标相等，而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即如果z轴是图形的对称轴，同理可得，3.惯性半径在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即截面的几何性质(4-7)或写成(4-8)截面面的的几几何何性性质质式中中，，iz、iy、iρ分别别称称为为平平面面图图形形对对z轴、、y轴和和极极点点的的惯惯性性半半径径，，也也叫叫回回转转半半径径，，单单位位为为m或mm。在在建建筑筑力力学学中中，，分分析析组组合合截截面面压压杆杆的的稳稳定定性性时时，，常常用用惯惯性性半半径径来来表表示示组组合合图图形形截截面面的的几几何何特特征征。。规则则图图形形的的惯惯性性半半径径可可用用公公式式直直接接计计算算，，或或查查相相关关的的图图表表，，常常用用组组合合截截面面(如T形、、L形截截面面)的惯惯性性半半径径可可查查相相关关计计算算手手册册，，也也可可直直接接由由式式(4-8)计算算；；型型钢钢的的惯惯性性半半径径可可查查型型钢钢表表。。4.抗弯弯截截面面模模量量W在计计算算抗抗弯弯构构件件的的应应力力时时，，经经常常用用到到抗抗弯弯截截面面模模量量的的概概念念，，抗抗弯弯截截面面模模量量用用表表示示，，用用下下面面公公式式计计算算：：(4-9)式(4-9)中是是截截面面关关于于形形心心轴轴的的惯惯性性矩矩，，ymax是截截面面上上垂垂直直并并距距离离形形心心轴轴最最远远的的点点到到形形心心轴轴的的距距离离。。对对于于低低碳碳钢钢、、铝铝合合金金等等塑塑性性材材料料抗抗拉拉强强度度和和抗抗压压强强度度一一样样大大，，抗抗弯弯截截面面模模量量w只有有一一个个值值，，而而对对于于铸铸铁铁等等脆脆性性材材料料抗抗拉拉强强度度和和抗抗压压强强度度不不一一样样大大，，抗抗弯弯截截面面模模量量w有两两个个值值，，就就是是式式(4-9)中的的ymax分别别取取形形心心轴轴两两侧侧距距形形心心轴轴最最远远的的点点到到形形心心轴轴的的距距离离。。【例4.3】】矩形形截截面面尺尺寸寸如如图图4.6所示示。。试试计计算算矩矩形形截截面面对对形形心心轴轴z、y的惯惯性性矩矩、、惯惯性性半半径径、、惯惯性性积积和和抗抗弯弯截截面面模模量量。。图4.6矩形形截截面面解:(1)计算算矩矩形形截截面面对对z轴和和y轴的的惯惯性性矩矩。。取取平平行行于于z轴的的微微面面积积dA，dA到z轴的的距距离离为为y，则则截面面的的几几何何性性质质同理理可可得得，，矩矩形形截截面面对对y轴的的惯惯性性矩矩：：(2)计算算矩矩形形截截面面对对z轴和和y轴的的惯惯性性半半径径：：(3)计算算矩矩形形截截面面对对z轴和和y轴的的惯惯性性积积。。因因为为z轴和和y轴均均是是矩矩形形的的对对称称轴轴，，所所以以：：(4)抗弯弯截截面面模模量量：：【例4.4】】直径径为为D的圆圆形形截截面面，，如如图图4.7所示示。。(1)试计计算算截截面面对对通通过过圆圆心心的的轴轴的的惯惯性性矩矩和和惯惯性性半半径径；；(2)计算算抗抗弯弯截截面面模模量量。。解:(1)以圆圆心心为为原原点点，，建建立立平平面面坐坐标标系系yOz。(2)计算算圆圆截截面面对对原原点点O的极极惯惯性性矩矩，，圆圆的的直直径径为为D，取取圆圆的的半半径径，，ρ为截截面面上上任任一一点点到到原原点点的的距距离离，，则则截截面面对对原原点点O的极极惯惯性性矩矩为为：：截面面的的几几何何性性质质微面面积积(图中中阴阴影影部部分分)为：：由于于，，圆圆截截面面对对任任意意通通过过圆圆心心的的轴轴对对称称，，所所以以可得得：：(3)计算惯性性半径(4)计算抗弯弯截面模模量：截面的几几何性质质图4.7圆形截面面5.惯性矩的的平行移移轴公式式前面我们们介绍的的惯性矩矩和惯性性积的计计算方法法都是针针对平面面图形的的形心轴轴的，实实际上，，惯性矩矩和惯性性积可以以针对平平面内任任意轴。。图4.8惯性矩的的平行移移轴如图4.8所示C点是截面面的形心心。zc轴和yc轴通过截截面形心心。z轴和y轴是分别别和zc轴和yc轴平行的的坐标轴轴且y轴与yc轴相距为为b，z轴与zc轴相距为为a。若图形形对通过过形心的的坐标轴轴的惯性性矩和惯惯性积分分别为Izc、Iyc及Izyc，下面计计算图形形对z轴和y轴的惯性性矩。微面积dA在两个坐坐标系中中的坐标标有如下下关系：：截面的几几何性质质根据惯性性矩定义义，图形形对z轴的惯性性矩为：：式中：(截面面积积对自身身形心轴轴的静矩矩为零)于是得到到(4-10a)同理可得得：(4-10b)式(4-10a)、式(4-10b)分别为惯惯性矩的的平行移移轴公式式。式中中Izc和Iyc是对平面面图形形形心轴的的惯性矩矩。式(4-10a)、式(4-10b)分别表明明：图形形对任意意轴的惯惯性矩，，等于图图形对与与该轴平平行的形形心轴的的惯性矩矩加上图图形面积积与两平平行轴距距离平方方的乘积积。由于于a2(或b2)恒为正值值，故在在所有平平行轴中中，平面面图形对对形心轴轴的惯性性矩最小小。【例4.5】】用平移轴轴公式计计算图4.2中矩形截截面对底底边的惯惯性矩。。解：(1)计算截面面对z的惯性矩矩：(2)根据惯性性矩的平平移轴公公式，得得：截面的几几何性质质轴向拉伸伸和压缩缩一、轴轴向拉伸伸和压缩缩的概念念轴向拉伸伸变形和和轴向压压缩变形形是杆件件的基本本变形之之一，在在工程中中经常见见到。如如图4.9(a)所示三角形托托架中的斜杆杆，在荷载作作用下就发生生轴向压缩变变形；还有桁桁架中的所有有杆件(如图4.9(b)所示)，发生的都是是轴向变形(拉伸或压缩)；屋架中的水水平拉杆(图4.9(c)AB线上各杆)，发生轴向拉拉伸变形；建建筑结构中的的柱子(如图4.9(d)所示)发生轴向压缩缩变形等。这这些杆件受力力的共同特点点是：作用在在杆件上的外外力的作用线线与杆轴线重重合，杆件的的主要变形是是轴向伸长或或缩短。这类类构件称为拉拉(压)杆。相应的变变形分别称为为轴向拉伸变变形和轴向压压缩变形，如如图4.10所示。图4.9轴向拉(压)杆图图4.10轴向拉伸(压缩)变图4.11截面法二、轴向向受拉(压)杆的内力1.内力的概念杆件的内力是是指杆件在外外力作用下发发生变形，引引起内部相邻邻两部分的相相对位置发生生变化，从而而产生附加内内力，简称内内力。荷载作用F，杆件内力是是由于外力而而引起的，杆杆件所受的外外力越大，内内力也就越大大，同时，变变形也越大。。内力与杆件件的强度、刚刚度有密切的的关系。讨论论杆件的强度度、刚度和稳稳定问题时，，必须先求出出杆件的内力力。2.求杆件内力的的方法——截面法为了确定外力力作用下杆件件所产生内力力的大小和方方向，通常采采用截面法。。即先用一个个假想的平面面将杆件“截截开”，使杆杆件在被截开开处的内力显显示出来；然然后取杆件的的任一部分作作为研究对象象，将另外部部分对它的的的作用以截面面的内力代替替；利用平衡衡条件求出杆杆件在被截断断处的内力，，这种求内力力的方法称为为截面法。截截面法是求杆杆件内力的基基本方法。如图4.11(a)所示，杆件受受一对轴向拉拉力作用而产产生轴向拉伸伸，计算杆上上任一截面C上的内力。轴向拉伸和压压缩(1)截开：用假想想的截面，在在要求内力的的位置处将杆杆件截开，把把杆件分为两两部分。如图图4.11(b)、(c)所示，在C-C’处用假想面把把杆截断。(2)代替：取截开开后的任一部部分作为研究究对象，画受受力图。现以以左部分为研研究对象，在在截开截面处处用该截面上上的内力代替替右部分对它它的的作用，，如图4.11(d)所示，用FN、FN’来表示两部分分的相互作用用力。(3)平衡：由于整整体杆件本身身处于平衡状状态，因此被被“截开”后后。任一部分分都处于平衡衡状态。对如如图4.11(d)所示的杆件，，列方程，，得，，内力方方向如图4.11(d)图4.11(e)所示。3.轴向拉(压)杆的内力——轴力轴向拉压杆的的内力是一个个作用线与杆杆件轴线重合合的内力，习习惯上称为轴轴力，用符号号FN表示。通常规规定，拉力(轴力FN的作用方向背背离该力作用用的截面)为正，压力(轴力FN的作用方向指指向该力作用用的截面)为负。轴力的的常用单位是是N(牛[顿])或kN(千牛)。说明：(1)截面法计算轴轴力时通常先先假设轴力为为拉力，在列列平衡方程时时，把FN作为正值来看看待，这样如如果计算结果果为正，表示示假设与实际际相符，轴力力为拉力；如如果计算结果果为负，表示示假设与实际际相反，轴力力为压力。(2)列平衡方程时时，轴力及外外力在平衡方方程中的正、、负号由其投投影的正负决决定，与轴力力本身正负无无关。(3)计算轴力时，，可以取被截截开处截面的的任意一侧研研究，计算结结果相同，但但为了简化计计算过程，通通常取杆件上上外力较少的的一侧研究。。(4)在计算杆件内内力时，在将将杆件截开之之前，不能用用合力来代替替力系的作用用，也不能使使用力的可传传性原理，因因为这样会改改变杆件内部部的内力及变变形。轴向拉伸和压压缩4.轴力图工程中有些拉拉(压)杆件受多个轴轴向外力而平平衡，随着外外力的变化，，各段轴力也也在变化。为为了形象地表表示杆的轴力力随横截面位位置而变化的的规律，通常常以平行于杆杆轴线的坐标标表示横截面面的位置，以以垂直于杆轴轴线的坐标表表示横截面上上的轴力，按按适当比例将将轴力随横截截面位置变化化的情况画成成图形，这种种表明轴力随随横截面位置置而变化规律律的图形称为为轴力图。从从轴力图上可可以很直观地地看出最大轴轴力所在位置置及大小、正正负。习惯上上将正轴力(拉力)画在x轴上方，负轴轴力(压力)画在x轴下方。【例4.6】一个杆件受力力经简化后，，其计算简图图如图4.12(a)所示。试求杆杆件的轴力并并画出轴力图图。解：(1)在第一段内任任意取一截面面将杆断开，，取左段为隔隔离体，假设设轴力为拉力力，在截开处处施加方向向向右的力FNI，如图4.12(b)所示。由平衡衡条件：，，，，得，，故故假设轴力为为拉力是正确确的。(2)在第二段范围围内任意取一一截面将杆断断开，取左段段为隔离体，，同样假设轴轴力为拉力，，在截开处施施加方向向右右的力FN2，如图4.12(c)所示由平衡条条件：，，，，得，，如图4.12(d)所示。(3)用同样的方法法可以得到，，如如图4.12(d)所示。(4)杆件的全部轴轴力已经求出出来了，可根根据前述方法法作杆件的轴轴力图，如图图4.12(e)所示轴向拉伸和压压缩1.应力的概念在确定了杆件件的内力后，，还不能解决决工程中的强强度问题。例例如两根同种种材料制成的的但横截面积积不同的拉杆杆，承受同样样的拉力。显显然二者的轴轴力相同。但但当拉力逐渐渐增大时，截截面积小的杆杆必定首先被被拉断。这说说明，杆的强强度不仅与杆杆件上的内力力有关，还与与横截面的面面积有关。要要解决强度问问题，仅研究究内力的合力力是不够的，，还要研究分分布内力在横横截面上各点点的集度。截截面上的分布布内力在某一一点的集度，，称为截面上上这一点的应应力。如图4.13所示，在受力力杆件横截面面上任一点C的周围取一微微面积ΔA(图中阴影)，设作用在微微面积ΔA上的分布内力力的合力为ΔF，取ΔF和ΔA的比值为ΔA上的平均应力力。一般来说说，杆件横截截面上的应力力不是均匀分分布的，因此此，习惯上将将微面积ΔA无限缩小而趋趋向于零时平平均应力的极极限值称为C点的内力集度度，即C点的总应力，，用p表示：一、轴向拉压杆的的应力图4.12杆件轴力图轴向拉伸和压压缩总应力p是一个矢量量，通常情情况下，既既不与截面面垂直，也也不与截面面相切。为为了研究问问题时方便便，习惯上上将它分解解为与截面面垂直的分分量σ和与截面相相切的分量量τ，如图4.13(b)所示。σ称为正应力力，τ称为切应力力。应力的常用用单位为Pa(帕)，MP(兆帕)，换算关系系为图4.13应力轴向拉伸和和压缩(4-11)关于应力的的几点说明明。(1)应力是针对对某杆件的的某一截面面上的某点点而言的，，所以提及及应力时，，必须指明明杆件、截截面和点的的位置。(2)应力是矢量量，不仅有有大小，还还有方向。。对于正应应力，通常常规定拉应应力为正，，压应力为为负，对于于切应力τ，通常规定定使研究对对象内部顺顺时针抟动动为正，反反之为负。。(3)内力与应力力的关系。。内力是对对杆件的整整个截面而而言，是整整个截面上上各点处的的应力总和和；应力是是对截面上上一点而言言的，是内内力在截面面某一点的的集度。2.轴向拉压杆杆上的应力力轴向拉压杆杆上的内力力只有轴力力，截面上上的应力只只能是与横横截面垂直直的正应力力。通过实实验证明正正应力在杆杆件横截面面上均匀分分布，由此此可导出轴轴向拉压杆杆横截面上上正应力的的计算公式式。若用A表示拉(压)杆横截面的的面积，则则拉(压)杆横截面上上的正应力力为轴向拉伸和和压缩(4-12)正应力的正正负号规定定与轴力FN一致，拉应应力为正，，压应力为为负。对于等截面面直杆，最最大正应力力一定发生生在轴力最最大的截面面上。习惯上把杆杆件在荷载载作用下产产生的应力力称为工作作应力，并并且通常把把产生最大大工作应力力的截面称称为危险截截面，产生生最大工作作应力的点点称为危险险点。可见见，对于产产生轴向拉拉压变形的的等截面直直杆，轴力力最大的截截面就是危危险截面，，该截面上上任意一点点都是危险险点。【例4.7】某轴向受力力柱如图4.14(a)所示，柱子子顶部所受受压力为Fp，柱子材料料的重度为为γ，横截面为为矩形，尺尺寸为，，柱高为为H，求柱子的的最大工作作应力。由可得解:(1)求轴力。该该柱需要考考虑自重，，在距柱顶顶处用m-m截面把柱子子截开，m-m截面处的轴轴力用FN(x)表示，取m-m截面以上部部分研究，，画出受力力图，列平平衡方程。。轴向拉伸和和压缩图4.14轴向受力柱柱由此可见，，柱子各横横截面上的的轴力随x位置变化而而变化，轴轴力随x位置变化的的函数称为为轴力方程程当x=0时，当x=H时，(2)求应力。该该柱为等截截面柱，柱柱子底部截截面的内力力和应力最最大，是危危险截面。。其应力值值为：四、轴轴向拉压杆杆的变形及及虎克定律律实验结果表表明，直杆杆在轴向荷荷载作用下下既产生沿沿轴线方向向的纵向变变形。也产产生垂直于于轴线方向向的横向变变形。杆的的变形量与与所受外力力有关，也也与杆件尺尺寸与选用用材料有关关。1.杆的纵(横)向变形如图4.15所示正方形形截面杆，，受轴向力力作用，产产生轴向拉拉伸和压缩缩变形，设设杆变形前前的长度为为，其横截截面的边长长为a，变形后长长度为l1，横截面边边长为a1。则杆的纵纵向变形量量为，，杆杆在轴向拉拉伸时为正正值，压缩缩时为负值值。杆的横横向变形量量为，，杆在在轴向拉伸伸时为负值值，压缩时时为正值。。轴向拉伸和和压缩图4.15杆的纵、横横向变形杆件的纵向向变形量和和横向变形形量只能说说明纵向和和横向总的的变形量，，不能说明明变形程度度。为了消消除杆件尺尺寸对杆件件变形量的的影响，准准确说明杆杆件的变形形程度，将将杆件的纵纵向变形量量Δl除以杆的原原始长度l，得到杆件件单位长度度的纵向变变形(4-13a)ε称为纵向线线应变，简简称线应变变。ε的正负号与与Δl相同，杆在在轴向拉伸伸时为正值值，压缩时时为负值。。ε是一个无量量纲的量。。同理，将将杆的横向向变形量Δa除以杆的截截面原边长长a，得到杆件件单位长度度的横向变变形轴向拉伸和和压缩(4-13b)ε’称为横向线线应变。ε’的正负号与与Δa相同，杆在在轴向拉伸伸时为负值值，压缩时时为正值。。ε’也是一个无无量纲的量量。2.泊松比从上述分析析可知，杆杆件在轴向向拉压变形形时，纵向向线应变ε与横向线应应变ε’总是正负相相反的。通过试验表表明：当轴轴向拉压杆杆的应力不不超过材料料的比例极极限时，对对同一材料料，横向线线应变ε’与纵向线应应变ε的比值的绝绝对值为一一常数，通通常将这一一常数称为为泊松比或或横向变形形系数，用用μ表示。(4-14)泊松比是一一个无量纲纲的量，它它的值与材材料有关，，可由实验验测出。建建筑工程中中常用材料料的泊松比比见表4-1。泊松比建立立了某种材材料的横向向线应变与与纵向线应应变之间的的关系。在在工程中，，一般先根根据受力情情况计算纵纵向线应变变，然后通通过泊松比比确定横向向变形。由于杆件的的横向线应应变ε’与纵向线应应变ε总是符号相相反，所以以3.虎克定律计算杆件变变形时，关关键是计算算杆件的纵纵向变形量量。试验表表明，工程程中使用的的材料都有有一个弹性性范围，在在弹性范围围内杆的变变形量与杆杆所受的轴轴力成正比比，与杆的的横截面积积成反比，，用公式表表示为：引进比例常常数E后，得这一公式是是英国科学学家虎克提提出来的，，故称为虎虎克定律。。对于长度度相同，所所受轴力相相等的构件件，分母EA越大，则杆杆的纵向变变形越小；；分母EA越小，则杆杆的纵向变变形越大。。由此可见见，EA反映了拉压压杆抵抗变变形的能力力，所以称称为拉压杆杆的抗拉压压刚度。将式(4-16)两边除以l，并把和和代代入，于于是得(4-15)(4-16)轴向拉伸和和压缩(4-17)式(4.17)是虎克定律律的另一种种表达方式式，它表明明在线弹性性范围内，，正应力与与线应变成成正比，比比例系数即即为材料的的弹性模量量E。工程中常常用的材料料的弹性模模量E见表4-1。弹性模量En5应力σ有相同的量量纲，单位位为Pa、MPa和GPa。轴向拉伸和和压缩表4-1常用工程材材料的弹性性模量和泊泊松比【例4.8】试计算如图图4.16所示柱子顶顶点的位移移。已知柱柱子材料的的弹性模量量为E，重度为γ。图4.16求柱子顶点点位移解：例例4.7已计算出柱柱子任意高高度x处的轴力为为：(0≤x≤≤H)则高度x处的正应力力为(0≤x≤≤H)根据虎克定定律，高度度x处的应变为为图4.17杆的轴力图图轴向拉伸和和压缩(0≤x≤≤H)则应变在高高度H上积分，可可得柱子顶顶点处的位位移(方向向下)顶点位移由由两部分组组成，部部分是由顶顶点集中力力FP引起的，部部分是由由柱子自重重引起的。。【例4.9】如图4.17所示，杆受受轴向力作作用，，，，，材材料为钢材材，弹性模模量为，，杆件件的截面面面积，，求杆的的总的纵向向变形。解:杆的总的纵纵向变形就就是沿着杆杆的长度方方向各段纵纵向变形之之和。(1)求轴力，并并做出轴力力图，如图图4.17(b)所示。该杆杆可分三段段计算轴力力。AB段：FNAB=FP=20KNBC段：FNBC=0KNCD段：FNCD=-20KN(2)求杆总的纵纵向变形。。总的变形：：轴向拉伸和和压缩AB段：BC段：CD段：【例4.10】】一个矩形截截面杆件如如图4.18所示，其截截面尺寸为为，，材料料的弹性模模量。。杆件两两端受拉力力FP作用，在纵纵向100的长度内，，杆伸长了了0.05，在横向60范围内，杆杆的尺寸缩缩小了0.0093，试求：(1)该钢材的泊泊松比；(2)杆件所受的的轴向拉力力FP。轴向拉伸和和压缩图4.18矩形截面杆杆解:(1)求泊松比。。要想通过过上述试验验测出的数数值计算泊泊松比，首首先要计算算出纵向线线应变及横横向线应变变。杆件的纵向向线应变杆件的横向向线应变求泊松比μ(2)计算杆受到到的轴向拉拉力。由虎虎克定律，，计算图图示杆件在在作用下任任一横截面面上的正应应力又按照应力力的计算公公式，，可求得在在FP作用下，杆杆件横截面面上的轴力力：轴向拉伸和和压缩该杆为二力力杆，任一一截面上的的轴力与两两端拉力相相等，即，，所以该该杆受到的的轴向外力力。。五、材料在在拉伸和压压缩时的力力学性质在对杆件进进行强度、、刚度和稳稳定性的计计算时，必必须知道材材料在外力力作用下的的力学性能能，如4.2.4小节提到的的弹性模量量和泊松比比，都属于于材料的力力学性能。。材料的力力学性能要要通过试验验来测定，，本节主要要介绍工程程中常用材材料在拉伸伸和压缩时时的力学性性能。1.低碳钢的力力学性质低碳钢是建建筑工程中中最常用的的材料之一一，在拉伸伸时表现出出的力学现现象比较全全面。1)低碳钢的拉拉伸实验实验通常是是在常温、、静载条件件下进行的的。按照国国家标准的的规定，将将材料做成成标准试件件。常用标标准试件有有圆形截面面和矩形截截面两种。。图4.19(a)和4.19(b)分别别为为圆圆截截面面试试件件和和矩矩形形截截面面试试件件。。试试件件中中间间一一段段为为等等截截面面，，在在该该段段中中标标出出长长度度为为l0的一一段段称称为为工工作作段段，，工工作作段段的的长长度度l0称为为““标标距距””。。它它与与横横截截面面尺尺寸寸有有规规定定的的比比例例。。常常用用的的标标距距比比例例有有两两种种：：轴向向拉拉伸伸和和压压缩缩圆形形截截面面：：和和矩形形截截面面：：和和图4.19标准准试试件件试验验时时，，将将试试件件安安装装在在试试验验机机上上，，然然后后缓缓缓缓加加载载使使试试件件承承受受轴轴向向拉拉伸伸。。试试验验过过程程中中，，测测量量并并记记录录试试件件的的受受力力和和变变形形，，直直到到试试件件拉拉断断时时为为止止。。一一般般试试验验机机均均附附有有自自动动绘绘图图装装置置，，能能自自动动绘绘出出荷荷载载值值FP与伸伸长长量量Δl之间间的的关关系系曲曲线线，，该该曲曲线线反反映映了了试试件件所所受受拉拉力力F与相相应应伸伸长长量量Δl之间间的的关关系系，，称称为为试试件件的的拉拉伸伸图图。。如如图图4.20所示示为为低低碳碳钢钢的的拉拉伸伸实实验验时时的的荷荷载载-变形形图图。。图4.20低碳碳钢钢拉拉伸伸的的荷荷载载-变形形图图FP—比例例极极限限荷荷载载；；Fs——屈服服荷荷载载；；Fb—最大大荷荷载载显然然，，试试件件的的拉拉伸伸量量与与试试件件尺尺寸寸有有关关。。为为了了消消除除试试件件尺尺寸寸的的影影响响，，将将横横坐坐标标除除以以试试验验段段的的标标距距l0，即即；；将将纵纵坐坐标标Fp除以以杆杆件件的的横横截截面面面面积积A，即即，，画画出出以以ε轴向向拉拉伸伸和和压压缩缩为横横坐坐标标，，以以σ为纵纵坐坐标标的的曲曲线线，，由由此此得得到到的的曲曲线线称称为为应应力力-应变变曲曲线线，，也也称称为为曲曲线线。。该该曲曲线线只只反反映映材材料料本本身身的的力力学学性性质质，，与与构构件件的的几几何何尺尺寸寸无无关关。。如如图图4.21所示示为为低低碳碳钢钢拉拉伸伸的的应应力力-应变变曲曲线线。。图4.21低碳碳钢钢拉拉伸伸的的应应力力-应变变曲曲线线2)低碳碳钢钢变变形形发发展展的的四四个个阶阶段段从图图4.21中可可以以看看出出，，低低碳碳钢钢在在整整个个拉拉伸伸过过程程中中，，大大致致可可分分为为四四个个阶阶段段。。(1)弹性性阶阶段段：：图图4.21中的的Ob段，，若若试试件件内内应应力力不不超超过过b点的的应应力力值值。。卸卸除除载载荷荷后后，，应应力力和和应应变变沿沿bo线回回到到原原点点O，变变形形可可以以全全部部消消失失，，即即变变形形全全部部是是弹弹性性的的，，这这一一阶阶段段称称为为弹弹性性阶阶段段，，弹弹性性阶阶段段的的最最高高点点所所对对应应的的应应力力值值称称为为弹弹性性极极限限，，用用σe表示示。。这一一阶阶段段又又可可分分为为两两部部分分：：Oa段为为直直线线段段，，应应力力与与应应变变成成正正比比，，材材料料符符合合虎虎克克定定律律，，该该段段最最高高点点的的应应力力值值称称为为比比例例极极限限，，用用符符号号σP表示示。。低低碳碳钢钢的的比比例例极极限限大大约约为为200MPa。ab段是是一一段段很很短短的的微微弯弯曲曲线线。。虽然然弹弹性性极极限限和和比比例例极极限限意意义义不不同同，，但但是是弹弹性性极极限限和和比比例例极极限限的的数数值值十十分分接接近近，，工工程程中中常常将将这这两两个个名名字字不不加加区区别别，，统统称称为为弹弹性性极极限限，，近近似似认认为为在在弹弹性性极极限限内内材材料料服服从从虎虎克克定定律律。。在弹弹性性阶阶段段还还可可以以看看出出，，Oa段直直线线的的斜斜率率为为，，可可见见，，此此阶阶段段可可以以通通过过测测定定直直线线的的斜斜率率来来确确定定材材料料的的弹弹性性模模量量。。低低碳碳钢钢的的弹弹性性模模量量约约为为(200～210)GPa。(2)屈服服阶阶段段：：(对应应图图4.21中的的段段)图中中接接近近水水平平的的锯锯齿齿形形线线段段，，此此时时应应力力几几乎乎不不变变，，而而应应变变却却急急剧剧增增加加，，表表明明材材料料已已失失去去抵抵抗抗变变形形的的能能力力。。这这种种现现象象称称为为屈屈服服或或流流动动。。屈屈服服阶阶段段最最低低点点所所对对应应的的应应力力称称为为屈屈服服极极限限或或流流动动极极限限，，用用σs表示示。。低低碳碳钢钢的的屈屈服服极极限限约约为为240MPa。如果果试试件件表表面面光光滑滑，，当当材材料料屈屈服服时时在在试试件件表表面面将将出出现现与与试试件件轴轴线线约约成成45°°角的的倾倾斜斜条条纹纹。。此此条条纹纹称称滑滑移移线线。。它它由由于于轴轴向向拉拉伸伸时时45°°斜面面上上产产生生了了最最大大剪剪应应力力，，使使材材料料内内部部晶晶格格间间发发生生相相对对滑滑移移而而引引起起的的。。屈屈服服阶阶段段材材料料将将产产生生很很大大的的塑塑性性变变形形，，工工程程中中的的杆杆件件不不允允许许产产生生很很大大的的塑塑性性变变形形，，所所以以设设计计中中常常取取屈屈服服极极限限为为σs材料的的强度度指标标。(3)强化阶阶段：：图4.21中的cd阶段。。材料料在经经过了了屈服服阶段段后又又增强强了抵抵抗变变形的的能力力。此此时，，要使使材料料继续续变形形需要要增大大拉力力，这这种现现象称称为强强化。。强化化阶段段的最最高点点所对对应的的应力力，称称为材材料的的强度度极限限，用用σb表示。。低碳碳钢的的强度度极限限约为为480MPa。(4)颈缩阶阶段：：图4.21中的de段，在在应力力达到到强度度极限限σb后，应应力-应变曲曲线开开始出出现下下降段段。此此时，，试件件某一一局部部范围围内横横截面面积显显著缩缩小产产生所所谓的的颈缩缩现象象。颈颈缩现现象出出现后后，继继续拉拉伸所所需荷荷载迅迅速减减小，，最后后导致致试件件断裂裂。综上所所述，，低碳碳钢在在整个个拉伸伸过程程中，，经历历了弹弹性、、屈服服、强强化和和颈缩缩四个个阶段段，并并存在在三个个特征征点，，其相相应的的应力力分别别为比比例极极限、、屈服服极限限和强强度极极限，，其中中屈服服极限限和强强度极极限是是衡量量其强强度的的主要要指标标。轴向拉拉伸和和压缩缩轴向拉拉伸和和压缩缩3)低碳钢钢的冷冷作硬硬化在应力力超过过屈服服极限限之后后，如如果在在强化化阶段段某一一点(如图4.21中的k点)卸载，，则卸卸载时时应力力-应变曲曲线将将沿直直线kO’回到应应力零零点O’，直线线O’k几乎平平行于于线段段Oa，这说说明在在卸载载过程程中，，卸去去的应应力与与卸去去的应应变成成正比比，图图4.21中卸载载后消消失的的应变变O’k’为弹性性应变变，保保留下下的应应变OO’’为塑性性应变变。若卸载载后再再加载载，则则应力力-应变曲曲线大大致沿沿着卸卸载时时的路路径(直线O’k)，直到到k点后才才开始始出现现塑性性变形形，以以后的的应力力-应变曲曲线与与第一一次加加载时时大致致相同同。第第二次次加载载的应应力-应变曲曲线，，在k点以前前，材材料的的变形形是弹弹性的的，过过k点后开开始出出现塑塑性变变形，，即第第二次次加载载时，，材料料的比比例极极限提提高，，而塑塑性变变形有有所降降低，，这种种现象象称为为冷作作硬化化。工工程中中经常常利用用冷作作硬化化提高高材料料在弹弹性范范围内内的承承载能能力。。例如如把钢钢筋冷冷拉，，以提提高抗抗拉强强度。。但是是，经经过冷冷拉的的材料料，强强度提提高了了，其其塑性性会有有所降降低。。4)塑性指指标试件拉拉断后后，弹弹性变变形全全部消消失，，而塑塑性变变形则则保留留了下下来，，工程程中常常用试试件拉拉断后后保留留下来来的塑塑性变变形的的大小小来表表示材材料的的塑性性性质质。表表征材材料塑塑性性性质的的有延延伸率率和断断面收收缩率率两个个指标标。(1)延伸率率。将将拉断断的试试件拼拼在一一起，，量出出断裂裂后的的标距距长度度l1，习惯惯上把把断裂裂后的的标距距长度度l1与原标标距长长度l0的差值值除以以原标标距长长度l的百分分率称称为材材料的的延伸伸率，，用符符号δ表示：：轴向拉拉伸和和压缩缩(4-18)低碳钢钢的延延伸率率约为为20%~30%。延伸率率表示示试件件直到到拉断断时塑塑性变变形所所能达达到的的最大大程度度。δ越大，，表示示材料料的塑塑性越越好。。工程程中常常按延延伸率率的大大小将将材料料分为为两类类：δ≥5%的材料料为塑塑性材材料，，例如如低碳碳钢、、低合合金钢钢、铝铝合金金等；；δ<5%的材料料为脆脆性材材料，，例如如混凝凝土、、铸铁铁、砖砖、石石材等等。拉拉伸试试验表表明，，低碳碳钢是是一种种抗拉拉能力力良好好的塑塑性材材料。。(2)断面收收缩率率。测测出断断裂试试件颈颈缩处处的最最小横横截面面面积积A1，原试试件的的横截截面面面积A0与A1的差值值除以以原试试件的的横截截面面面积A0的百分分率称称为断断面收收缩率率，用用符号号Ψ表示：：(4-19)低碳钢钢的断断面收收缩率率约为为60%~70%。2.铸铁的的力学学性质质铸铁是是一种种典型型的脆脆性材材料。。如图4.22所示的的曲线线1为(虚线表表示)铸铁拉拉伸时时的应应力-应变图图。从从图中中可以以看出出，图图线没没有明明显的的直线线部分分，没没有屈屈服阶阶段。。试验验表明明构件件在拉拉应力力很小小的情情况下下就被被突然然拉断断了，，并且且拉断断之前前没有有明显显的颈颈缩现现象，，变形形也很很小，，拉断断时的的应力力是衡衡量它它强度度的惟惟一指指标，，称为为抗拉拉强度度，用用σb表示。。可见见铸铁铁的拉拉伸强强度很很小，，抗拉拉能力力差，，在工工程中中不宜宜用作作抗拉拉构件件。轴向拉拉伸和和压缩缩图4.22铸铁拉拉伸、、压缩缩时的的应力力-应变曲曲线铸铁压压缩时时的应应力-应变曲曲线如如图中中曲线线2(实线表表示)。将曲曲线1与曲线线2比较可可以看看出，，铸铁铁压缩缩时也也没有有明显显的直直线部部分及及屈服服阶段段。压压坏时时的应应力是是衡量量它强强度的的唯一一指标标，称称为抗抗压强强度，，用σbc表示。。铸铁铁的抗抗压强强度大大约是是抗拉拉强度度的(4~5)倍，压压缩时时的变变形也也比拉拉伸时时大。。可见见，铸铸铁是是一种种抗压压性能能好而而抗拉拉性能能差的的材料料，工工程中中常用用作抗抗压构构件，，也常常用来来做动动力机机械、、桥梁梁的底底座。。3.其他常常用材材料的的力学学性质质建筑工工程中中用到到的材材料很很多，，按按延伸伸率可可以分分为塑塑性材材料和和脆性性材料料两类类。塑塑性材材料拉拉伸和和压缩缩时的的弹性性极限限、屈屈服极极限基基本相相同，，应力力超过过弹性性极限限后有有屈服服现象象，破破坏前前有明明显的的预兆兆，延延伸率率和断断面收收缩率率都较较大。。脆性性材料料(混凝土土、砖砖石等等)压缩强强度大大于拉拉伸强强度，，破坏坏前没没有明明显的的预兆兆，是是突然然发生生的，，延伸伸率较较小。。一般情情况下下，塑塑性材材料的的抗拉拉、抗抗压能能力都都较好好，既既能用用于受受拉构构件，，也能能用于于受压压构件件。但但在工工程中中实际际选用用材料料时，，不但但要考考虑材材料的的力学学性能能，还还要考考虑经经济因因素。。例如如建筑筑工程程中很很少用用低碳碳钢作作为受受压构构件，，而常常用混混凝土土等材材料做做成受受压构构件。。影响材材料力力学性性能的的因素素是很很多的的，上上述材材料的的性质质是在在常温温、静静荷载载条件件下得得出的的。若若环境境因素素发生生变化化(如温度度变化化、动动力荷荷载)，则材材料的的性质质也会会发生生变化化。轴向拉拉伸和和压缩缩六、轴轴向拉拉伸杆杆件的的强度度计算算根据杆杆件承承受外外力的的大小小便可可算出出截面面上应应力的的大小小，当当外力力增大大时，，截面面上的的应力力也加加大。。但是是任何何材料料的杆杆件其其截面面应力力的增增长都都存在在一个个固有有的极极限，，超过过此极极限时时，杆杆件就就要破破坏，，例如如杆件件断裂裂或虽虽不断断裂，，但出出现不不可恢恢复的的塑性性变形形而丧丧失承承载能能力，，不能能正常常工作作。这这时的的材料料应力力称为为极限限应力力，即即材料料丧失失工作作能力力时的的应力力，以以符号号σ0表示，其其值由试试验确定定。在设计杆杆件时，，有很多多情况难难以估计计。为了了保证构构件有足足够的强强度，还还必须有有足够的的安全储储备，使使杆件在在荷载作作用下所所引起的的最大应应力小于于材料的的极限应应力。通通过大量量调查研研究，给给各种材材料分别别规定了了一个可可以作为为设计依依据，且且比极限限应力小小得多的的应力，，即杆件件在工作作时允许许承受的的最大工工作应力力，我们们称为许许用应力力或容许许应力(见表4-2)，以符号号[σ]表示。许许用应力力等于极极限应力力除以安安全系数数n，即(4-20)式中，σ0表示材料料的极限限应力。。安全系数数n是一个大大于1的系数，，安全系系数的确确定应考考虑以下下几个方方面的因因素。轴向拉伸伸和压缩缩(1)实际荷载载与设计计荷载的的出入。。(2)材料性质质的不均均匀。建建筑力学学假设材材料均匀匀连续、、各向同同性，但但实际情情况并非非如如此此。(3)计算结果果的近似似性。在在计算杆杆件的内内力、应应力和变变形时，，都对具具体结构构做了不不同的简简化和近近似性的的假设，，这就使使得计算算结果与与实际情情况有了了差距。。(4)施工、制制造和使使用时的的条件影影响。施施工、制制造和使使用条件件不同，，也会影影响杆件件的强度度。例如如，混凝凝土是机机械拌制制还是人人工拌制制，是现现场浇注注还是工工厂预制制都会影影响杆件件的强度度，对木木结构、、钢结构构，大气气的含水水量、温温度变化化都会影影响其强强度。综上所述述，安全全系数的的确定涉涉及工程程的方方方面面，，不仅仅仅是力学学问题。。选取安安全系数数的原则则是：在在保证杆杆件安全全可靠的的前提下下，尽可可能减小小安全系系数，提提高容许许应力。。确定材材料的安安全系数数是一项项严肃的的工作，，安全系系数低了了，不安安全，安安全系数数高了，，浪费材材料。通通常安全全系数由由国家指指定的专专门机构构制定。。目前建建筑工程程中的安安全系数数取值，，对塑性性材料，，破坏前前有明显显的预兆兆，一般般取1.4~1.7；脆性材材料破坏坏前没有有明显的的征兆，，破坏是是突然的的，所以以安全系系数取得得较大，，一般取取2.5~3.0。轴向拉伸伸和压缩缩表4-2常用材料料的容许许应力值值材料抗拉/MPa抗压/MPa钢Q215、Q23516锰钢140~170215~240140~170215~240轴向拉压压杆要满满足强度度要求，，就必须须保证杆杆件的最最大工作作应力不不超过材材料的许许用应力力。即(4-21a)对等截面面杆，上上式可写写成(4-21b)式(4-21)就是拉(压)杆的强度度条件。。如果最最大应力力与许用用应力相相等，则则说明安安全与经经济达到到了统一一。如果果最大应应力远小小于容许许应力，，则说明明材料浪浪费了。。如果最最大应力力大于容容许应力力，说明明强度储储备不足足，安全全程度没没有达到到标准。。根据强度度条件公公式，可可以解决决实际工工程中的的三类问问题。轴向拉伸伸和压缩缩①强度度校核：：已知杆杆件所受受的荷载载、杆件件尺寸及及材料的的容许应应力，根根据式(4-21)可校核杆杆件是否否满足强强度要求求。②截面面选择：：已知杆杆件所受受的荷载载及材料料的容许许应力，，确定杆杆件所用用的最小小截面积积，可用用下式计计算，，求出截截面积后后，可进进一步根根据相关关条件，，确定有有关尺寸寸。③确定定许用荷荷载：已已知杆件件的横截截面积和和材料的的容许应应力，确确定许用用荷载，，先用下下式计算算最大许许用轴力力，，然后可可根据实实际情况况下轴力力与荷载载的平衡衡关系，，进一步步计算许许用荷载载。说明：利利用强度度条件对对受压直直杆进行行计算，，仅对由由强度较较低的材材料制成成、横截截面尺寸寸较大的的杆件适适用(如由木材材、素混混凝土、、砌体材材料制成成的受压压柱)。而对于于由高强强度材料料制成的的受压杆杆件，承承载能力力主要取取决于稳稳定性，，例如由由低碳钢钢制成的的受压杆杆，一般般在工作作应力远远小于其其材料容容许应力力的情况况下，突突然发生生失稳破破坏。轴向拉伸伸和压缩缩【例4.11】一钢筋混混凝土组组合屋架架的计算算简图如如图4.23所示。其其中，，屋顶的的上弦杆杆由钢筋筋混凝土土制成，，下弦杆杆为圆截截面钢拉拉杆，直直径为2.2cm。钢的容容许拉应应力为，，试试校核该该拉杆的的强度。。图中尺尺寸单位位为mm。图4.23钢筋混凝凝土组合合屋架解:(1)求支座反反力FA和FB。把屋架架整体作作为研究究对象，，根据和，，可可求出FA和FB。结构和和荷载均均左右对对称，FA和FB必相等，，所以(2)求拉杆的的内力FN。用截面面法取左左边部分分为隔离离体，如如图4.23(b)所示，以以铰C为矩心，，建立平平衡方程程轴向拉伸伸和压缩缩(3)求拉杆上上的正应应力σ，先求拉拉杆的横横截面面面积由于，，所以拉拉杆安全全。【例4.12】如图4.24所示，一一铸铁圆圆筒，顶顶部承受受压力，，筒的外外径，，已已知铸铁铁的容许许应力，，试求筒筒壁的厚厚度t，筒的自自重略去去不计。。解:先求所需需的横截截面积A，将及及代代入，得得圆环面积积为轴向拉伸伸和压缩缩圆筒的内内径值图4.24铸铁圆筒筒由此可得得筒的内内壁厚为为实际工程程中可选选用，，即即筒的内内径为20cm。【例4.13】如图4.25所示的三三角架，，AB为钢拉杆杆长1.5m，横截面面积为，，容许应应力，，倾角角为45°；BC为木杆，，横截面面积为120cm