第4章不定积分-几种特殊函数积分

第四节几种特殊函数的不定积分有理函数：两个多项式的商表示的函数P(x)

axn

xn1

an1

00Q(x)00

bxm

xm1

bm1

其中m、n都是非负整数；a0a1,anb0b1,bm都是实数，并且a00，b00nn

称为假分式利用多项式分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. x3xx2

x x2把有理函数的积分化成一个多项式和一个关键：将真分式化为部分分式由代数学里的部分分式定理知分母中若有因式(

a)k，则分解后为

x (xa)2

(xa)k其中A1

Ak都是常分母中若有因式x2

px

q)k,其p24q

0,则分解后为

A2x

Akxx2px

(x2pxq)2

(x2pxq)k其中其中AiBi都是常数(i＝12定理1有理函数的原函数都是初等函数.x例

x

x25x

(x

2)(

x x x3

3)

B(

(A

B)

(3A

2B)A

B

AB6 (3A2B) B6 x

5

（待定系数法x25x

x

xx

5ln

x

x3x2

5x分母中若有因式xa)k，则分解后为 x

(x

a)2

(x

a)k分母中若有因式x2

px

则分解为 A2x

Akxx2px (x2pxq)2

(x2pxq)k因此,只要求出四类积

dx

x2px

ln(

a)

(AxBx D. 1 (x2pxq)k

(x

1

(x

k

(AkxBk x2px

(xpxq)

(2x

(B

2x22

px

x2

pxd(xp)

(x

px

dx(B

22 x2px 2

(x

2(qpqp24qqp24qp24

x 2

ln(x2

px

arctan c(AkxBk(x2px

(2x

(B

2(x2

(x2

q)k

d(x2

px

(B

p)

d(xp)2222(x2

pxq)k

((x

2

(q

p))k2

1

(x2

px

k

用递推公式降次例 x(x1)2

Ax

x1

(x1)21

(A

B)x2

2A

B)x得A

B

C1xx

1x

(x

1)2

xx(

lnx

x

ln(

1)1例

Bx(12x)(1x2

12 1x21A(1

x2)

(Bx

C)(1

2x)(A

2B)x2

(B

2C)x

(C得A

4,51

2,5

154

2x (1

2x)(1x

12

1x2因

2x1 (12x)(1

x2

12

1x2

dx

2x1dx512 51x24

1

2x

12

1

x2 1

x225

12x

15

x2

5

x例4求I 1x3 1x3 (1x)(1xx2 Bx

x)(1xx2 1 1xx2可求

A1,3

1,C33 33I1ln13

6

x1)

1arctan

(2x

1)一般的方法不一定是最有理的积分应先考虑其它方法得已时才用一般方法

例x(

x16(

y 16

x16(

16

y(y1(

y1lnx2

1ln(x1632

2)例

dx

1x2x2x8(x2

x8(x2

x8

x6(x2

x8x6

x4(x2

11x8x611

1 x4 x2(x2

11

11

x8 x6

x4 x2

x2

7x7

5x5

3x3

1arctanxC二、三角函数有理式的积三角函数有理式的定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成数，一般记为

x,cos

x).因 2tan

2tansinx

sec2

tan2

x

1

12

2 sec22

1tan22u

tanx，则x2arctan2 1u2sin

1

1u2dx 因 1u2

1u2

x,cos

x)dx

1

u2,1

u21定理2三角函数有理式的原函数都是初等函数.例7

sin

dx（

utanx11sinxcos 1

du

1u

u)(1

u2

u1 ux2x2

1ln(1

u2

|1

u|x2

ln1

tanx2万能代换不一定是最佳方三角有理的计算先考虑其它方法,不得已才用万能代例如

cos

dx

1sin 1sin又

dcot3sin2

3csc2x a0

xb

x)2

a(a

x

C.例8求积

dx.x解（一）可以不用万能1sin4x1

x(1

cot2

xdx

cot2x

cotx

1cot3

xC

d(cot解（二）可以

utan1u21u2

dx

1u2

1u2

1sin4 u4 3u3 1cot3

x

xC例9求积

1sin

sin3xsin

AsinB

2sinA2

B

A2 1sin

dx

1sin 3x

sin

2sin2xcos 1sin

dx

4sinxcos2

4

xcos2 cos2

x

x

1

4

xcos2

cos2 sinxdx cos2

x

1tan4 4cos

tan2

xC自己做

lncos

lnsinx 2sin2例10求积

7sinxcos

3sin解

4cos7sinxcosxdx

3cosx4sinx)dx3sinx4cos

3sinx4cosx

3sin

4cosx

axR(x,

axb)

R(x,

cxe解决方法：作代换去掉根例

1 31x31x1所1

x2，

xt3

dx

3t1

dx1

3t3x3x1

3

t

3t2

3ln

13x3x

x

x2

3ln

1例 x

1xdx解

t，则x

x

t2t

1x1x

t2原式

2t

1

t

11x11x1x

lnx

例

x1

x1解令t

x

6t

t1 t12t

6ln|

1|x x

x

x6x6 6x例14解

3(x3(x1)2(x3(x1)2(xx3x

(

t

x1

dt

x

(x3(xx3(xx)(x42

xx3x

3dt13t312

2

Cx例x

x2xx2xx2x

x

t212t2t22t(t2)(2t1)1

dtx

t

2t1x2xx2xx2x2lnxx2x1ln2x2

1ex2dx,

ex2