课件-3第三章大地水准面

第三章第三章3.1布隆斯公式和重力异3.2大地水准面上扰动位的求3.3垂线偏3.4大地水准面高3.5大地水准面形重力重正常重正常重扰动重力异？？引地球的自然表面是相当复杂的，以前的许多学者都不去直接研究它，而是研究大地水准面的形状。这是因为地球表面上有70％左右的地区是被海水覆盖。前面已经讲过，所谓大地水准面就是与“平均”海水面相重合的一个重力等位面；而另一方面，在大地测量学中，不管是那一种测量仪器的安置，总是以铅垂线，即水准面的法线为依据，并且以“平均”的海水面作为起算面的。所以研究大地水准面形状也是大地测量的任务之一。引在十九世纪以前，由于当时大地测量的精度不高，同时测量区域也不大，很少有学者专门去研究地球的重力场，同时还把大地水准面当作是一个旋转椭球体，也就是说在大地水准面上的重力方向就是旋转椭球面的法线方向。地球表面离开大地水准面的高度就是离开旋转椭球体的高度。随着大地测量精度的提高，就越来越清晰地表明，大地水准面并不100米的起伏，并且两者的法线也不重合，所以大地水准面是一个较复杂的曲面。研究大地水准面的形状，除了要研究与大地水准面非常接近的一个平均椭球体以外，还要研究大地水准面相对于旋转椭球面的起伏以及两者法线之间的偏差。引解决上述问题的方法，主要是以地球(正确的说是大地水准面内)的质量所产生的重力位与旋转椭球体(正常地球)所产生的正常位之差——扰动位为根据，去推求大地水准面相对于椭球体的起伏和倾斜。扰动位是准面外部不得有质量存在，所以必须将地球的质量加以调整，也就是要去掉大地水准面以外的质量（去掉其引力效应），这就是重力测量结果的校正问题。由于这样获得的是调整了地球质量以后的大地水准面形状，所以这称为调整后的地球形状的确定问3.1布隆斯公式和重力异3.1.0大地水准面和参考椭球面的差

大地水准N 参考椭球布隆斯公式和重力异布隆斯(HBruns公nNnN

由重力位定义，空重力位由于实际大地水准

与标准椭球面不可能完全重合，设p点为大地水准面上的点，其在椭球U0=C，则p及p0点处的重力位可表示成W(

U(p)T(W(p0)U(p0)T(p0布隆斯公式和重力异nN布隆斯(H.Bruns)公nN

用正常重力位垂向一阶力

U ()U显

NNW(p)U(p0)U(p)U(p0)T(W(p)U(p0

NT(布隆斯公式和重力异布隆斯(HBruns公对于W()和U(0)，我们有事先的假定，即在确定正常重力位时，其在地球椭球面上的重力位数值(p0）应与大地水准面上的实际重力位值（W(p)=）十分近。这里姑且认为两者相等，即有

p0

pp0所 N

——布隆斯公式布隆斯公式告诉我们，大地水准面的差异为扰动位与正常重力布隆斯公式和重力异布隆斯(HBruns公由于随纬度变化，而前面 近有平均的意义，N布隆斯公式建立了扰动位与大地水准面起伏之间的基本公式之正常重力时，我们是通过重力位的，引出正常重力的概念。异常，我们仍可以通过重力位引出重力异如果从扰动位对其等位面内法向求导，自然可以得到重力异常，但如何用一个直观、明了的概念描述重力异常？如3.1布隆斯公式和重力异重力异“重力异常”可以不同的含义，但都是相对正常重力而言的。对于

数值

被称为重力异常值，根据前面的知识，g

G

n1

rnY

n2 rMr3.1布隆斯公式和重力异重力异

n1 rn2 r

n

n1

rn2

G

n1 rn2 r

n

由于考虑了扁度二阶极小（2）的正常重力中已经包含了4阶带函数，所以，这里的n2*,4*表示其中包含2阶、4阶带函数中因地球质量分3.1布隆斯公式和重力异重力异纯重

地球等 椭球等混合重力异常（重力异常

大地水地球重力异利用地球等位面相对于椭球等位面的关系(p)(p)

n

顾及布隆斯公式和混合重力异常公式，上式变 h

——重力扰动与重力异常关系3.1布隆斯公式和重力异3.1.2重力异将重力异常公TT1Tg

代

h这就是重力基本微分该方程建立了实测重力异常与扰动位之间的关系，是重力学基本公式之一。由边值问题解出，再应用布隆斯公式求N，从而确定大地水准第三章第三章3.1布隆斯公式和重力异3.2大地水准面上扰动位的求3.3垂线偏3.4大地水准面高3.5大地水准面形3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求1.位理论的边值问位理论的边值问题可分和外部所谓位理论外部边值问题，就是在某一个区域的边界面上已知某些函数值，而这些函数值又能满足一定的条件，然后根据边界面上的这些已知数据和给定的条件求出在外部空间的函数。这个函数是调和的，并在对于地球来说，就是根据给定边界面上的已知数据和某特定的条求地球外部的3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求1.位理论的边值问由于给定的边值条件不同，所以也有不同的边值问题，一般有下列种第一边值问题——狄义赫里外部问V，根据这个边值条件求出在外部空间是调和的并在无穷远处是正则的函数。这样的边值问题称为狄义赫里问题。3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求1.位理论的边值问第二边值问题——诺依曼外部问它的边值条件是在边界面上已知所求调和函数的法线导数

，根这个边值条件求出在外部空间是调和的并在无穷远处是正则的函数，样的边值问题又称为诺依曼问题3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求位理论的边值问第三边值问题，它的边值条件是在边界面上已V其中,是常参数。这样的边值问题称为混合边值问3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求边值问题的求位场边值问题可以用多种方法求解，如格林方法、球谐函数方积分方程法、(1)高斯公式和格林公 R

z

——高斯公PQR为在Γ域中连续的函3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求 P

Q

v

Ru

z2

2v且 D(u,v)

v

vu z

(u) v

dvcos(n,x),v

dv

y),v

dvcos(n,

3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求 R

z

上式可写 ),(

——第一格林公令u,v互换可得到对应的表达式，将两者相减可

dv

du

——第二格林公 dn3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求用格林方法解外部边值问设Γ为一个质量体，u=1/r，r为质量体 有u为调和函数，即u=0，且在无穷远处为零。再假设质量 密度为，且连续，其引力位为v，即3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求用格林方法解外部边值问第二格林公式两边可写

（V为质量体外部的位u

vdu

1dv

1 dn r

dnr3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求即

1dvv

14r dnr

——格林基本定理（或公式3.2大地水准面上扰动位的求V r11V r11d1dnr 2.边值问题的求若考虑质量体外部的问题，即v

dv

du u将格林基本公式与其相减，u1

vd

u1u1

r dn

r3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求1V1

u1dvv

u

1 Gu则

1r

r

dn

r

G

vdG dn3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求若构造函数u在边界面上使得G=0， 如果已知质量体表面上的位v，上式就是狄义赫利边值问题（第一边值题）外部问题3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求2.边值问题的求若构造函数u在边界面上使则

如果已知质量体表面上位的法向导数，上式就是诺依曼边值问题（第二边值问题）外部问题的解。3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求边值问题的求u1 du r r 则

r dv v

dn上式就是混合边值问题（第三边值问题）外部问题3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求积分形式——泊松积分公若边界面为一球面，其外部

p的坐标为(r,,)，

V(r,,)1

[V](,) 则

[V](,)dn

G

段r上找一个点p，使R2=r3.2大地水准面上扰动位的求rOlRMrOlRM3.积分形式——泊松积分公p根据图上三角形各边的关系，

若M点在球面上，有R=R，并有R2rr，则 R4 R2 R r 3.2大地水准面上扰动位的求rOψlRM3.2.2rOψlRM3.积分形式——泊松积分公证明G在球面上等于零在球在球 R4R2rrR2rRr2Rl2即rlRrR11rl 3.2大地水准面上扰动位的求rOψlRM3.2.2rOψlRM3.积分形式——泊松积分公dG

dG

考虑

)

l2d dl

dldl

RrlRrcosl3.2大地水准面上扰动位的求rOψlRM3.2.2rOψlRM积分形式——泊松积分公p有

1R33

cos22

1

3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求lRlRrR1

rl3rl3

(R r l

rRRrR

cos

1(Rrcos22V122V14[V](,)r2R23 221

l33.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求微分形

大地水准N

参考椭球

p)(

3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求微分形考虑到球体情况，将n用r代替，则ggT用r2

T

r

g

(r2T r23.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求扰动位的求定义辅助函Er

(r2T

r在球面上的E

TE且

r

0)g

T

3.2大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求5.扰动位的求根据泊松积分公1 r2R2 Er

r(rT)

3ll上式

rr r

1rE1r

3

Rr对r进行积 4.1大地水准面上扰动位的求3.2.2大地水准面上扰动位的求5.扰动位的求1T04R1其

S

) ) ——斯托克斯函上式称为Stokes公式或Stokes积分，由英国Stokes于1849年导出第三章第三章3.1布隆斯公3.2大地水准面上扰动位的求3.3垂线偏3.4大地水准面高3.5大地水准面形33垂线偏垂线偏差的概垂线偏差——大地水准面内法线与对应的椭球面内法线之夹角

大地水

3垂线偏ggP垂线偏差有正负之分。设g在北向gx,东向分量为gy在子午圈方向（O平面）上的分量为，在卯酉方向上（O平面）的分量为。P

X

Y定义：当

x(或

y)大于零时(或为负，反之为正。可见，当g相对偏γNE：>0,>0SW：<0,<0ZNW：>0,<0SE：<0,>03.3垂线偏gg由图可见，

X

Y

gxgzgygz Z3.3垂线偏 即gx

W0

gy

gx

U

gy

3.3垂线偏垂线偏差与扰动位的关而正常重力方向垂直于XOYUU 则gx

T0

gy

tgtg

1gz 1gz 3.3垂线偏垂线偏差与扰动位的关

用代替gz，用R代替子午圈和卯酉圈的曲率半径

1

Rcos3垂线偏3.3.2垂线偏差与扰动位的关 R R 1或1 4

00

R

g00

第三章第三章3.1布隆斯公3.2大地水准面上扰动位的求3.3垂线偏3.4大地水准面高3.5大地水准面形大地水准面高大地水准面高程异常的积分表T (g

N

2

04 0

(g0

)sind3.4大地水准面高NGM

Rn1

nmT nm n2m0r即

Cn