空间向量及其运算

§9.5空间量及运算（四教目：㈠知识目标：⒈间向量基本定理及其推论；⒉空间的基底、向量．㈡能力目标：⒈解空间向量基本定理及其推论⒉理解空间向量基底、基向量的概念．⒊㈢德育目标：学用发展的眼光看问题，认识到物都是在不断的发展、变化的，用联系的观点看事物．教重：量的分解（空间向量本定理及其推论教难：间作图．教方：授法．教准：媒体投影．教过：Ⅰ复引入［师］上节课，们学习了向量与平面平行、共向量的概念，请同学们回顾一下向量与平面平行概念．［生］如果表示间向量a的有向线段所在直线与知平面平或在平面α内则称向量平行于平面，作//．［师］向量与平平行和直线与平面平行有什么同？［生］向量与平平行时，向量所在的直线可以平面内，而直线与平面平行时两是没有公共点的［师］怎样的向称为共面向量？共面向量一定在同一平面内吗？［生］平行于同平面的向量叫做共面向量．共向量不一定是在同一平面内的，可以平移到同一面内．［师］上节课我还在平面向量基本定理的基础研究了空间三个向量共面的条件得出了共面向量理及其推论，请叙述该定理及推论．［生］共面向量理：如果两个向量a、不则向量与量ab面的充要条件是存在实数，y，得=a+．共面向量定理的论：空间一点P在平面MAB内充要条件是存在有序实数对，y，使得MP，①或对于空间任意定点，

．②)OMxOA③［师］应用上面三个公式我们可以解决与四点面有关的问题．今天我们将对平向量基本定理加以推广，得出间向量基本定理．

3Ⅱ新讲授3［师］右图中的量、、是共面的三个向量，请问向量AC与们是什么关系？由此可得出什么结论？［生］

'ADAA'

．由此可知，始相同的三个不共面向之和于以这三向量为棱的平行六面体的以公共始点为点的对角线所示向量．［师］如果向量、、'分别和向量、、共线，能否用向a、c表示向量

AC'

？［生］

'

＝

a+b+［师］事实上，空间任一向量'，们都可以构造出上述平行六面体由此我们得到了空间向基本定理：如三向

a、b、

不面那对于间一量，存在个一的序数、、z，p＝xa+yb+z．证明：存在性课本P）唯一性：设另有组实数

x’y’、’使p＝’a+’+’则有x++c’yb+’∴x－’)a(y－’)+(－)＝0∵、、不面∴x－xy－’z－’，即x＝x且＝y且’

．故实数

xyz

是唯一的．［师］由上述定可知，空间任一向量均可以由间不共面的三个向量生成，我们｛、、｝做空间的一基，、、都基向量说明：①空间任三个不共面的向量都可以构成间的一个基底．②三个向量不共就隐含着它们都不是零向量向量与任意非零量共线，与任

意两个非零向量面）③一个基底是不面的三个向量构成的一个向量个基向量是指基底中某一个向量．［师］由定理的明过程P第一行）可以得到下面的推：32设OAC是共的四点则对间一P都存一唯一有实组x、、使

xOA

．说明：若＋y＋＝１，则根据共面向量定理得、A、B、四点共面．例４（见课本P）32Ⅲ课练习课本P练32Ⅳ课小结⒈空间向量基本理也成为空间向量分解定理，与平面向量基本定理类似，区别在于基底中多了个向量，从而分解结果中多了“项.明的思路、步骤也基本相同．⒉空间向量基本理的推论意在用分解定理确定的位置对今后用量方法解几何问题很有用也为今后学习空间向量的直角标运算作准备．Ⅴ课作业⒈课本P习9.⒈⒉36⒉阅读课本P～P，习《两个向量的数量积习提纲33⑴空间两个向量夹角是怎样定义的？怎样表示个向量的夹角？什么叫做两个向量互相垂直？⑵什么叫做向量模？⑶什么叫做两个量的数量积？其