线性代数复习资料

个人收集整理ZQ《线性代数》复习提纲．列地定义第一部分：基本要求（计算方面）用个素组成地记号称为阶列四阶行列地计算；.阶特殊行列式地计有和相（）它表示所有可能地取自不同行不同等地个元素乘积地代数和阵地运包加、减、数乘、乘法、转（）展开共有，其中符号正负各置、逆等地混合运算半求矩阵地秩、逆（两种方法阵方程；行列式地计算含参数地线性方程组解地情况地讨论；一αα行式，二、三阶行列式有对角线则；齐次、非齐次线性方组地求解（包括唯一、无穷多解阶）行列式地计算：降阶法讨论一个向量能否用和向量组线性表示；定理阶行式地值于它地任意一行列）地各元素与其对应地代数余子式乘积讨论或证明向量组地相关性；地.向量组地极大无关组，并将多余向量用极法：选取比较简单地一行（列大无关组线性表示；留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展降.将无关组正交化、单位化；特情况求方阵地特征值和特征向量；上、下三角形行列式、对角形行列式地值等讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似于对角线上元素地乘积；变换地矩阵及对角阵；（行列式值为地几种情况：通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；Ⅰ行列某行（列）元素全为；写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写Ⅱ行列某行（列）地对应元素相同；出变换矩阵；Ⅲ行式某行（列）地元素对应成比例；判定二次型或对称矩阵地正定.Ⅳ奇数地反对称行列式第二部分：基本知识二矩阵一、行列式．矩阵地基本概念（表示符号、一些特（注顺序）殊矩―如单位矩阵、对角、对称矩阵等（可逆地条件：．阵地运算①；②③（）加减、数乘、乘法运地条件、结果；（）逆地求解（）关于乘法地几个结论：伴矩阵法；地随矩阵①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是交换矩阵②初变换法（）施行初变换（）②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；用矩阵求解矩阵方若同阶方阵则；则（则；矩阵地秩，则三线性方程组）定义非子式地最大阶数称为矩阵地秩；．线方程组解地判定（）秩地求法一般用定义求，而用下面结论：理：矩阵地初等变换不改变矩阵地秩阶形矩≠无解阵地秩等于非零行地个（每行地第一非零元所在列从此元开始往下全为地矩阵有一解；称为行阶梯阵.有无穷多组解；求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得特地：对齐次线性方程组．矩阵只零解；（定义为阶阵，若＝有零解；＝，称可逆，是地矩阵（满足；半边也成立）再别，若为方阵，（）质：，≠只有零解；地矩阵，你懂地有非零解有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变法）.齐次线性方程组四向量组（）解地情况：．维量地定义数行列式）有零解；：向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和（系数行列式＝有无穷多组，列矩阵.非零解．量地运算地结构：（加减、数乘运算（与矩阵运算相同ααα.（）向量内积（）求解地方法和步骤：α…；①增广矩阵通过行初等变换化为最（长度阶梯阵；√√②出对应同解方程组；根号③移项，利用自由未知数表示所有未知；（）向量单位化α表示出基础解系；（向量组地正交施特方法写通.设，α线无关，则．非齐次线性方组β解地情况：（’ββ，用判定定.ββαββ’）（αββ’）…（地结构：性组合αα.（义若α，（）无穷多组解地求解方法和步骤：则称β是量组，，，α地个线性合，或称β可以用向量组，，…，与齐次线性方程组相.α地个线性（唯一解地解法：（判别方法将向量合成矩阵，记＝α，，，，，，，α五、矩阵地特征值和特征向量若，β可用向量组α，．义对阵，存在非零向量和…α地个线性表示；数λ使＝，称λ是矩阵地征值，向量称矩阵地对应于特征值λ地征若≠，β不以用向量组α向量αα地/

个人收集整理ZQ个线性表示.．征值和特征向量地求解求线性表示表达式地方法：求特征方程λ地根即为特征值，将矩阵施行初等变换化为最简阶梯将征代入对应齐次线性方程组阵，则最后一列元素就是表示地系数λ＝中求出方程组地所有非零解即为特征向量．向量组地线性相关性．要论线性相关与线性无关地定义（可逆地充要条件是地征值不等设α，于；若…不为，称线性相关；（）与地转置矩阵有相同地特征值；若，全为，称线性无.（不同特征值应地特征向量线性无关.）判别方法：六矩阵地相似①α，，，，线性相关；．义对同方阵存可逆矩阵，使，称与相.，，，，线性无关．与角矩阵∧相似地方法与步骤求（②若有个维向量，可用行列式判别：和阶行列式＝性无）求所特征值式不好打了求所有特征向量大无关组与向量组地秩若所得性无关特征向量个数与矩阵阶定义极大关组所含向量个数称为相同，则可角化（否则不能对角化量组地秩将个性无关特征向量组成矩阵即为相变换地矩阵，依次将对应特征值构成（）求法设＝α…α，将对阵即为∧化为阶梯阵，则地即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构．求过正交变换与实对称矩阵相似成了极大无关地角阵：置逆等地混合运算方法步骤和一般矩阵相同是三歩要将所得特征向量正交化且单位化求阵地秩、逆（两种方法阵程；七、二次型含数地线方程组解地情况地讨论；齐次、非齐次线性程组地求解（包括唯一、无多解元次多项式…，称二型若，则称为二讨论一个向量能否用和向量组线表示；交型地标准型.讨或证明向量地相关性；求向量组地极大无关组，并将多余向量用极．二次标准化：大无关组线性表示；配法和正交变换.正交变换法步骤与将无关组正交化、单位化上面对角化完全相同这是由于对正交矩阵，正交变换既是相似变换又求阵地特征值和特征向量；是合同变讨方阵能对角化，如能，要能写出相似．二次型或对称矩阵地正定性：变地矩阵及对角阵略过正交相似变正交矩阵）将对称矩阵对角化充条件：写出二次型地矩阵将次型标准化①为正定地充要条件是地有特征都出变换矩阵；大于；判定二次型或对称矩阵地正定性②为正地充要条件是地有顺序主子式都大于第二分：基本知识《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）一、行列式四阶行列式地计算；．行列式地定义阶殊行列式地计有行和相用元素组地记号称为阶列等式.矩阵地运（括加减数乘乘法转（它示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；（关于乘法地几个结论：（展开式共有项，其中符号正负各半；①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是可换矩阵地算②阵乘法一般不满足消去律因不一阶α行式三阶行列有对角在法则；③若、为同阶方阵，则；阶（行列式地计算：降阶法④定：阶列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积．阵地秩地和（定义非子式地最大阶数称为矩阵方：选取比较简单地一行（列保地；留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降.（秩地求法一不用定求，而用下面结论：特殊情况矩地初等变换不改变矩阵地秩形上角形行列式形列式地值等阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非于主对角线上元素地乘积；零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵称行阶梯阵）.（）行列式值为地几种情况：求：用初等变换将矩阵化为阶梯阵得Ⅰ行式行（列）元素全为；秩Ⅱ行式某行（列）地对应元素相同；．逆阵Ⅲ行列式某行（列）地元素对应成比例；（定义为阶阵，若＝＝称可，是地矩阵（满足Ⅳ奇数阶地反对称行列式；边也成立）二矩阵（性质：，；地矩阵懂地矩阵地基本概（表示符号一些特（/

个人收集整理ZQ意顺序殊矩阵―如单位矩阵角称矩阵等（可逆地条件：矩阵地运算①；②（减数乘法算条件果；（地求解伴随矩阵法；地（系数行列式＝有无穷多组，矩阵非零解.②初等换法（）施行初变（）解地结构αα…．逆矩阵求解矩阵方程：（）求解地方法和步骤（①增广矩阵通过行初等变换化为最简，则；阶梯阵②出对应同解方程组；三、线性方程组③移，利用自由未知数表示所有未知数方程组解地判定④示出基础解系定：⑤写通解≠无；非次线性方程组有唯一解；（解地情况：有无穷多组解；利判定定理特别地次线性方程组（结：只有零解；ααα.有非零解；（无穷多组解地求解方法和步骤：再特别，若为方阵，与次线性方程组相同≠只零解（唯解地解法：非零解有莱姆法则逆阵法消（等变换法齐次线性方程组四向（解地情况：．向量地定义数行列式）只有零解量实际上就是特殊地矩行阵和α地个线性表示列矩阵（）求线性表示表达式地方法地运算：矩阵施行行初等变换化为最简阶梯（加减、数乘运算（与矩阵运算相同阵，最后一列元素就是表示地系.（）向量内积量地线性相关性αβ…（性相与线性无关地定量长度设，√√√根若…不全，称线性相关向单位化；若…，全，称线性无关（）向量组地正交化（施密特方法）（判别方法：α，，线性无关，则①，，，α，线性相关；α，α，，，，线性无.α（αββ），②若有个维量，可用行列式判别：αβ（’β’）αββ’β）阶列式＝，线性相关（≠无），….行式太不好打了．性组合．极大无关组与向量组地秩（）定义若αα…，（义极大关组所含向量个数称为则称是向量组地一个线向量地秩性组合，或β可用向量组，，，地一个线性表