(完整版)太原理工大学研究生期末考试组合数学答案

填空(本题共20分，共10空，每空2分)1)三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有1200种不同的摆放方法。答案：5!答案：5!xC2=120052)在(5a]-2a2+3a3)6的展开式中，a”・a2・a33的系数是-81000。答案：丽答案：丽-52-(-2)-33=-810003)有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，共有n•2n-1+1种方案。六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有12种方案。來安C1-C1-C1=12答案：322从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320个。要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出604800种不同的节目单。答案.6!xC3x4!=6048002-(n!)2刀把n男n女排成一只男女相间的队伍，共有种排列方法；2-(n!)2/(2n)若围成一圆桌坐下，又有''''种方法。2n8)n个变量的布尔函数共有8)n个变量的布尔函数共有个互不相同的。9)把r个相异物体放入n个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为P(n+r-1,r)答案：n(n答案：n(n+1)(n+2).…(n+r-1)=(n+r-1)!(n-1)!=P(n+r-1,r)(本题10分)核反应堆中有a和B两种粒子，每秒钟内一个a粒子分裂成三个B粒子，而一个B粒子分裂成一个a粒子和两个B粒子。若在时刻t=0时，反应堆中只有一个a粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个a粒子？多少个B粒子？解：设t秒钟的a粒子数位at，B粒子数为bt,则a=bTOC\o"1-5"\h\ztt—1<b=3a+2btt—1t—1a=1,b=000a-btt—1<b-2b+3b(*)tt—1t—2ob—0,b—301(*)式的特征方程为x2—2x—3=0，解得L1r2=3，即bt=A1(—1>+A2°3A3^3代入初始值bo=0,b1=3，解得广一42一4TOC\o"1-5"\h\z/.b=—3-(—1)t+3-3/t4433a—b——_・(—1)t—1+・3t—1tt-144-l(31oo—1)4...a-3-l(31oo—1)41oo41oo3.(本题共10分，共2小题，每小题5分)设n-PaxPa…Pa”，P,P，…P是互不相同的素数，设求能除尽n的正整数数12n12n目为多少？解：每个能整除尽数n的正整数都可以选取每个素数pi从0到ai，即每个素数有a”］种选择，所以能整除n的正整数数目为(a1+1)(a2+1)…(a”+1)个。试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。n=Pa1Pa2・・・Pan证明：根据题①中结论，12””，能被(a1+1)(a2+1)…(a”+1)个

n2二P2aP2a…P2a(2d+l)(2d+1)…(2d+1)数整除，而1122nn能被12n(0<i<1)个数整除，2ai+1为奇数，所以乘积为奇数，证毕。(本题10分)证明等式求(1+X4+X8)100中X20项的系数。证明：0(1+X)2n=(1求(1+X4+X8)100中X20项的系数。证明：0(1+X)2n=(1+x)n•(1+X)n11丿12n)X2n12n丿1n\x++〔1丿1n\In丿Xn1n\1n\In丿l1丿比较n次方系数即可证。解：0(1+x4+x8)100+(x4+x8旦0Ck100(X4+X8)k•1100-kk-0分析(X4+X8)k的结构可知仅当k-3,4,5时有X20项k-3时，系数-C3•C2,TOC\o"1-5"\h\z1003k-4时，系数-C4•C3,1004k-5时，系数-C5•Co,1005三个系数相加即为所求。(本题10分)求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n位数，其中要求3和7出现次数为偶数。解：Ge(x)=(1+++•••+)3-(1+++…+)2TOC\o"1-5"\h\z1!2!2!4!ex+e-x、e2x+e-2x+2=e3x•()2=e3x•-24=—(ex+2e3x+e5x)=兰(1+2•3r+5r)—44r!r=0所以可以组成丄(1+2•3n+5n)个不同的n位数。4(本题10分)6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？TOC\o"1-5"\h\zR厂24111111解：P=r=1-_+-+-+6!1!2!3!4!5!6!=(720-C615!+C624!-C633!+C642!-C651!+1)/720=(720—6x120+15x24—20x6+15x2—6+1)/720=(720-720+360-120+30-6+1)/720=265/720沁0.368D1可以证明，当n比较大时，n沁沁0.36788.n!e(本题10分)求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1<x1<5，0<x2<7，4<x3<8，2<x4<6。。。1解：设y二x-1,y二x,y二x-4,y二x-2,11223344y+y+y+y二13,12340<y<4,0<y<7,0<y<4,0<y<4,1234‘13+4-1]‘16]‘16]J3若不附加有上届条件的根据公式应为二560.对于有上届的问题要作变换£二4-y£二7-y£二4-y£二4-y11,22,33,44,£>0,£>0,£>0,£>01234于是转为£+£+£+£二61234‘6+4-1](9、⑼一3丿整数解数目为二84.8.(本题10分)长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案)解：第一类置换：P=(1)(2)(3)(4)(5),1第二类置换：P绕OO翻转P=(15)(24)(3),12置换格式：个15,1个1122，/.l二(25+23)/2=20.试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？解：若木棒不可动，则5个对象任取2个对象染蓝色，方案数为10.但木棒可翻转，使得12和45,13和53,14和52,23和43为蓝色分别为同一种方案，此时不同方案数为6.12345O+22+22+22+329.(本题共10分，共2小题，每小题5分)①给出+•••+l1①给出+•••+l1丿In-1丿(mYm—n、=2n的组合意义。解：右边：m个球，从中取出n个放入两个盒子，n个球中每个球都有两种方法，得到可能的方案数。左边：第i项的意义是一个盒子中放i个，另一个盒子放n-i个，所有的方案数相加应该等于右边。②证明/n、+2②证明/n、+22X11丿/n、+32Xl2丿(n、+•••+l3丿/n、n2x二n(n+1)2n—2ln丿证明：在二项式(1证明：在二项式(1+x)n'n'+x+l1丿'n、Xnln丿的两端对X求导可得:n(1+x)n—1=+2l1丿(n、令x=1,即得式:l1丿x+3l2丿(n、+2再给式子：n(1+x)n-1二