考研数学公式手册随身看

(一)函数、极限、连 (二)一元函数微分 (四)向量代数和空间解析几 (一)行列 (三)向 一、高等数学(一)函数、极限、yf1幂函数yxR2yaxa0且a13对数函数ylogax(a0且a14三角函数:ysinxycosxytanx等5反三角函数:yarcsinxyarccosxyarctanx等初等函数：由常数C数列极限与函数极限的定义及其性1limf(x)Af(x0)f(x0)2limf(xAf(x0Aa(x),其中lima(x)设limf(x)A,又A0(或A0),则一个0当x(x0x0),且xx0时，f(x)0(或f(x无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷设lim（x)0,lim(x)lim 0,则(x)是比（x)高阶的无穷小lim ,则(x)是比（x)低阶的无穷小若lim c(c0),则(x)与（x)是同阶无穷小lim 1,则(x)与（x)是等价的无穷小若lim(x)c(c0k0,则(x)是（x)的kksinx 1cosx tan ln(1 (1x)n1 ex limf(xAlimg(xB.lim(f(x)g(x))ABlimf(x)g(x)ABlimf(x)A(B 的两个准则：单调有界准则和则，两个重要极且lim(xlim(x)A,则limf(xsin (2)lim(1x)x a0,naxnaxn1axa 重要公式：lim0 1 n0,nxbxb x limnn limarctanx limarctanx limarccotx limarccotx limex limex limxx (连续函数的有界性)设函数fx在ab上连续,则fx在ab上有界,即M0，对任xa,b,fxM(最值定理)设函数fx在ab上连续,则在abfx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得fmaxfx,a,bafminfx,a,ba(介值定理)若函数fx在ab上连续,是介于fafb(M与最小值m)之间的任一实数,则在b上至少一个,f.a(零点定理或根的存在性定理)设函数fx在ab上连续,fafb0,则在ab内至少一个,使得f0.a(二)一元函数微1导数定义f'(xlimf(x0xf(x0 f'(x0)limf(x)f(x0 x02f(xx0处的左、右导数分别定义为：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0),(xx x 右导数：f(x)limf(x0xf(x0limf(xf(x0 xTh1:f(xx0处可微f(xx0Th2:yf(xx0yf(xx0处Th3:f(x0存在f(x0f(x0设函数f(x)在xx0处可导，则f(x)在M(x0,y0处切线方程：y-y0f'(x0)(xx0法线方程:y-y (xx),f'(x) f'(x 0四则运算法则:设函数uu(xvv(xx(uv)u d(uv)du(uv)uv d(uv)udv(3)(u)vuuv(v du)vdu( yc（常数 y dyyx(为实数 yx dyxy yaxln dyaxln (ex) d(ex)y dy xlna xlna特例yln (lnx) d(lnx)1 ysin ycos d(sinx)cosycos ysin d(cosx)sinytan y sec2 d(tanx)sec2cos2ycot y csc2 d(cotx)csc2sin2ysec ysecxtan d(secx)secxtanycsc ycscxcot d(cscx)cscxcotyarcsin y d(arcsinx) 1 1yarccos y 1 1yarctan y d(arctanx) 1 1yarccot y d(arccotx) 1 1y yy yd(shx)d(chx)1反函数的运算法则:yf(xx的某邻域内单调连ydy dx2复合函数的运算法则:(xx可导,yf()((x)可导,yf((xx可导,且yf()(x)y公式法.F(xy0知dyFx(xy),F(xy F(x, y高阶导数，一阶微分形式的不变(ax)(n)axlnna(a(sinkx)(n)knsin(kxn2(coskx)(n)kncos(kxn2(ex)(n)e（4）(xm)(n)m(m-1)(m-n+1)xm-（5）(lnx)(n)(1)(n1)(n（6）莱布尼兹公式：若u(x,v(x均nn(uv)(n)cnu ，其中 =u， =i(i)(n-i f(xf(x0f(xf(x0f(xx0处可导,则有f(x0Th2罗尔定理)f(x在(a,b)内可导，则在(a,b)内一个， f()Th3拉格朗日中值定理)f(x在[ab上连续；(2)在(ab内可导；则在(ab内， f(b)f(a)f(bTh4柯西中值定理)f(xg(x在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导且f(x)，g(x)均存在，且g(x)0则在(a,b)内一个，使 f(b)f(a)f()g(b) g(法则Ⅰ0型)fxgx0limfx0limgx0;fxgxx0(x处可除外)gx0limfx存在(或). xxgfxfx lim xxgxxxgx法则I0型)fxgx0limfx0,limgx0X0,x 时,fxgx可导,gx0;limfx存在(或).xxgfxfx lim xxgxxxgx法则Ⅱ型)fxgxlimfxlimgx fxgxx0导(x处可除外)gx0limfx存在(或). xxglimfxlimfx同理法则II型)仿法则Ixxg xxg 泰勒公式:f(xx0处的某邻域内具有一个f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)2 f(n)(x0)(xx)nR 其 f(n1)( n1称为f(x)在点x处Rn(x)(n1)!(xx0 阶泰勒余项.x00，则n阶泰勒 f(nf(x)f(0)f(0)xf(0)x2 xnR f(n1)()n1，在0与之间.(1)式称为麦xRn(x)(n1)! e1xxx (n或1x1x21xno(xn sinxx1x3xnsinn xn1sin(n1) (n1)! 或 1 xx sin o(x) cosx11x2xncosn xn1cos(n1) (n1)! 1 1 x o(x) 1 1 n1 (1)nln(1x)x x x (n1)(1 1 1 ( o(x (1x)m1mxm(m1)x2m(m1)(mn1) m(m1)(mn1)xn1(1)mn1(n(1x)m1mxm(m1)x2m(m1)(mn1)xno(xnTh1f(x在(ab区间内可导，如果对x(a,bf'(x00Th3（取极值的第一充分条件）f(xx0f'(x00（f(xx0f'(x0(3)f'(xxx0f(x0不是极值Th4取极值的第二充分条件)f(xx0f''(x0，且f'(x00，则当f''(x00时f(x0为极大值；f''(x00f(x0为极小值.注：如果f''(x0)＝0，此方法失效. 若limf(x)b，或limf(x)b，则y yf(x的水平渐近线 若limf(x)或limf(x)则x yf(x的铅直渐近线 若alimf(x),blim[f(x)ax]， yaxb称为yf(x的斜渐近Th1凹凸性的判别定理If''(x0（f''(x0则f(x)在I上是凸的（或凹的）.Th21)x0f''(x0（f''(x不存在xx0f''(x变号，则(x0f(x0为拐点Th3拐点的判别定理2)f(xx0点的某邻域内有三阶导数，且f''(x)0，f'''(x)0，则(x0,f(x0为拐点dS1y'2曲率：曲线yf(x)在点(x,y)处的曲率k yy'2.xy,k['(t)2'2.k'(t)''(t)'(t)''(t)''(t)质kf(x)dxkf （k0为常数[f1(x)f2(x)fk(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfk求导：[f(x)dx]'f 或微分：df(x)dxf4F'(x)dxF(xC或dF(xF(xC（C是任意常数xkdx1xk1Ck11dx1 （k1dx2xC1dxlnx1xaxdx

axln

(a0,a edxecosxdxsinx sinxdxcosx 1dxsec2xdxtanx cos2 1dxcsc2xdxcotx sin21dxcscxdxlncscxcotxsin1dxsecxdxlnsecxtanxsecxtanxdxsecxtanxdxlncosx 1arctanxC

cscxcotxdxcscxcotxdxlnsinxdxarctanx1a2 11 arcsinx

arcsinxa2 dx1lnax dx1ln1xa2 a

1

1x2 lnx x2x2 lf(x)dx0[f(x)f f ffTaTf(x)dxTf(x)dx f 2 a2x2dx1a n1n 1 nn222,当n2sinnxdx2cosnxdx n1n nn231,当n为奇 ,n（5）-sinnxcosmxdx0sinnxcosmxdx0,n sinnxcosmxdx0sinnxcosmxdxcosnxcosmxdx2cosnxcosmxdx0,n 0,n定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关 af(x)dxaf(t)dtaf(u)du af(x)dxbfbadxb a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxa akf(x)dxkaf(x)dx(k为常数 af(x)dxaf(x)dxcf 比较定理：设f(x)g(x),x[a,b],则af(x)dxab 2.|af(x)dx|a|f(x)估值定理：设mf(xMx[ab其中mMbm(ba)af(x)dxM(b积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少一个b使af(x)dxbaf(f(1bf(x)dxba设函数fx）在[a，b]上连续，x[a，b]，则变上x且有F'(xdF(xd(xf(t)dt)f (推论1设F f(t)dt,则F'(x)f[(x)]( 推论2(x)f(t)dt)xf[(x)]'(xf[(x)]( (推论3 f(t)g(x)dt)' f (g f(t)dtg(x)f[(x)]Th2设f(x)在[a,b]上连续，x[a,bxaf(x)dt是f(x)在[a,b]上的一个原Th3牛顿-莱布尼茨公式:设f(x)在[a,b]上连续，F是f(x的原函数bf(x)dxF(x|bF(bF 1分部积分udvuvvduu，dv的原则：积分dv，求导简单者选为u设f(u)duF(u则f[(x)]'(x)dxf设u(x)f(u)duF(uCF[(x(t)在［，］上连续，且'(t)(a)a()b.并且当t在［，］ af(x)dxf[(t)]设（vx）在［a，b］上具有连续导函数u'(x),v'(x), u(x)v'(x)dxu(x)v(x)|av(x)u (1)a2b2 (2)a0,a1a(f(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2 f），（）f(xa2a2x2xaAdxAln|xa|Cxa dxA C(n1)(xa)n n1(xa)n1p 令x2u(x2pxq)n [(x)2 4 x dx (a (x2px 2(n1)(x2px )(x2px2（p24q0（1）无穷限的广义积分（无穷积分 f １.af(x)dx=limaf -f(x)dx=limaf f(x)dxf(x)dx f（2）函数的广义积分（瑕积分 f(x)dxlim f(x)dx,(当xb时，f(x 0 f(x)dxlim f 0 ３.af(x)dxlim f(x)dxlimcff(四)向量代数和空间 ，则 axiyjzk{x,y, axy 设有矢量{x,y,z}，{x,y,z}， 11 ab{x1x2,y1y2,z1z2 数乘运算矢量与一数量之积 =0,即为零矢 设{x,y,z}， 1 aa00,即与a xyz}xyz，则xxyyzz 11 2 a 1 1 1 一个矢量c cabsin(a,b) cacb，即c垂直于ab 成右手系.则称矢量与 b c 记cab xyz}xyz， 111 2 j yz xz xyabxy 11i11j1111 x xx 3,,，若先作，的叉积ab a 再与作点积()，则这样的数积称为矢量，，的 ab 混合积，记为(a,bc)，即(a,bc)(abxyz}xyzxyz 11 2 x1y1则(abcx2y2x3y3两向量垂直、平行的条件，xyz}xyzxyz 11 2 3量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向 （1）abab0x1x2y1y2z1z20 （2）// yza a （3）不共线不全为零的数使 （4）与 x1x2y1y2ab) x2y2z2x2y2z （5），，共面不全为零的数,,v，使 v或者(a,bc) . a0 , , x2y2z x2y2z x2y2z2cos ,cos ,cos x2y2 x2y2 x2y24单位向量的方向余弦：显然a0coscoscoscos2cos2cos2曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直一般式方程AxByCzD0nAB,C例如平面AxCzD0y轴平面的点法式方程A(xx0Byy0C(zz0xx1yy1z三点式方程x2x1y2y1z2x3x1y3y1z3M1x1,y1z1M2x2y2z2M3x3y3z3为平面上的三个 xyz1，a,b,c分别为平面上坐标轴 (a,0,0),(0,b,0),(0,0, AxByCxD0平面 平面1与平面2的法矢量分别为n1{A1 jn2A2B2C2}sn1n2A1B1A2B2xx0yy0z M(xyz 0 xx1yy1zx2 y2 z2M1x1,y1z1)M2x2y2z2为直线上的两参数式方程yy M(x,y,z)为直线上已zz0 0 设有两个平面：平面1：A1xB1yC1zD10平面2A2xB2yC2zD2平面//平面A1B1 平面1平面2A1A2B1B2C1C2平面1与平面2的夹角，由下式确cos A1A2B1B2A2B2 A2B2 Lxx0yy0z 平面1A1xB1yC1zD1L//Al LAB L与的夹角sin AlBmCn A2B2C2l2m2n2L:xx1yy1z Lxx2yy2z L//Ll1m1 L1L2l1l2m1m2n1n2L1L2的夹角，由下式确cos l1l2m1m2 l2m2n2l2m2 点到平面的距离M(x0y0z0到平AxByCzD0的距离dAx0By0Cz0A2B2点到直线的距离M(x0y0z0到直L:xx1yy1zz1 x0x1y0y1z0z1M1M0M1P d M1 l2m2准线为fx,y0,母线z fx,y0准线为xz0,母线y x,z0 y,z0准线为fx,yz0,母线的方向矢量为lm首先,在准线上任取一点x,y,z,则过点x,y,z为XxYyZz 其中X,YZ为母线上任一点的流动坐标消去方程组fx,y,zgx,y,zX Y Z x2y22 a2b2 ya2b2方程x22py,pxzyx2y2z2 a,bc均为正数zc yx a,bc均为正数 xyz a,bc均为正数x2y2 2a,b,p为正数面x2y2 2a,b,p均为正数x2y2z2 a,bc为正数z x(五)多元函数微分zf(xy连续，可导（两偏导存在）可导可微zf'(x,y)xf'(x,lim 是否为0 Th1(求偏导与次序无关定理设zf(xy)的两个混合偏导数fxyfx Th2(可微与偏导存在的关系定理)若zf(x,y)在P(x,点处可微,则在该点处z,z ,且有dzz z必存 x Th3(偏导存在与可微的关系定理若zf(xy)的两个偏导zz在P(xx上的某领域内存在,且在P(x,y)连续则zf(xy)在P(xy)点处可多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯zzuz设zf(u,v),u(x,y),v(x,y),则 u v z z yu v设zf(uvu(xv则dzzduzdv称之为zu v设zf(xuvu(xyv(xzffuf 则 u v f f 0 u v其中间变量用数字1，2，3……表示更简洁.2设F(xy)0,则dyF'x(x F'y(x,F(xyz)0,则zF'x(xyz,zF'y(xy F'z(x,y,z) F'z(x,y,设由方程组 确定的隐函数yy(x),z则dydzdydzdx dxF'F'dyF'dz F'dyF'dzF' y z y z G'G' G' G' G' G y z y z Th1zf(xy)M0x0y0)处可微，则f(xy)在点M0x0y0沿任意方向lcoscos)f(x0,y0)f(x0,y0)cosf(x0,y0)cos lcos,sin是l的极角，[0,2f(x0y0f(x0y0cosf(x0y0 Th2设三元函数uf(xyzM0x0y0z0uf(xyzM0x0y0z0lcoscoscosf(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0)cosf(x0,y0,z0)cos f(x0,y0)(f(x0,y0),f(x0,y0))(cos,cos grad(f(x0,y0))lgradf(x0,y0)cosgrad(f(x0,y0gradf(xyf(x0y0)f(x0y0)0 zf(xyM0的梯度(向量f(x0y0随llgradf(x0y0 grad(f(x0,y0gradf(x0y0曲线yy(t)在(xyztz 0 xx0yy0z：x'(t0 y'(t0 z'(t0G(x,y,z)（x y _z(F, (F, (F, (z, (x, (F,G)（xx)(F, (yy)(F, (zz)(y, (z, (x, 设曲面为显示方程zf(xy),则在上一点P(x0,y0z0处z(xxzyyzz x y法线方程：xx0yy0z x p切平面方程：F'x(xx0Fyyy0Fz(zz00 法线xx0yy0z F'x F'y F'zP(x0y0点的任一点Q(x,y)恒f(xyf(x0y0或f(x0y0则称f(x0y0为f(xy)(极大值1取极值的必要条件设zf(xy)在P(x0y0f'(x,y)P(x,y)是zf(x,y)的极值点，则 fy(x0,y0)Th（设zf(xy)在P(x0y0点的连续的二阶偏导数,且f'x(x0y00,f'y(x0y0[f"(x,y)]2f"2(x,y)f"2(x,y)xy 则P(x0y0是zf(xy)的一个极若f2xy0(或f"2xy0),则P(xy) 若f2xy0(或f"2xy0),则P(xy) 求出zf(xy)的驻点（x0y0zf(x,y令F(x,y)=f(x,解方程组f'(x,y)'(x,y) 求驻点(x,y (x,y)由条件(x,y,z)=0,求uf(x,y,z)的极值。解题程序：令F（xyz（xyz);f'y(x,y,z)'y(x,y,z)解方程组f'(xyz'(xyz 若（x0y0z0为其解f(x0y0z0即为f(x,yz)的极值（若存在的话以下1）2(六)多元函数积分分的概1nI=f(x,y)d=limf(i,i)i,其中dmaxdid i di为i的直径（i1当zf(x,y0,(x,yD时，而二重积分I表示以zf(xnI=F(xyz)dvlimf(i,i,i)vi其中dmaxdid i di为vi的直径（i1,fx，y）d=kf(x,y)d,k为常 [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x, nf(xy)df(xy)d其中DiD i1D若在D上恒有f(xyg(xy),则f(xy)dg(x A为DmAf(xy)dMAD,D则二重积分f(xD0,f关于y为奇函数，即f(xy)f(x2f(xy)df关于y为偶函数，即f(xyf(x则二重积分f(x,y)dD0,f关于x的奇函数，即f(xyf(x2f(xy)d,f关于x为偶函数，即f(xyf(x则二重积分f(xD0,f关于x,y的奇函数，即f(xyf(x2f(xy)df关于x，y为偶函数，即f(xyf(x4）如果D关于直线yx对称，则f(xy)df(x 注意到二重积分积分域Df(xy的Df(xy的数，则LPdxQdyQP,(x,y) 存在函数u(x,y),(x,yDdu(x,y)PdxQdy(x,u(x,y)(x,y)PdxD 或者(QP)dxdyPdxD 设)(PQR)dVPdydzQdzdxRdxdy (PQR)dV（PcosQcosRcos 这里S(即取外法向)coscoscosS上点(xyz处的外法向量的方向余弦.2斯托克斯公式设为分段光滑的又向闭曲线，S是以P(xyz),Q(xyzR(xyzS的一个空间区(R )dydz )dxdy S dydzdzdx( PdxQdyRdzS (RQ)cosPR)cosQP)cos S PdxQdyAP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)kP,QRP(xyz点处的散度为divAxy 设有矢量场AP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)krotAjikik常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必1级数un 若unsvn则(unvn)s 若un收敛，vn发散,则(unvn)发散 若unvn均发散,则(unvn)敛散性不定 设级数un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数几何级数p级数以及他们的收敛性，正项级数收敛性的判别正项级数un（un0）比较判敛法：设0unvn, un收敛，则vn收 un发散，则vn发 比较法的极限形式：设un及vn 且limunA(vn n 若0A,且vn收敛，则un 若0A,且vn发散，则un a,|r|等比级数arn11 |r| p级数np发散，p1 (3)比值判别法（达朗贝尔准则适用于通项un中含有设un0,n1,2对于un 时，n 若limun11 n 1(1)n1uu0 (1)unun1,(n1,2,);(2)limun1aaxax2axna 收敛半径，若liman1,则R1n lim|un1(x|(x)(或limn|u(x|nn|un(x) 解不等式方程(x)1,求出un(x)的收敛区间(a, () （4）写出un(x) 设axnf(xbxng(x R1R2Rmin(R1R2则对x(RR), axnbxn(ab)xnf(xg(x且在（- f设b00,则在x0的足够小邻域f(x)aaxaxn CxCx2Cxn bbxbxn Ca0,Ca1b0a0b1 nfn axn可逐项微分，且f'=(axn (anxn)'nanxn1 f (xatndt) anxn1 n0 ff(n)(x f"(x级数 0(xx)nf(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 f(n)(x 0(xx)n ff(n)(0) f xf(0)f'(0)x 2!x (0)xnf(n)(x n!0(xx0收敛于f(x)的充分条件limRn(x其中R(x) f(n1)[x(xx)](xx)n1,00 (n 11uu2unun,(1,1)1u 11uu2(1)nun(1)nun,(1,1)1u eu1uu2un n0 n nsinuu(1) (1) (2n1)! (2n1)! n ncosu12!4!(1)(2n)!(1)(2n),(, n n(1u)a1aua(a1)u2a(a1)(an1)un 级数，狄利克雷定a=1f(x)cosnxdx12f(x)cosnxdx,(n0,1,n b1f(x)sinnxdx12f(x)sinnxdx,(n1, 0 f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数a (acosnxbsin120 称为f(x)的傅立叶级数，记为f(x)a (acosnxbsina1lf(xcosnxdx,(n0,1,2) l b1lf(x)sinnxdx,(n0,1, l 为系数的三角级数2a0 (ancoslxbnsinl 称为f(x)的傅立叶级数，记为f(x)2a0 (ncoslxnsinl 3狄里赫莱收敛定理：设函数f(x)在[-,]上满足条件除有限个第一类间断点外都连续只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数在[-，]上收敛，且 f(x),x为f(x)的连续点；0(acosxbsinnx1(x0f(x0x为fx）的第一类间[ 1[f(0)f(0)],x [0,l]的正弦级数与余弦f(x为[0,lF(xf(x0x f(x~a0acosnx（f(x),lx 数a2lf(xcosnxdx l f(x为[0,lF(xf(x0x F(x除x=0外在区间[,f(x),lxf(x~bsinnx（正弦级数 b2lf(x)sinnxdx l (八)常微分方程常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导f1x)g1y)dxf2x)g2y)dygyf(x0，得f1(x)dxg2ydy f g( f1(x)dxg2(y)dyCf2(x) g1(y)程yfyx解法：令uyyuxyuxdu uxduf(u) dx lnxC f(u)u x f(u)u可化为齐次型的方程dyfa1xb1yc1 axby 2解法：(1)当c1c20abydyfa1xb1yf 1xgy属于 axby y 2 a2 x(2)a1b10,a1b1 dyf(a2xb2y)c1g(axby) axbyc 2axbyuduabf(u属于 (3)．a1b10,c,c不全为 解方程组a1xb1yc1 1 axbyc 求交点(,xX,yY则原方程dyX属于 3y'p(xyy'p(xy0yCepyC(x)epp( p( C q(x)C(x) dx y[q(x)ep(x)dxdxC]ep(y'p(xyq(xyn，其中n解法：令Zy1n，则方程 dzp(x)zq(x)1ndz1np(x)z(1n)q(xM(xy)dxN(xy)dy0MN.通解为xM(x,y)dxyN(x,y)dy yp(xyq(xyf (8.1)其中p(xq(x),f(x)均为连1y1xy2xyp(xyq(xy0(8.2)y(xy(x线性无关(y1(x(常数，则(8.2) y2解为y(x)C1y1xC2y2y1x)y2x)为相应齐次方程(8.2)的特)y(xyxCy(xCy(x，其中C,C为任意常数1 2 1二阶常系数线性齐次方程y''py'qy (1)其中p,当1,2为相异的特征根时，方程(1)y(x)CexCe 当y(xCC 当i（复根）y(x)ex(CcosxCsin 2n阶常系数齐次线性方程y(n)py(n1)py(n2)py0(＊) np(n1)p(n2)p 若1,2,,n是个n相异实根，则方程(＊)的通解y(x)CexCexC 0k(k重实根，则(＊)(CCxCxk1)e 若i为特征方程的k(2kn重共轭复根，则(＊)的通ex[(CCxCxk1)cosx(DDxDxk1)sin 简单的二阶常系数非奇次线性微分方程，欧拉方程，微分方程简1二阶常系数线性非齐次方程y''py'qyf(x)(2)(1)．求对应齐次方程的通解Y(x)(2)．求出(2)的特解y*(x)(3)．方程(2)yY(xy)2形如xny(n)axn1y(n1) xyay0的方程成为 二、线性代数(一)行列行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）设A(a ,则aAaAaAA,iij i1 i2j in 0,iaAaAaAA,i1i1 2i2 ni AA*A*AAE,其 A A n1 AA(A)(A n2 AA nnAB为nABABBAABAB|kA|kn|A|A为n设A为n阶方阵，则|AT||A|;|A1||A|1(若A可逆）|A*||A|n1（nA A |A||B|，A,B为方阵，OB OB 1 (6)范德蒙行列式D x2 (xx 1jin xn1xn1 设A是ni(i1,2nA的nn|A|i(二)矩阵矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵 a12a1n 矩阵：mn个数a排成m行n列的表格 2n mnA,或(aij)mn.若mAn阶矩阵或n矩阵CcijaijbijAB的和，记AB2Aaijmnkmn矩阵(kaij称为数kA的数乘，记为kA3Aaij是mn矩阵，Bbij是ns那么ms矩阵Ccijncijai1b1jai2b2jainbnjaikbkj称为A与B的乘积的k积，记为C1)(AT)TA,(AB)TBTAT,(kA)TkAT,(AB)TAT2)(A1)1AAB)1B1A1kA)11A1k(AB)1A1B13)(A*)*|A|n2A(n3)，(AB)*B*(kA)*kn1A*(n2)但(AB)*A*B*4)(A1)T(AT)1,(A1)*(A*)1,(A*)T(ATAA*A*A|A||A*||A|n1(n2),(kA)*kn1A*,(A*)*|A|n2A(nAA*|A|A1A*)*1|AAn阶方阵，则rA*1,rAn0,r(A)n3A1的结论A可逆ABE|A|0;rA2）r(Amn)min(m,n);3）A0r(A)14）r(AB)r(A)r(Ar(Bnr(AB)min(r(Ar(B)),特别若ABr(Ar(B)若A1存在r(AB) 若B1存r(AB)r(Amnnr(ABr(Ams)nr(AB)r(AmsnAx0只有零2AO OOB B1 AC OB AO O B B1 A B1BO O 这里A，B (三)向1,2,,s线性相关至少有一个向量可以用其余向若1,2,,s线性无关，1,2,,s，线性相关可以由1,2,,s惟一线性表示可以由1,2,,sr(1,2,,s)r(1,2,,s,nn1,2n线性无关|[1，2，，n|nn维向量1,2n|[1,2,,n]|n+1n维向量线性相关③若1,2S线性无关，则添加分量后仍线性无关；1,2,,s线性相关至少有一个向量可以用其余向若1,2,,s线性无关，1,2,,s，线性相关可以由1,2,,s惟一线性表示可以由1,2,,sr(1,2,,s)r(1,2,,s,1设rAmnrArAA的行列向量组的线性rAmn)rmA的行向量组线性无关rAmn)rmA的行向量组线性相关rAmn)rnAn维向量若1,2,,n12,n是向量空间V的两组基，则基c11c12c1n c(,,,)(,,,) 2n(,,,1 1 n 1 nn其中C是可逆矩阵，称为由基1,2,,n12,X(xx,x)TYyy,y)T1 1 x11x22xnny11y22其中C是从基1,2,,n12,n向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方(abababT1 2 n 若1,2,,s12,s使其两两正i仅是1,2,,i的线性组合(i12,ni单位化，记i，则,,,是规范正交向量组.其中 1 i11(2,1) (,) (3,1)(3,2) (,) (,) (s,1)(s,2)(s,s1) (,)1(,) , )1 s s规范正交基，正交(四)线性方程组a11x1a12x2a1nxnaxaxax线性方程组21 22 2n 2，如果系数行列an1x1an2x2annxnDA0xD1xD2,xDnDDj nA可逆Ax0只有零解bAxb总有唯r(AmnnAx0只有零解A为mn矩阵，若r(AmnmAxbr(A)r(Ab)mAxb有解x1x2xsAxb的解，则k1x1k2x2ksxs当k1k2ks1时仍为Axb的解；但当k1k2ks0时，则为Ax0的解.x1x2Axb的解；2xxx) Ax0的解Axb无解r(A1r(A)b不能由A的列向量1,2,,n线性表示.1,2,,tAx0Ax0的任一解都可以由1,2,,t线性表出k11k22kttAx0的通解，其中k1k2kt是任意(五)矩阵的特征值和特征向量1设A,kab2mf(1|A|且对应特征向量相同（ 2若12,nA的n个特征值，则iaii,i|Ai i i从而|A|0A没有特征值3设12,sAs1,2,,sk11k22kssAnkAnkAnkAnknknk 11 22 ss1ABATBT,A1B1,A*B |A||B|,Aiibii,r(A)i i(3|EA||EB|对AnA可对角化对每个kii，有nr(iEAA可对角化，则由P1AP,APP1，从而AnPn若AB,C AO O，则OC AB，则f(Af(B),fA)f(B)，其fA为计算)＝秩(A)AB(1)AT(2A1B1若A，B均可逆(3)AkBk(k为正整数(4)EAEB,从而AB(6秩(A秩(B),EAEBA、B(六)二次1n个变x1x2xnnf(x1x2xnaijxiyj，其aijaji(i,j1,2,ni1j称为n元二次型，简称二次型.x1 a12a1nx ax2A 2nf n n nn向量形式fxTAx其中A称为二次型矩阵，因为aijaji(i,j1,2,nA的秩称为二次型仅含平方项的，其正负惯性指数与所选变换无关，fxx,xxTAxxCy1 rfxTAxyTCTACydy2iif(rn)的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是个数由rA的秩)唯一确定.任一实二次型f都可经过合同变换化为规范形fz2z2z2 z2，其中r为A的秩，p 1A正定kA(k0ATA1A*|A|0Aaii0，且|Aii|2A，B正定A+B正定，但AB，BA3A正定f(xxTAx0,x可逆阵PAPT 存在正交矩阵Q，使QTAQQ1AQ n其中0,i12,n正定kA(k0ATA1A*i|A|0,Aaii0，且|Aii|三、概率论与数理统(一)随机事件和概(1)AB，若AB发生.(2)相等事件：A=BABBAA+B，AAB，A(6)互斥事件（互不相容：AB=.AB,且AB,记AB或BABBA，ABB:nAiAj，ij1概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定义如下： i iP(A)1P(P(AB)P(A)P(AB)P(AP(BP(ABBAP(AB)P(AP(BP(B)P(AP(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC) A1,A2An两两互斥，则P(Ai(PAi :几何型概率:样本空间为欧氏空间中的一个区域，PAA的度量（长度、面积、体积概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试（A）， P（A）P(A|Bi)P(Bi),BiBj,ij,Bii iBayesP(B|A)PA|Bj)P(Bj),j1,2, P(A|Bi)P(BiiP(A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A2)P(A1|A2P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2AB相互独立P(AB)P(AB)P(A)P(B); P(BC)P(B)P(C);P(AC)P(A)P(C);P(AB) P(BC)P(AC)P( P(ABC)3独立重复试验:n次，若每次实验中事件Apn次试验中Ak次的概率为：P(Xk)Ckpk(1p)nknP(A)1P(P(AB)P(A)P(B)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB),P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)满足概率的所有性质.P(A1|B1P(A1|P(A1A2|B)P(A1|B)P(A2|B)P(A1A2|B)P(A1A2|B)P(A1|B)P(A2|A1B) A1A2AnP(Ai)PAii i P(Ai)(1P(Aii iAB互逆A与B互斥，但反之不成立，A与B互斥（或互逆）且均非零概率事件A与B不独立.(二)随量及其概率分布随随量及概率分布:取值带有随机性的变量，严格地说F(xP(Xxx性质：(1)0F(x) (2)F(x)单调不(3)右连续F(x0) (4)F()0,F()P(Xxi)pi,i1,2,, pi0,piif(xf(x)f(x)dxxx为f(x)的连续点，则f(x)F'(x)分布函数F(x)f随10-1分布P(Xkpk(1p)1kkP(Xk)Ckpk(1p)nk,k0,1,,nkP(Xk) e,0,k0,1,k1,axU（a，b(x(x) ,0,xe2ex,x0,E():f(x几何分布GpP(Xk(1p)k1p0p1,k1,CkH(N,M,n):P(Xk)MNM,k0,1,,min(n,MNP(Xx1pi,Yg(XP(Yyj)P(Xxig(x)X~fX(x),Yg(xFy(y)P(Yy)P(g(X)y) fx(x)dxg(x)fY(y)F'Y(X~N(0,1)(0)1,(0)1 (a)P(Xa)X~N(,2X~N(0,1)且PXaa X~E()P(Xst|Xs)P(XX~G(p)P(Xmk|Xm)P(X离散型随量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随(三)随量及其分布随联合分布为F(x,y)P(Xx,Yy) P{Xxi,Yyj}pij;i,j1,2, pipij,i1,jpjpij,j1,iP{Xx|Yy} jP{Yy|Xx} 1f(xyf(x,y)f(x,y)dxdy 2F(xyf(u fX(x)f(x, fY(y)f(x, (x|y)f(x, (y|x)f(x,X f( f 随1,(x,y)(xyU(D),f(xy) f(x,y) 11 (x (x)(y (y)2 2 22(12 1 布XY的相互独立F(xyFX(x)FYypijpipj(离散型）f(x,yfX(xfYy)(连续型XYXY0时，称X和Y不相关，否则称X和Y相关P(Xxi,YyipijZg(X,Y) P(Xxi,Yyjg(x,y)(X,Yf(xyZg(X,Y)Fz(z)Pg(X,Y)z f(x,y)dxdy，fz(z)F'zg(x,y) fX(x)f(x, fY(y)f(x,P(X,Y)Df(x,D) ①X~N(,2),Y~N(,2 ②X与Y相互独立0，即X与Y不相关③CXCY~N(CC,C22C222CC 1 2 1 2 121N(1(y),2(12 2N(2(x),2(12 1若X与YN(,2),N(,2 则(X,Y)~N(,2,2 CXCY~N(CC,C22C22 1 2 1 2若X与Yf(x)和g(x为连续函数，则f(X)与g(Y)也相互独立.(四)随量的数字特随的数学期望（均PXxipiE(Xxipii和标准差X~f(x),E(X)xf(1)E(C)C,E[E(X)]E(X(2)E(C1XC2Y)C1E(X)C2E(Y若X和YE(XY)EX)E(YE(XY)2E(X2)E(Y22D(XEXE(X)2E(X2EX标准差：DX)DXxEX)2 i 5DXxEX)fD(C)0,D[E(X)]0,D[D(X)]XYD(XYD(XD(YD(CXC)C2D(X D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X)D(Y)2D(X)D(X)E(XC)2,CE(XD(X)0PXC随函数的数学期望，矩、协方差，相关(1)对于函数YXP{XxipiE(Yg(xipiXiX~f(xE(Y)g(xf(2)Zg(X,Y);(X,Y)~P{Xxi,Yyj}pijE(Z)g(xi,yj) (X,Y)~f(x,y);E(Z)g(x,y)f(x,协方差Cov(X,Y)E(XE(X)(YE(Y相关系数 Cov(X,Y ,k阶原点矩E(Xk) D(X)D(Yk阶中心矩E[XEX)]kCov(X,Y)Cov(Y,XCov(aX,bY)abCov(Y,XCov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y(X,Y)(X,Y)1P(YaXb)1,其中a(X,Y)1P(YaXb)1,其中a（1）D(X)E(X2)E2(XCov(X,Y)E(XY)E(X)E(YX,Y)1,(X,Y)1P(YaXb)1,其中a(X,Y)1P(YaXb)1,其中a(X,Y)Cov(X,Y)E(X,Y)E(X)E(YD(XY)D(X)D(YD(XY)D(X)D(Y注：XY5个条件中任何一个成立的充分条(五)大数定律和中心极限定理（ChebyP|XE(X)|1D(XE(XD(X2(i12,则对于任意正数 limP1nX nni 正数，有limP1nXp nni X1X2Xn,相互独立同分布，EXi,i1,2,意正数，有limP1nX nni 拉设n~B(np),（X1X2Xn0-1nnXi）inp limP x e2nnp(1 X1X2Xn,E(Xi),D(Xi)(0)i1,2 t则limP x e2n (六)数理统计的基本概念总体：研究对象的全体，它是一个随量，用X表Xn个相互独立且与总体同分布的随量X1,X2,Xn,称为容量为n的统计量：设X1X2Xn,是来自总体X的一个样本，g(X1X2,Xn)）是样本的连续函数，且g()1XnXi样本方差：21 n ( Xi 1 nXi, i样本k阶中心矩 1 n( X), i2分布：2X2X2X2~2(n，其XXX t分布：T ~t(n)其中X~N(0,1),Y~2(n),且 Y/F分布：FXn1~F(nn，其中X~2(n),Y~2(nY/ 1 2P(XxxX的1XXXN(,2 X1XS21XX2, n i i XX~N(, 或 ~N / 1 2(XiX)~(ni1 (X)2~2 iX~t(nSn（1）2~2(nE(2(nnD(2(n（2）对于T~t(n)，有E(T)0,D(T) n(n2)n（3）F~F(mn)1~F(n,m), (m,n) a (n,1a/E(X)E(X),E(S2)D(X),D(X)D(Xn(七)参数概1ˆ为的矩估计，g（x）为连续函数，则g（ˆ）g（）法E(XE(XE(S2D(XXS2EX),DX)的无偏估计量),5E(ˆ)D(ˆ)0(n)则ˆ为