2019年湖南省中考数学压轴题汇编

第第页共27页2019年湖南省中考数学压轴题汇编1.（2019・长沙）如图，抛物线y=ax2+6ax（a为常数，a>0）与x轴交于O,A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（-3<t<0）,连接BD并延长与过O,A，B三点的OP相交于点C.（1）求点A的坐标；（2）过点C作OP的切线CE交x轴于点E.如图1,求证：CE=DE；如图2,连接AC，BE，BO，当a=亘，ZCAE=ZOBE时，求丄—丄的值.2.(2019•长沙)已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b,c为常数).若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b,c的值；若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；在(1)的条件下，存在正实数m,n(m<n),当mWxWn时，恰好求m，n的值.3.（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）.四条边成比例的两个凸四边形相似；（—命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）两个大小不同的正方形相似.（命题）(2)如图1,在四边形ABCD和四边形ABCD中，ZABC=ZABC，上BCD=ZBCD，AB__BC_AB__BC_CDAB一BC一CD.求证：四边形ABCD与四边形ABCD相似.1111111111（3）如图2,四边形ABCD中，AB//CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF//AB分别交AD，BC于点E，F.记四边形ABFE的面积为S，四边形EFCD的面积为，若i2S四边形ABFE与四边形EFCD相似，求r的值.S4.（2019・株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a>0）（1）若a=1,b=—2,c=—1求该二次函数图象的顶点坐标；定义:对于二次函数y=px2+qx+r（p丰0），满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”求证：二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”（2）设b=2c3,如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x，0）,B（x，0）,其中x<0，x>0，与y轴相交于点C，1212连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC=OD，又点E的坐标为（1,0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足ZAFC=ZABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点p，若££=，求二次函数的表达式.PA（5a2+1V(2019•株洲)四边形ABCD是OO的圆内接四边形，线段AB是OO的直径，连结AC、BD.点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ZACH=ZCBD，AD=CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P.求证：四边形ADCH是平行四边形；(2)若AC=BC，PB八5PD，AB+CD=2(,5+1)求证：ADHC为等腰直角三角形;求CH的长度.(2019•株洲)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，等腰AOAB的边OB与反比例函数y=—(m>0)的图象相交于点C，其中OB=AB，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为x(2,4),过点C作CH丄x轴于点H.已知一次函数的图象过点O,B，求该一次函数的表达式；若点P是线段AB上的一点，满足OC=<3AP，过点P作PQ丄x轴于点Q，连结OP，记AOPQ的面积为S，设AQ=t，T=OH2-SAOPQAOPQ用t表示T(不需要写出t的取值范围)；当T取最小值时，求m的值.7.(2019•湘潭)如图一，抛物线y=ax2+bx+c过A(-1,0)B(3.0)、C(0=3)三点求该抛物线的解析式；(2)P(x，儿)、Q(4,y)两点均在该抛物线上，若y<y，求P点横坐标x的取值范围;1121213)如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求AFMN周长的最小值.8.（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD,AD=5点,CD=5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN.（1）求ACAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使AAMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由.ZMBN的大小是否改变？若不改变，请求出ZMBN的大小；若改变，请说明理由.（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度.EEXA遇二）9.（2019•衡阳）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（—1,0）和点B（3,0）,与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB.请问：AMBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2019・衡阳)如图，在等边AABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为t(s).过点P作PE丄AC于E，连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.当t为何值时，ABPQ为直角三角形；是否存在某一时刻t，使点F在ZABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在,请说明理由；求DE的长；取线段BC的中点M，连接PM，将ABPM沿直线PM翻折，得△BPM，连接AB，当t为何值时，AB，的值最小？并求出最小值.81•若存在，请直接写出些的動81•若存在，请直接写出些的動（2019•邵阳）如图1,已知OO外一点P向OO作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交OO于点B,连接AO并延长交OO于点C,过点C作CD丄PB,分别交PB于点E,交OO于点D，连接AD.（1）求证：AAPO〜ADCA；（2）如图2,当AD=AO时①求ZP的度数；②连接AB，在OO上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形值；若不存在，请说明理由.（2019•邵阳）如图，二次函数y=-3x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8,0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线儿=m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分1别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）.过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.（1）如图1,求证：BE=BF；（2）特例感知：如图2,若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE=a，CF=b.如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.（不要求写证明过程）1714.（2019•岳阳）如图1,AAOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F:y二-x2+-x的133图象上，点A的横坐标为-4，点B的纵坐标为-2.（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将AAOB绕点O逆时针旋转90。得到△AOB'，抛物线F:y=ax2+bx+4经过A，、B2两点，已知点M为抛物线F的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接2OM、AM，求△OA'M的面积；（3）如图2,延长OB'交抛物线F于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以2A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似•若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请（2019常德）在等腰三角形ABC中，ABAC,作CMAB交AB于点M,BNAC交AC于点N.（1）在图1中，求证：BMCCNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE//AB交CM于点E，作PF//AC交BN于点F,求证：PEPFBM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE//AB交CM的延长线于点E,作PF//AC交NB的延长线于点F，求证：AM・PFOM・BNAM・PE.團1图203（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（l,4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（-1,0）.（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使APNC的面积是矩形MNHG面积的—?若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由.167wM7wM4n0G\1八\J!°备用园\17.(2019•张家界)已知抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)过点A(l,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,OC=3.求抛物线的解析式及顶点D的坐标；过点A作AM丄BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当APBC面积最大时，求点P的坐标;若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+1QC是否存在最小值？若存在，求岀这个2>最小值；若不存在，请说明理由.18.(2019•郴州)如图1,矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与A,B重合)，把AADE沿DE翻折，点A的对应点为A，延长EA交直线DC于点F，再把ZBEF折叠，使点B的11对应点B落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.1(1)求证：△ADEs△BEH；11如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A恰好落在直线MN上,试判断ADEF1的形状，并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，点G为ADEF内一点，且ZDGF=150。，试探究DG，EG,FG的数量关系.CHCH19.(2019•郴州)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(-3,0),B(l,0)两点，与y轴交于点C.求抛物线的表达式及顶点D的坐标；点F是线段AD上一个动点.如图1,设k=AF，当k为何值时，CF=1AD？AD2如图2,以A，F，O为顶点的三角形是否与AABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由.20.（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有RtAAOB,O为坐标原点，OB=1,tanZABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90。，得到RtACOD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点.（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l:y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点.①若S=2，求k的值;APMN证明：无论k为何值，APMN恒为直角三角形；当直线l绕着定点Q旋转时，APMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.（2019•怀化）如图，A、B、C、D、E是OO上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算ZCAD的度数；（2）连接AE，证明：AE=ME；（3）求证：ME2=BM・BE.(2019•娄底)如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足AE=CG,AH=CF.求证：△AEH^^CGF；试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由.23.(2019•娄底)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,-3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.求抛物线的解析式；当点P在直线OD下方时，求APOD面积的最大值.24.（2019•永州）（1）如图1,在平行四边形ABCD中，zA=30。，AB=6,AD=8,将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽.（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2—1所示剪开，恰好能拼成如图2—2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7,宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3—1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3—2所示的图形，得到一个长为9,宽为4的矩形（面积为36）.问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由.1临北1（卸-L]1临北1（卸-L]25.(2019湘西州)如图，抛物线y=ax2+bx(a>0)过点E(8,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左侧)，点C、D在抛物线上，ZBAD的平分线AM交BC于点M,点N是CD的中点，已知OA=2,且OA：AD=1：3.求抛物线的解析式；F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四