高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学学案高中数必五知识汇第一章解三角形一、知点总结正弦定:ac1．正弦定理:(R三角形外接圆的半径).sinsinBC步骤1.证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到

asinin

同理，在△ABCc中，sinsinb步骤2.ac证明：RsinsinBC如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为径圆周角是直,所∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.c所sin2Rac故RsinsinBC2.弦定理的一些变式：aciiiA,sinB；2R2RbRbsin）3．两类正弦定理解三角形的问题：

bcsinB

R已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）4.ABC中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知和角A，则由余弦定理得即可得出关于c的方程

2

bAc

2

2

分析该方程的解的情况即三角形解的情况△=0,则三角形有一解△>0则三角形有两解△<0则三角形无解余弦定:第页共页1111高中数学学案22bccosA1．余弦定理：

accos

c

C222bca22.推论：Bac

.

cos

2

ab

2角C对边，则：①a

2

2

2

，C；a2，C；a22，．3.两类余弦定理解三角形的问题）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.面积公:已知三角形的三边为a,b,c,1.Sabr(a)（其r为三角形内切圆半径）222.设p

(ab),S

p(pa)()()(伦公式1例：已知三角形的三边为、、cp()，求证：2（1）三角形的面积S

p(p)(p)(p)；（2r为三角形的内切圆半径，r

(p)p（3）把边BC、CA、AB上的高分别记、hhaa

2a

p)(p)hbhc

2b2c

p)(p)p)(p)证明）根据余弦定理的推论cosC

2

2由同角三角函数之间的关系sinC

2

2

2ab

2

)

2第页共页记p)，则可得到b)p，记p)，则可得到b)p，c)p，(p11，p()(p)a，高中数学学案代入

1，得SabC2a2S2ab

2

)

2

(2ab

2

a

2

2

2

)

2(2ab22)(2ab2)(aa)(c)(c)11222代入可证得公式（2）三角形的面S

与三角形内切圆半径r

之间有关系式

1Spr2其中a)2

，所r

S()()()注：连圆心和三角三个顶，构成三个三角形则大三角形面积就三个小三角1形面积和故得：Sarbrcrpr2（3）根据三角形面积公式2a所以a

S22p()(p)(p)a同b

)(p)p(pp)【三角中的常见结】（1）ABC

(2)))C)

ABC,cossin;2A,22若CcAsinCsinBsinCacAC（大边对大角，小边对小角）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等

，最小角小于等

(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方钝角三形最大角是钝最大角的余弦值为负值（7中，A,B,C成等差数列的充要条件60第页共页

.高中数学学案(8)ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.二、题汇总题型1:定三角形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式a2（2）ABC，由余弦定理可知:aa2

2

A直角是角三角形A钝角是角三角形是角是锐角三角（注意A是锐角是锐角三角形）(3)sinAsin，则或B

.例中ccosA，(b)(a)，试判形状.题型2:三角形求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做三角形例中1

，求的值例中，内角A对边的边长分别b,c已c2C（Ⅰ）的面积等于3，求ab（Ⅱ）Csin(A)2sinA，ABC的面积．

．题型3:明等式立证明等式成立的方法））左）左右互相推.第页共页高中数学学案例4.已中，角BC的对边分别bc求证abcosCcosB.题型4:三角在实际的应考察仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例．如图所示，货轮在海上以40km/h速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A距离是多少？三、解角形的应用1.角和坡度坡面与水平面的锐二面角叫做坡角面的垂直高和水平宽l的比叫做坡度i表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，i

.α

l2.角和仰角如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角第页共页高中数学学案3.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为.注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。4.方向角：相对于某一正方向的水平角.5.角：第页共页高中数学学案第二章数列一、数的概念1数列的概念一般地，按一定次序排列成一列数叫数列，数列中的每一个数叫做个数列项数列的一般形式可以写,a,a,a,2n数列的n项，也叫做数列的通项.

，简记为数列一也成为首项a是1n数列可看作是定义域为正整数N

（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列2数列的分类按数列中项的多数分为：有穷数数列中的项为有限个，即项数有限；无穷数数列中的项为无限个，即项数无限3通项公式：如果数a与项n间的函数关系可以用一个式子表示af么这个式子就叫做这个数列的项公式数列的通项公式就是相应函数的解析式4数列的函数征：一般地，一个数如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，

，那么这个数列叫做递增数列;a，那么这个数列叫做递减数列如果数列

都相等，那么这个数列叫做常数列.5递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做推公式二、等数列1等差数列的念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差a

d（常数也是证或判断一个列是否等差数列的据第页共页n11n11高中数学学案2等差数列的项公式设等差数a，公差d，则通项公式为：a13等差中项：（1）a、、b成等差数列，则A叫的等差中项，且A;（2）若数列，an

成等差数列，

n

aa

的等差中项，且=n

ann；反之若数列a满a=n2

n，则数列4等差数列的质：（1）等差数列p，，nq；mp（2）若数，则数差数列；nnn（3）等差数，则列列n5等差数列的n项和：（1）数项和=an2

,

；（2）数列的通项与前n项和S的关系nn

SS,

（3）设等差数,差，则前n项=n6等差数列前n的性质

n1nad.22（1等差数m项的和仍组成等差数列a12

m

m

2

m

,仍为等差数列（即mm

2

m

3m

,2

成等差数列（2）等差数=1

d=

2

da时S可看作关于n的二次函数，且不含常数项；第页共页偶奇aS2nnnn2nn偶奇aS2nnnn2nn高中数学学案（3）若等差数2n+1（奇数）项，=奇偶

n

Sn且奇=Sn偶Sa若等差数列共有（偶数）项，偶=n.Sa奇an()111（4）等差数{}{b}前n项和T(n为奇数2bbn(b)1n12（5）在等差数{}中.=aSSnnm

n

nn

(a，特别地，当时，Snm

n

，=mS=nn

n

)S（6）为等差数{}的前n项和，则数{}也为等差数列.n7等差数列前n和S的最值题：设等差数列

a,差，则1且d即首正递减）时S有最大值S的最大值为所有非负数项之和；n且d即首负递增）时，有最小值的最小值为所有非正数项之和n三、等数列1等比数列的念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字q示）.a即nq为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据an2等比数列的项公式设等比数列

的首项为，公比为q，则通项公式为：1aq,、13等比中项：（1）a、、b成等比数列，则A叫ab的等比中项，且A2=ab;（2）若数列，an

成等比数列，

n

aa

的等比中项，且2=an

；反之若数列

2n

，则数列

数列.第页共页nnnb1111n11annnb1111n11a高中数学学案4等比数列的质：1（1）若数{}{b}等比数列，则数列{}{a}{an

n

2

}{2n

a}{}{n}(knn为非零常数)均为等比数列.（2）等比数列pN，若mnqn

2p

；（3）若数，则数比数列；nnn（4）等比数列

，公比，则1为递增数列qq.n5等比数列的n项和：

列，n（1）数项和=an2

,

；（2）数列的通项与前n项和S的关系nn

SS,

（3）设等比数，公比n

q由等比数列的通项公式及前项和公式可知，已,qn中任意三个，便可建立方程组n求出另外两个.6等比数列的n项和性质设等比数a，公比（1）连续m项的和仍组成等比数列，1

m

m

2

m

,仍为等比数列（S,Smm

2

m

3m

,2

成等差数列（2）q时Sn

a11

n

aaaa1n1，11a设1，则tqq

.第10页共页a1aa1a高中数学学案四、递数列求通项方法总1递推数列的念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列2两个恒等式对于任意的数（1aan22

n

n

a（224a3

,an

3递推数列的型以及通项方法总：类型（公式：已S（即f(n)用作差法：2n

,(,(2)类型二累加法知：数a,1

f

，通项a.给递推公a

f

中的n依次取1,2,3…n-1,可得到下面n-1个式子：af13n

f利用公aan

2

3

2

43

n

n

可得：an1类型三累乘法知：数,且nf.给递推公式f次取1,2,3，……，n-1,可得到下面个式子：aa2f,faa1

a,4fa3

,

a,fan

a利用公24a3

,an可得：afn1类型四构造法：形如a

n

an

n

n,q为常数）的递推数列都可以n第11页共页nqqpannnq11nnqqpannnq11n高中数学学案用待定系数法转化为公为的等比数列后，再a。n①

n

解法：把原递推公式转化为：an

pa，其中

q1p

，再利用换元法转化为等比数列求解。②

n

n

n

解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除

n

apa1，得：n引入辅助数列b（其bqnq

nn

p得：b再应

n

方法解决。n类型五倒数法知：数,n.1qana

n

1r1r1nrapapaapnnnb

11r,则，apnrpbn

qq=，即数列pp

为公差的等差数列prp

r（转换成类型四①）.五、数常用求和方第一类公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的项和公式na)(nd1n22、等比数列的项和公式(n)aq(11n3、常用几个数列的求和公式（1

n(n第12页共页1bn1bn高中数学学案（2

2

16

n(nn（33n(n2第二类乘公比错项减（等比）

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a{}{}的前n项和，其{}{}分别是等差数列和比数列。nnn例：求数{n}(q常数)的前n项和。解：Ⅰ、q=0，=0Ⅱ、若q=1，Ⅲ、若q≠0≠，

n则qq

①qSq2q

②①式—②式)31(11

2

3

n

n

)n

1(

nq

n

)1nqnS(11综上所述Snnq

n(1)

nq(q且q第三类裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：第13页共页nnnnnn高中数学学案（1annan

1n(nnn(2)11()n22nn111[n(n2n((2)

]（4a

n2(n111,则n(n(nn(nn(n

2、根式形式，如an

1nn

nn例：求数列解：由于：

111，，，…，，…的和S1n(1=(）nn

n则：n

1111(1)))32n111(1)2

314n2n第四类倒序相加法这是推导等差数列的和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序再把它与原数列相加，就可以得()。例：若函数)对任意x有f()(1)。12（1）af(0)f()f()(nnn结论；

)f(1)数{a}等差数列吗？是证明你的（2）求数{

1a

}的的项。n12解ff()f()f(nn

)f(1)倒序相加）(n

n1)()f)nn1n2n1nnnn第14页共页nn高中数学学案则，由条件：对任意x有f()(1。22na

a

从而：数{}a2,的等差数列。1（2

1an

n

111(nnT=n

11234（2)11111nT=2334故T=n

n2第五类分组求和法等差+等比）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。1例：求数列{+nn

}的n项S

n解：a

1n(n

b

(a)a)n1223naan1313nn

111)2

2

n

)n

1n

)

2

n

)2n

①①式—②式T2

②

222)第15页共页nnnnnn高中数学学案

1n1

)Tn故：Sn

11)nn2nnn

n第六类拆项求和法在这类方法中我们先研究通项通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。例：求数列9，99，999，…的前n项和

n分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式a可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于a

则：99999S

(10

(10

(10

)S

10n1

S

109

1例8S=12482n1解：由于an2n211则S=(1)差+等比，利用公式求和）2821=(2

1(1)21

)11=(n)22

n第16页共页aaaaaaaa高中数学学案第三章不等一．不式的性质：同向不等式可相加；向不等式可相减：若d，则ab（若a,cd，异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；．左右同不等式：同的不等可以相乘，但不相除异向不等可以相，但不a能相乘：a则acbd（a0,0则c3．左右同不等式：两可以同乘方或开方：a，

n

n

或

n

11114．则；，a，则。abab例（1）对于实数,,c中，给出下列命题：若aba2；ac2,；122；若则；若b则；则ab；若ca则

abcc

1；若,，ab。b其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧（2）已知x，xy，3x的值范围是______（答：x二．不式大小比较常用方：．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；．作商（常用于分数指数幂的代数式．分析法；．平方法；．分子（或分母）有理化；．利用函数的单调性；．寻找中间量或放缩法；．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。例（1）已a，m，试比较与的大小ababamm(答：aaa)(a)maam(a)a()从而得到结论，糖水加糖甜更甜。t（2）a且t0，比较t和log的大小tt（答：时，logtt取等号当0a时，logtlog2t取等号第17页共页xxx2a2xxx2a2高中数学学案（3）2，aq

，试比较的大小1（答：pqa

a

故（4）比较loglog2(0x的大小x4（答：当x或时log2log；1时log＜2log；当34x时，log2log3（5）比较与10的大小2（答：提示：

13

2(3

2

10)

2

）三．利用重要不等求函数值，你是否注意到正二定三相等，定积最，积定和最小”这17字方针。例）下列命题中正确的是1A、yx的最小值是2xB、y的最大值是2C、y(x0)的最大值34D、y(的最小值3x（答：C（2）y，

的最小值是______（答：提示

2y

21（3）正数,y满足xy，则的最小值为______xy（答3四．常不等式有：（1）

ab(根据目标不等式左右的运算结构选用；b（2）a、、c

R，ab（当且仅a时，取等号（3）若m

，则

b（糖水的浓度问题a例如果正a

b

满ab，

的取值范围是_________（答：提示：ab,29,）五．证不等式的方：比较法、分析法、综合法和放缩(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与的大小，然后作出结论。).1常用的放缩技巧有：nnn第18页共页高中数学学案

1kkkk六、不式的解法1不等式的同原理：原理1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；原理3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。2一元二次不式的解：一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标。二次函数（的图象

）有两相异实根

有两相等实根无实根注意：（1）一元二次方x的两根x是相应的不等ax20(0)的解集的端点的取值，是抛物线y(a0)与x轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；3分式ax20)解集。3、简的一元高次等式的法：

0(0)与标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中高次的系数正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一第19页共页aa高中数学学案点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现(x)符号变化规律，写出不等式的解集。例（1）解不等2)

。（2）解不等x

2

x2)(4)（3）解不等2)(2x(x04、分式不等式解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中高次项系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

ffx0;ggffx0;.g例解不等式

x

（答(5绝对值不等的解法：（1）分段讨论法（最后结果应各段的集3例解不等x|42（2）利用绝对值的定义；例解不等式ax（3）数形结合；例解不等|x（4）两边平方：

（答：x（答ax（答((2,例若不等3x2对x恒成立，则实的取值范围为______4（答{}）36、含参等式的法求解的通法定义域为前提函数增减性为基础类讨论是关键注意解完之后要写上综上，原不等式的解集是…注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未数讨论，最后应求并例（1）log，的取值范围是__________2（答03（2）解不等式

2

x(a)1（答{xx{或x0}时|0}xa提醒（）不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。第20页共页2min2min高中数学学案7指数、对数等式的法：（1）

ff

f（2）

logfgfalogfg1)0a七、基不等式1、基本不等式：ab，ab，当且仅，等号成立．2

称为正ab的算术平均数，ab称为正a的何平均数．变形应用：

ab

仅时等号成立．2、基本不等式推广形式：a如,则≥≥≥，当且仅时，等号成立．21b3、基本不等式的应用：设、y都为正数，则有：⑴若y（和为定则x时，积xy

s2取得最大值．⑵若p（积为定则x时，和xy取得最小p．注意：在应用的时候，必须注意一正二三相等”三个条件同时成立。4、常用不等式：若a、R则a

2ab2ab；2

八、含对值不等式性质b号或有0aa

||aba

；b号或有0

a|ab|

||a|

.九、不式的恒成立能成立成立等问：不等式恒成立问题的常规处理式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).成立问若不等式fD恒成立,则等价于在区间D上若不等式fD恒成立,则等价于在区间D上例（）实数x,y满y2，时的取值范围是______（答：提示：设acos，xysincossin(

)第21页共页高中数学学案c2

（2）不等式对一切实数x

恒成立，求实数的取值范围_____（答2).能成立题若在区间存在实数x不等式价于在区间上A若在区间存在实数x不等式立,则等价于在区间上的f.min例已知不等式x在实数集R上的解集不是空集，求实a的取值范围___（答）3).恰成立题若不等式D恰成立,则等价于不等式D；若不等式fD上恰成立则等价于不等式D.十、简的线性规划题1、二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系