高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法可用来解决哪些问题素材新人教A版选修2-2课件

11反法用解哪问一证几量间关例1.如图，设SA、是圆SO的条母线O是底面圆心C是SB上点。求证：AC与平面SOB不垂直。分析:结论是“不垂直”，呈“定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。证明:假设AC⊥平面SOB，∵直线SO在面SOB，∴⊥SO，∵SO⊥底面圆O，∴⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴面SAB底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成即AC与面SOB不垂直。否性问常反法例证异直，以设面再把设为知件导矛。面举例，直证证比困，其是两直是面线常用证。二证“一”题例2：试证明：在平面上所有通点

(

的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标、y

均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。证明：先证存在性。因为直线

0

显通过点

(

且线

至少通过两个有理点例如它通(0,0)

和

。这说明满足条件的直线有一条。再证唯一性。假设除了直线

0

外还存在一条直线

（

k0

或

b

）通过点

(

，且该直线通过有理点A

(,)Bx,y)12

，其中x、y、、y均为有理数。122因为直线

过点(

所以

bk于是(x且0。又直线通过A

(x,)1

与B

(,)2

两点，所以

2)1

，①2)yk(x)①－②，得2

②

③因为A、B是个不同的点，且

k0

，所以

x

，

yy

，由③，得

y122

，且

是不等于零的有理数;由①，得

1

.此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，平面上通过点

(2,0)

的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。1

122222122222综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。关唯性问，几中，代、角学中有这类目直证证相困，此般况都用接法即反法同一证，反法明时同法方。三证不能题几何中有一类问题明个形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在它的结论命题都是以否定形式出现的用直接证法证明有一定的困难而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在此类问题非常适宜用反证法。例3：给定实数aa≠0且a≠，设函数y＝

xax

(其∈且x≠)，证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x；②.这个函数的图像关于直线y＝成轴称图像分析:“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。证明:①设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠,1221假设直线MM平于x轴则有＝，即122

＝axax12整理得a(x－)＝－121

2

∵≠1

2

∴a＝这与已知“≠”盾因假不,即直线M不平行于轴12②由y＝

xax

y得axy－y＝－即－＝－1,所以＝，ayxx即原函数y＝的反函数为y＝，像一致。ax由互为反函数的两个图像关于直线＝x对称可以得到，函数y＝线y＝成对称图像。

xax

的图像关于直关不能题几中常也非重的种型于的论以定式出，用接法困，以类题般使反法以证。对“平”否性论用证，假“行的况下容得一性，过确误推，出已a≠1互矛。②中对问使反数对性行究方比巧，求反数法性运熟练四利反法思解求数围题例4：若下列方程：＋4ax－＋＝，x＋(a＋a＝0,x＋2ax－2a＝至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。分析:三个方程至少有一个方程实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。解设三个方程均无实根，则有：2

△16△(a2△4a2)0

12,解得a0

,即－<a<－。2所以当a≥－1或a≤－

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