高二下学期期末数学试卷(含答案)

1122n1122nn1212广东省高二（下）期末数学试卷一、选择题本大题共小题每小题5分，共60分.在每题给出的个选项中只有一项是符合题要求的.1．复i（2﹣i）=（）A12i．12iC．﹣1+2iD﹣12i2．已f（x）=xsinx，则f）=（）Acosx．﹣cosxC．sinx﹣D．sinx+xcosx3．对个变量y与进行回归分析，得到一组样本数据，，y）…，y则下列不正确的说法是（）．若求得相关系数r=0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和=2.4，则模型1的拟合效果更好C用相关指数2

来刻画回归效果模型1的相关指数R2

=0.48模型的相关指数R2

=0.91，则模型1的拟合效果更好D．回归分析只对被调查样本的总体适用．若（1i）+（23i）=a+bia，bR，i是虚数单位a，的值分别等于（）A32B．﹣．3﹣3D﹣1，．已知，y的取值如下表所示：

26

如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为

，则b=（）A

B．

．

D6．曲y=﹣x3

+3x2

在点（2处的切线方程为（）Ay=﹣3x+5B．y=3x﹣1．y=3x+5D．y=2x7．用证法证明命题设a，为实数，则方程2（）

++b=0至少有一个实根时，要做的假设是A方程2

++b=0没有实根B．方程x2++b=0至多有一个实根1C．方程x

++b=0至多有两个实根D．程x

++b=0恰好有两个实根8．若+3i，则

=（）A1

B．﹣C．+iD．﹣i9．曲y=x

在点P处的切线斜率为则点P的坐标为（）A，8）2﹣8）

1）或（1，﹣）D．10．设函数f（x）=xe，则（）Ax=1为fx）的极大值点

．x=1为f（）的极小值点C．x=﹣1为fx）极大值点Dx=﹣1为f）的极小值点11．已知数列{a}满足a=，a=1n1n

，则a的值为（）A﹣2．

．

D412．已知函数

在区间[﹣，]上有f（）＞0恒成立，则a的取值范围为（）A，2]B．[∞）5）D5二、填空题本大题共4小题，每题分，共20分.13．函数f（）=x

﹣4x+4在[03上的最大值是．14．调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到对x的回归直线方程：y=0.354x+0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加万元．

1万元，年饮食支出平均增加15．i是虚数单位，若复数（

﹣5x+6（x﹣3）i是纯虚数，则实数x的值为．16．观察下列不等式1

＜，1+＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为．三、解答题本大题共6小题，共分，解答写出证明程或演算骤.217．在直角坐标系中，已知圆C的参数方程为点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；

（为参数坐标原点为极（2）直l的极坐方程是

，射线OM：θ=

与圆的交点为，P与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．18．已知函数f（x）=ax+bx在x=2处取得极值为﹣16求a，b的值；若fx）单调区间．19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

32.5

43

54

64.5请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.54×+5×4+6×4.5=66.5）20．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩分以上（含120分）为优秀．分数区间[030[3060[6090[90，120）[120，]

甲班频率0.10.20.30.20.2

乙班频率0.20.20.30.20.1优秀

不优秀

总计甲班30000乙班总计k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828（K2

≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×列联表：在犯错概率小于的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？21．已知函数f（x）（﹣k）e

．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）求f（）在区间01]上的最小值．22．设f（x）=lnx，（）=f（）+f′（x（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与

的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）对任意x＞成立．41122n1122nn1212广东省高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共小题每小题5分，共60分.在每题给出的个选项中只有一项是符合题要求的.1．复i（2﹣i）=（）A12i．12iC．﹣1+2iD﹣12i【考点】A5复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式2i﹣

2

=2i（﹣1）=1+；故选：A．2．已f（x）=xsinx，则f）=（）Acosx．﹣cosxC．sinx﹣D．sinx+xcosx【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由导数的乘法计算法则计算即可得答案．【解答】解：根据题意，x）则f′）=（x）′sinx+（sinx）′=sinx+；故选：D．3．对个变量y与进行回归分析，得到一组样本数据，，y）…，y则下列不正确的说法是（）．若求得相关系数r=0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和=2.4，则模型1的拟合效果更好C用相关指数2

来刻画回归效果模型1的相关指数R2

=0.48模型的相关指数R2

=0.91，则模型1的拟合效果更好D．回归分析只对被调查样本的总体适用【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据r＜0则y与具备很强的线性相关关系，且为负相关；线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强；相关指数2用来衡量两个变量之间线性关系的强弱R2越接近于，5说明相关性越强，相反，相关性越小，命题可做判断．【解答】解：对于，＜0则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关，正确；对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确；对于，相关指数R

用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，R2

越接近于1，说明相关性越强，相反，相关性越小，因此2

越大拟合效果越好，故不正确；对于D，回分析只对被调查样本的总体适用，正确；故选：C．4．若1+i）+（2﹣3i）bia，b，i是虚数单位a，的值分别等于（）A32B．﹣．3﹣3D﹣1，【考点】A5复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：∵（i）+（23i）=32i=a+∴a=3，b=﹣则ab的值分别等于，﹣2．故选：B．5．已x，的取值如下表所示：

26

如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为

，则b=（）A

B．

．

D【考点】BK：线性回归方程．【分析】估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出的值，得到结果．【解答】解：∵线性回归方程为又∵线性回归方程过样本中心点，，∴回归方程过点（5）

，∴5=3b

，6∴b=﹣故选A6．曲y=﹣x3

+3x2

在点（2处的切线方程为（）Ay=﹣3x+5B．y=3x﹣1．y=3x+5D．y=2x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=﹣x3+2的导数为y′=﹣3x2+6x，可得曲线y=﹣x3即有曲线y=﹣x3即为y=3x﹣1故选：B．

+3x2+3x2

在点（，2）处切线斜率为﹣36=3，在点（，2）处切线方程为y﹣（x﹣7．用证法证明命题设a，为实数，则方程2（）

++b=0至少有一个实根时，要做的假设是A方程2

++b=0没有实根B．方程x2

++b=0至多有一个实根C．方程x+ax+至多有两个实根D．程x

++b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题a，为实数，则方程2

++b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2

+ax+b=0没有实根．故选：A．8．若+3i，则

=（）A1

B．﹣C．+iD．﹣i【考点】A5复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：+3i，则

===﹣i．7故选：D．9．曲y=x

在点P处的切线斜率为则点P的坐标为（）A，8）2﹣8）

1）或（1，﹣）D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（nn=m

求出函数的导数可得切线的斜率，m的方程可得n即可得到P的坐标．【解答】解：设P（mnn=m3，y=x3

的导数为y′=3x2

，可得曲线y=x3

在点P处的切线斜率为3m2

，由题意可得3m2

=3，解得m=±则m=1，；m=﹣，n=﹣即P（1，1，﹣故选：C．10．设函数f（x）=xe，则（）Ax=1为fx）的极大值点

．x=1为f（）的极小值点C．x=﹣1为fx）极大值点Dx=﹣1为f）的极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由题意，可先求出fx）=（x+）x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f）的极小值点【解答】解：由于x）=xex，可得f′x）（x+1）e

，令f′）=（x+1）ex=0可得x=﹣1令f′）=（x+1）ex＞可得x＞﹣1，即函数在（﹣1∞）上是增函数令f′）=（x+1）ex＜可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f）的极小值点故选D11．已知数列{a}满足a=，a=1，则a的值为（）n1n81n1234n3111n1234n311A﹣2．

．

D4【考点】8H：数列递推式．【分析】根据数列的递推关系得到数列的规律，即可得到结论．【解答】解：∵a=，a=1+

，∴a=13=﹣a=1=，a=1=，…∴{a}的取值具备周期性，周期性则a=a故选：B．

×+

=a=，12．已知函数

在区间[﹣，]上有f（）＞0恒成立，则a的取值范围为（）A，2]B．[∞）5）D5【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】在区间[﹣，]上，fx）＞恒成立等价于在区间[﹣，]上，f）＞0由此利用导数性质能求出的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）∴f′）=3ax2﹣3x，

﹣x

+1∈R，a＞0）由f′）=0得x=0，或x=，①当≥，0a≤2时，∵f（）=﹣，f）=+，f0=1，∴在区间[﹣，]上，x）=﹣，∵在区间[﹣，]上，x）＞0恒成立，9∴f（）=﹣＞0解得a＜5∴0＜a≤．②当＜，a＞2时，∵f（）=﹣，f）=+，f0=1，（）=1∴在区间[﹣，]上，x）=﹣，∵在区间[﹣，]上，x）＞0恒成立，∴f（）=﹣＞0解得a＜5∴2＜a＜．综上所述，a的取值范围是（5故选：C．二、填空题本大题共4小题，每题分，共20分.

，13．函数f（）=x

﹣4x+4在[03上的最大值是4

．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，求得导数为的极值点，再求极值和端点处的函数值，比较即可得到最大值．【解答】解：函数x）=x3

﹣4x+4的导数为f′（）=x2

﹣4由f′）=0可得x=2（﹣2舍去由f（=﹣4=，f（=4f（=1，可得f（）[03上的最大值为4．故答案为：414．调查了某地若干户家庭的年收入（单位：万元）和年饮食支出（单位：万元查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到对x的回归直线方程：y=0.354x+0.321归直线方程可知庭年收每增加1万元饮食支出平均增加万元．

0.354【考点】BK：线性回归方程．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量对应的值，得到家庭年收入每增加万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．【解答】解：∵对的回归直线方程y=0.354x0.321．∴当家庭年收入增加1万元时，y=0.234（x+1）+0.321，∵[0.354x+0.321]﹣[0.354x+0.321]=0.354故年饮食支出平均增加万元．故答案为：0.35415．i是虚数单位，若复数（

﹣5x+6（x﹣3）i是纯虚数，则实数x的值为

2

．【考点】A5复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数（x2﹣+6）+（﹣3i是纯虚数，得实部等于且虚部不等于，求解即可得答案．【解答】解：∵复数（x

﹣5x+6（﹣3i是纯虚数，∴，解得．故答案为：216．观察下列不等式+

＜，1+

+

＜，1+++＜，…照此规律，第五个不等式为

1+++

+＜

．【考点】F1归纳推理．【分析】由已知中不等式1+

＜，1++＜，1++＜，…，分析不等式两边的变化规律，可得答案．【解答】解：由已知中：不等式：1

＜，11

++

＜，+＜，…归纳可得：第n个不等式为：

+

+…+

＜

，当n=5时，第五个不等式为

+

+

++

＜

，故答案为：1+

++++

＜三、解答题本大题共6小题，共分，解答写出证明程或演算骤.17．在直角坐标系中，已知圆C的参数方程为点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；

（为参数坐标原点为极（2）直l的极坐方程是

，射线OM：θ=

与圆的交点为，P与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】QH：参数方程化成普通程；：简单曲线的极坐标方程．【分析圆C的参数方程消去参数能求出圆的极坐标方程，把ρcosθ，y=ρsinθ代入化简能求出此圆的极坐标方程．（II）求出直l：+

x=3

，射线OM：x．立，得Q（立，得P（，此能求出线段PQ的长．【解答】解圆C的参数方程为

（φ为参数消去参数可得﹣12

+2

=1把x=ρcosθ，ρsin代入化简得此圆的极坐标方程为：ρ=2cosθ．（II）如图所示，直线l的极坐方程是

，．射线：θ=可得普通方程：直线l：y+

x=3

，射线y=

x．联立

，解得，y=

，即Q（

1212联立，解得

或．∴P（，

∴|PQ|=∴线段PQ的长为2．18．已知函数f（x）=ax3

=2．+bx在x=2处取得极值为﹣16求a，b的值；若fx）单调区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析求得函数x）的导数，由题意可得f2=﹣16，且f′2=0解ab的方程组，即可得到，b的值；（2）求fx）的导数，由导数大于0可得增区间；导数小于可得减区间．【解答】解函数x）=ax3

+bx的导数为′x）=3ax

+b由于f（）在x=2处取得极值为﹣16故有f（）=16，且（2）=0即12a+b=0且8a2b=﹣解得，﹣；（2）由1知

f）=x3﹣12x的导数为f′（x）212令f′x0=0得x=﹣2，x=2当f′）＞0，即＜﹣或x＞时，函数f（）为增函数；当f′）＜0，即﹣2＜＜2时，函数fx）为减函数．则f（）的增区间为（﹣∞，﹣∞区间为（﹣2219．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

32.5

43

54

64.5iiii请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为吨标准煤．试根据第2题求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.54×+5×4+6×4.5=66.5）【考点】BK：线性回归方程．【分析把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（2）根所给的这组数据求出回归方程的系数，得到线性回归方程；（3）根线性回归方程，计算x=100时的生产能耗，求出比技改前降低的标准煤．【解答】解把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由照数据，计算得=×（34+5+6）=4.5=×（2.5344.5）=3.5，=32

+4

+

+6

=86，xy=32.543+5×4+4.5=66.5，∴回归方程的系数为==3.5﹣×4.5=0.35，

=0.7，∴所求线性回归方程为=0.7x+0.35；（3）由2的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨∴90﹣70.35=19.65吨，预测比技改前降低了吨标准煤．000020．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩分以上（含120分）为优秀．分数区间[030[3060[6090[90，120）[120，]

甲班频率0.10.20.30.20.2

乙班频率0.20.20.30.20.1优秀

不优秀

总计班班总计k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828（K2

≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×列联表：在犯错概率小于的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】BL：独立性检验；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析图表得乙班参加测试的90分以上的同学有6人记为A成绩优秀的记为、．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解）乙班参加测试的分以上的同学有6人，记为、B、、D、F．成绩优秀的记为、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A}，{A，C}，{A，D，{A，E，{A，F}，{B，C}，{，D，{B，E}，{，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{DF}，{EF}共15个，设事件表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{AC}，{，D}，{E}，{AF}，{B，C}，{，D，{B，E}，{，F}共8个，∴（Ⅱ）班班总计

；优秀426

不优秀161834

总计202040．在犯错概率小于的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．21．已知函数f（x）（﹣k）e．（Ⅰ）求f（）的单调区间；（Ⅱ）求f（）在区间01]上的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析）求导，令导数等于零，解方程，跟f（x）（x）随的变化