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3.3高阶差分方程

一阶差分方程可以拓展到二阶以及更高阶的差分方程，为方便起见，把高于一阶的差分方程统一称为高阶差分方程。假设差分方程的阶数为p，则p阶差分方程的一般表达式可以写成：

要从高阶向一阶转化，首先定义几个常用矩阵：

例如p＝5时，现在，p阶差分方程就可以转化为：即，通过反复迭代，可以得到：

对模型进行向前迭代，可以得到：

其中：

表示矩阵F的j次幂。这样，对比F矩阵与Y矩阵的定义，可以获得p阶差分方程的动态乘数，即：

对比F矩阵与Y矩阵的定义，可以获得p阶差分方程的动态乘数，即：

其中：

为矩阵

的第1行第1列位置上的元素。一旦动态乘数的解析表达式求解出来了，对应的p阶差分方程的脉冲响应方程就可以很容易获得了。

3.4滞后算子与滞后运算法

3.4.1滞后算子定义与性质

滞后算子以英文单词“lag”的大写首字母L表示，基本的运算规则如下:

根据这个定义，二阶差分方程：

可以写成：

滞后算子运算还符合标准的“结合律”与“交换律”等如下运算法则：（1）

（2）对任何常数A取滞后运算还等于原常数，即

。

（3）结合与分配律，即

。（4）交换律，即

。

运用以上介绍的滞后算子运算规律，可以将二阶差分方程写成：即

这里常被称为滞后算子多项式。

因此，差分方程也可以写成：初次学习滞后算子，可以把滞后算子与经济学中常用的期望联系起来理解。滞后算子操作符也属于类似的概念范畴，也就是说，L在这里不仅仅是一个符号，它代表了一种运算过程。一个非常有用的性质：

其中，c表示常数项。利用滞后算子，模型可以写成：在等式两边同除以

，则得到：对于二阶差分方程

对于模型：

根据滞后算子的性质，滞后算子对常数项并不产生影响，所以模型等号右侧的第一项就是

。从而，模型可以写成：

利用滞后算子，还可以简化高阶差分方程的表达式。例如，对于p阶差分方程，利用滞后算子可以写作：

（3.39）

或者写出更为简洁的形式：

其中：

。由此

可知，

。

3.4.2差分方程的稳定性

差分方程的稳定性是指由差分方程生成的数据的收敛性。这里需要介绍与差分方程相关的特征方程和逆特征方程。对于一般的p阶差分方程来说，其特征方程为：

（3.40）

如果差分方程中的系数均为已知，则可以求出特征方程（3.40）的根，称为特征根，而这些特征根的大小决定了相应的差分方程系统的稳定性。可以证明，如果特征方程的所有根（或者根的模）均落在单位圆内，那么差分方程系统是稳定的。之所以经常使用“单位圆”来比照特征根的“大小”，是因为特征根可能是实数也可能是复数。图3.4差分方程的特征根

与单位圆

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