预测与决策：第六讲 曲线趋势预测法

第四章曲线趋势预测法直线趋势模型预测法可线性化的曲线趋势模型预测法有增长上限的曲线趋势模型预测法趋势外推法概念：如果通过对时间序列的分析和计算,能找到一条比较合适的函数曲线来近似反映社会经济变量y关于时间t的变化和趋势,那么当有理由相信这种规律和趋势能够延伸到未来时,便可用此模型对该社会经济现象的未来进行预测,这就是趋势外推法。

趋势外推法的两个假定：（1）社会经济现象的发展过程是渐进的,没有跳跃式突变；（2）社会经济现象未来与过去的发展变化规律基本一致。

趋势曲线模型的选择（一）图形识别法：

该法是通过绘制时序图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察其变化曲线与各类已知函数曲线模型的图形（见教材）进行比较，选择较为接近的模型。有时所绘图形与几种数学模型的曲线相近,可试算,计算回溯拟合值,选择均方差最小的模型。

趋势曲线模型的选择

（二）阶差识别法：

模型名称阶差特点直线趋势模型一阶差分（▽yt=yt－yt-1）为一常数

二次曲线模型二阶差分为一常数

指数曲线模型一次比率（yt/yt-1

）为一常数修正指数曲线模型一阶差分的一次比率

为一常数龚泊兹曲线模型yt的对数的一阶差分的一次比率为一常数逻辑（Logistic）曲线模型yt的倒数的一阶差分的一次比率为一常数差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。一阶、二阶、k阶差分广义差分法就是先计算时间序列的广义差分(时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分的特点,选择适宜的数学模型。

4.1直线趋势模型预测法4.1.1直线趋势模型的形式与图形

直线趋势预测模型回总目录回本章目录4.1.2直线趋势模型的识别4.1.3直线趋势模型的参数估计1、最小二乘法

特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法

套用参数估计公式,注意到,yt一般都是等间隔的时期或时点指标值,它与时间t并无严格的因果关系。时间t的取值只起到一种标明事物发展先后次序的作用,只要保持t的等间隔性及其先后次序,我们可以给t赋以任何数值。通常让t的T个取值以原点为对称,从而有化简公式为

2、折扣最小二乘法

为了使,令其偏导数为0，得到关于参数估计值的正规方程组:4.1.4预测例4.1表4.2是某啤酒厂1998~2005年间各年的啤酒产量，试预测2006~2008年该厂的啤酒产量。解:(1)选择模型（2）建立直线趋势模型根据表中数据计算得:得直线趋势模型为:(3)预测

将t=9，10，11分别代入模型中得到：

为了加大近期数据的作用，再选择折扣最小二乘法来建立直线趋势模型。得到正规方程组:解得:

用折扣最小二乘法得到的模型的斜率稍大些，有利于跟踪啤酒产量的未来变化趋势。例:某市最近几年工业总产值资料如下表所列,试预测1999年该市的工业总产值。年份199019911992199319941995199619971998t值-4-3-2-101234工业总产值yt5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一阶差分_0.60.50.70.60.80.60.80.8解:若画出散点图,看出,时间序列呈明显的线性趋势。计算一阶差分,基本上接近一个常数,其波动范围在0.5～0.8之间。因此,可配一元线性时间回归模型进行预测。利用如上公式,易得回归模型为

1999年对应的t=5

预测该年的工业总产值

4.2可线性化的曲线趋势模型预测法

许多非线性回归模型可以通过变换，转化为线性回归模型。因而，可以用线性回归来进行模型参数的估计，从而解决非线性回归的预测问题。计算问题可以通过本书介绍的方法通过手算解决时序数目较少的预测问题，但更多地应学会使用统计软件如SPSS等来进行计算。【详见《数据分析与SPSS应用》一书】4.2.1多项式曲线模型二次曲线预测模型三次曲线预测模型二次曲线预测模型的参数估计

通过解以下正规方程组得到二次曲线预测模型的参数估计b0、b1

、b2

，从而可以得到二次曲线预测模型。

例4.2某地税局1998-2005年的税收总收入如表4.6所示,试预测2006年和2007年的税收总收入。解：绘制散点图（参见图4.6）将有关数据代入正规方程组，可以得：解之，得：因此,税收总收入的二次曲线预测模型为:预测:指数曲线预测模型

回总目录回本章目录4.2.2其它几种常见模型的形式与图形

通过解以下方程组得到指数曲线预测模型

的参数估计值a、b，从而可以得到指数曲线预测模型。例4.3仍以某地税局的税收总收入为例,试建立指数曲线模型。解：首先计算出一次比率（即环比发展速度）如表4.9所示，可见它接近于常数120%，因此可选择指数曲线模型对税收总收入进行预测。得：因此所求的税收总收入的指数曲线模型为：例:某自行车厂最近几年产量数据如下表所列,试预测该厂1999年的产量。指数曲线预测模型:预测1999年的产量年份199319941995199619971998t值-5-3-1135产量yt

(万辆)8.710.613.316.520.626.0环比_1.21.31.21.21.3

曲线的拟合优度分析

实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作为优度好坏的指标：例下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。年份时序（t）总额（yt

）年份时序（t）总额（

yt

）年份时序（t）总额（

yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为

y轴，年份为x轴。（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将分别对该两种模型进行参数拟合。适用的二次曲线模型为：适用的指数曲线模型为：（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列，得到估计模型为：其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。

(4)进行指数曲线模型拟合。对模型两边取对数：产生序列，之后进行普通最小二乘估计该模型,最终得到估计模型为：

其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为175.37。（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：进行预测将会取得较好的效果。

幂函数曲线预测模型

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对数曲线预测模型

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双曲线预测模型

回总目录回本章目录4.3有增长上限的曲线趋势模型预测法修正指数曲线预测模型

龚珀兹曲线预测模型逻辑曲线预测模型

具有增长上限的这三种曲线趋势模型的参数估计可以使用本书介绍的三和值法进行计算。

三和值法估计参数k、a、b当K未知时采用三和值法将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有n个时期分别计算原序列观察值的三段和根据不同模型得到其参数的估计

4.3.1修正指数曲线预测模型1）模型的形式

回总目录回本章目录图(a)当一种新产品刚问世时，借助于广告宣传的作用，市场会出现对该产品需求的骤增，随后需求的增长速度放慢，最后渐近趋向于某一正常数极限值K。图(b)可用来描述如产品的成本初期减少较快，中期减少缓慢，直至最终趋向于某一正的极限值K的情况。2）模型的识别

根据三段和求得设观察值的三段和分别为S1，S2，S33）模型的参数估计

模型的参数k、a、b的三和值估计法例4.4我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预测2003年我国卫生机构总人数。解:绘制散点图，如图4.13所示。得:

所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:

将代入模型,得到2003年我国卫生机构总人数的预测值:4.3.2

S型曲线模型预测法

介绍两种能够较好地反映具有生命周期特征的现象，如人口、商品寿命预测等的曲线模型。具有如下特征：初期阶段以较缓慢的速度逐渐增长，而后增长速度加快，达到一定程度后，增长速度下降，到后期逐渐趋向于一条饱和直线。大致为一条S型曲线。在这条曲线上存在一个拐点，即增长速度由上升突变为下降的点。龚珀兹曲线预测模型

1）模型的形式

回总目录回本章目录龚珀兹曲线的数学表达式是:其中参数:0<a<1,0<b<1,K>0龚珀兹曲线适于对产品或技术作生命周期分析,尤其适于对各种新技术或产品市场容量的发展趋势作分析与预测。龚珀兹(Compertz)是英国统计学家和数学家。2）模型的识别将其变换为对数形式3）模型参数k、a、b的三和值估计法仿照修正指数曲线参数的确定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数求得a和K

令：则有：

例4.5某品牌手机在一个中等城市的销售量统计数据如表4.15所示，试建立预测模型，分析预测2006年该城市的手机销售量。解：绘制散点图，如图4.15所示。得：求反对数，得：

于是，所求龚珀兹曲线预测模型为：将代入模型中，得到2006年的预测值为：逻辑曲线预测模型（也称皮尔曲线预测模型）

1）模型的形式

回总目录回本章目录皮尔(Pearl)是美国生物学家和人口统计学家,提出了此种S型生长曲线模型:其中