高等数学-第一章高数ch1函数概念

一、函数的1、集集合：具有某种特定性质的事物的总体.如：实数集合区间：abR，abab

axb

[a,b]

axb [a,b)(a,b]

axb axb

3R(,) x[a, (,b)

ax+ xb

同理有(a, (,b3)邻域∪(a,) axa xaa(

a

a—邻域中心,—邻域半径U(U(a,)

0 x

左邻域 (a,a), 右邻域 (a,a).4一、函数的2、函 设有两个变量x与y，数集DR,若变量x在D内任取一个确定的数值时，变量y按照一定的对应法则f总有唯一值与之对应，则称y是x的函数，记 yf(x), xx—函数的自变 y—函数的因变D—

yyfx),xD5(1)定义域例如,反正弦函 yf(x)arcsin定义域D[1,1] 值域f(D)[, 函数的两要素：定义域、对应法f(x)x2-1 g(x)xx-对应法则相当于数值转换器6f(x) x21

f(x) x0 x

f3(x) x2 1确定了一个多值函11

C{(x,y)yf(x),x7二、函数几种表列表法、图形法、解（函数y在x的不同取值范围内有不同的表达式例1. x x

y

yf(x)

xx

x（x=0为分段点 8例2.符号函ysgnx注：xxsgn

1，当x>y1ox0y1ox-1，当x<例3.取整函数 y[x]（[x]为不超过x的最大整数yy21 x1o9函数的隐式表Fx,y)（y与x的函数关系由一个二元方程F(x,y)=所确定—可显化：x+y →y=1-—不可显化：xyex 例4.星形线（内摆线的一种）：x3y a3（当小圆在大圆内沿圆周滚动时 小圆上的定点的轨迹 aa例5.双扭线 双纽线x2y22a2x2y2（设线段AB长度为2a，满足：MA*MB=a2的动点M的轨迹 ay(t xy(t（通过引入第三个变量ttxty关系，间接地确定y与x之间的函数关系例6.

xacos3aayasin32注：x

y a3例7.摆线（旋轮线y1cosxty1cos

（t表示圆滚动的角度2（圆沿直线滚动时圆上一定点的运动轨迹 在平面内任取一定点O，称为极点从O出发引线Ox，称为极轴，系

设M线段OM的长度为rM的极径Ox到OMM的极角有序数组（r,）称为MrxMMrxO一一对r0,023 3 3,4C3,4

6CEA3 3 6E3, 6

B 注2：xrcosMrx yrsinMrxx2x2 arctany

例 求圆心是(R,0)，半径为R的圆的极坐标方程解：该圆的直角坐标方程为（x-R)2y2M即：x2y2设M(r,)OM OA在直角三角形OAM

OM

OA r=

xryr

x2y22Rx，r2=2R r=Oxx2+y2= r=OxOx2°圆心是(0,R)，半径为R的圆的方程：x2+y2=2Ry r=2RsinOxOx3°圆心是(0,0)，半径为R的圆Oxx2+y2= r=示θ=常示 螺线（等速螺线动点P的轨迹：点P沿动射线OP等速率运动的同时，射线OP以等角速度绕点O旋转.

ra(a例 双纽线 a

r cos2(ax2y22a2x2y2

(ara(1cos ra(1cosra(1sin ra(1sinrsin2sin5四、复合函数与反复合函定义3.设函数y=f(u)的定义域为U,u=g(x)的定义域为D,且其值域是U的子集，则y=f[g(x)]为定义在Dy=f(u)，u=g(x)的复合u称为中间变量yf(u),uug( x

g(D) yf[g(x)],xggDf注:1°构成复合函数的条件g(DU不可少1 yarcsinu,1

yarcsin

xD[1,3]∪[3,111 yarcsinu,u2x2不能构成复合函数2°两个以上函数也可构成复合函数u y ,u0；ucotv,vk(k0,1,uvx,x(,)

coox2y x(2k,(2kcoox23°

f(x)x

x

g(x)x x2 x求f[g(x)]和g[f(x解：f[g(x)]gx

g(x)1x1

x1g2(

g(x)

(x1)2

x1 x g[f(x)]=f(x)-

x xx2

x

y arctan(e2x1u解 y1 uarctan(e2x1u

ve2xvew w2x函数由y1 uarctan vew w2xu 设函数y=f(x)的定义域为D, 值域为Y，若对Y中任一值y,都可以通过关系式y=f(x)在D中唯一确定一个x与它对应，则得一定义在Y上的以y为自变量，x为因变量的函数，称为y=f(x)xf1(y