相似形综合题解题方法与技巧

相形图解方图典难1中点或过分点作行线例.已知：如图2-1-1，是△的中线．求证：(1)若E为的中点，射线CE交AB于F，求

；(2)若E为上的一点，且

1AF，射线CE交AB于F，求图2-1-11图解思规范解解：如图2-1-2，作∥AB交CF于，(1)∵AD是△的中线,1CD1CDBC,即.2BC2∵DG,∴△△,

GDG∴.BF∵E为AD的中点,∴ED,

图2-1-2∴

.∵DG,∴易eq\o\ac(△,证)EAF,∴∵

AF.DGEDDGAF1BFDGAF1∴.BF2(2)∵AD是△的中线,∴

CD

BC,CD1∴.BC∵DG,∴△△,DG∴.BF∵E为AD上的一点，且∵DG,∴易eq\o\ac(△,证)EAF,

1,∴

AFAE.DGEDkDGAF1∵,BFDGk∴

AF.BF2k解后反本题的解题思路分为三步走：第一步，使用“过中点（分点）做平行线”的方法，在原图中构造出了两个基本图形（一个正A字，一个正8形第二步，分别证明两对三角形相似，再由相似三角形的性质得到对应边成比例，同时根据中点或分点条件得出对应边的比值；第三步，综合两组对应边的比值，利用等式性质得到新的比值本题还有另一种辅助线的作法.也分为三步走：第一步，使用“过中点（分点）做平行线”的方法，如2-1-3，CF交AB于，同样构造出了两个基本图形（A字形，如图、和另一个A字形，如图二步，根据平行线分线段成比例定理，同时根据中点或分点条件得出对应边的比值

AFAE和；第三BFCBFGAFAF1步，综合两组对应边的比值，利用等式性质得到新的比值.BFFGBFF

F

G

图2-1-3

B

D图2-1-4

C

图2-1-53触类旁1.已知，如图2-1-6，是边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且＝EC．求：AF与的比．图2-1-62.已知，如图2-1-7，中，︰EB＝3，＝21，与CE相交于F，.AF求：的值．FD图2-1-73.已知，如图2-1-8，中，︰EB＝3，＝21，与CE相交于F，.求：

的值．图2-1-84.已知，如图2-1-9，是△的中线，E是AC上任一点，交AD于点，数学兴趣小组的同学在研究这一图形时，得到如下结论：当AO时，AE:=1:3;当AO时，AE:=1:5;当AO时，AE:=1:7.请根据上述结论，猜想：AO=1:n+1时(n时正整数:的一般性结论，并说明理由．

EO

DC图2-1-942二次相似问题例1.已知：如图2-2-1，梯形ABCD中，AB∥，E为中点，直线交AC于F，交的延长线于.求证：EF·BG=·EG

图解思

图2-2-1规范解证明：∵∥CD，eq\o\ac(△,∴)∽GAB，∴

GEDE.GBAB∵∥CD，∴易eq\o\ac(△,证)∽△，EF∴FB

.∵E为DC中点，∴EC=

，∴

ECAB

，5∴

，∴EF·BG=·解后反本题的解题思路分为两步走重点考察第一步从复杂图形中找出基本图形的能力；第二步，找到基本图形后证明相似，再结合条件和求证，得到合适的对应边成比例，再把比例式化成乘积式.例2.已知：如图2-2-2，在中，°⊥于H，以和AC为边在△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△是否相似，并说明理由．图解思

图2-2-2规范解证明：判断：△∽△∵∠BAC°，⊥，6∴∠＝°，+∠＝°，+∠HAC＝°，∴∠HBA＝HAC

，∴△△AHC

.∴

AC

.∵等边△ABD和△ACE，∴=，

，BH∴

.∵等边△ABD和△ACE，∴∠＝＝°，∵∠HBA＝HAC

，∴∠∠∠CAE，即HBDeq\o\ac(△,∴)∽△

.解后反本题的解题思路分为三步走：第一步，根据两对角相等的条件找出相似基本图形并证明；第二步，根据求证找出另一对相似基本图形，并根据第一对相似性质结合条件得到新的两组对应边成比例；第三步，利用两组对应边成比例且夹角相等的判定，证明另一对三角形相似.解决问题的关键有两点：一是根据已知和求证找到两组相似的基本图形；二是能根据第一对三角形相似的两组对应边成比例，结合条件得到新的两组对应边成比例，证出另一对三角形相似.例3已知：如图2-2-3是△内一点，E是△外一点，∠EBC=DBA，∠=∠DAB求证：∠∠．7图2-2-3图解思规范解证明：∵∠=∠，∠=∠，∴△EBC∽△，∴∴

BC

BC

,.∵∠EBC=∠，∴∠EBC∠CBD＝DBA∠CBD，即∠EBD＝CBA.∵

BDBCBA∴△∽△，∴∠∠.82222解后反本题的解题思路分为三步走：第一步，根据两对角相等的条件找出相似基本图形并证明；第二步，根据求证找出另一对相似基本图形，并根据第一对相似性质换比得到新的两组对应边成比例；第三步，利用两组对应边成比例且夹角相等的判定，证明另一对三角形相似.解决问题的关键有两点：一是根据已知和求证找到两组相似的基本图形；二是能根据第一对三角形相似的两组对应边成比例，换比得到新的两组对应边成比例，证出另一对三角形相似.例4已知：如图2-2-4在中，∠＝，⊥于求证：AC∶＝AD∶图2-2-4图解思9，，，，规范解证明：∵eq\o\ac(△,Rt)中，∠＝90°，AB于∴∠∠ACB＝90°∵∠A＝∠A，∴△△ABC，∴

ACAB∴AC

2

.又∵Rt△ABC中，∠C＝90，CD⊥AB于D∴∠BDC＝∠＝90°.∵∠＝∠，∴△CBD∽△，∴

BCBCBD，ACAD∴BC2解后反此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形这个基本图形中，有两对相等的锐角（∠＝∠CBD∠B＝∠ACD三个直角（∠＝∠＝∠＝°个三角形都相似共三对（∽△CBD∽△ABC.三对相似可以得到相应的比例式例式还可以化成乘积式三个乘积式的形式较为特

2

BCBD2）.双垂直图形”在证相似三角形中非常重要，请同学们重视此图，记住相应结论这些结论对于复杂证明题找到证明的思路是很重要的.触类旁1.已知，如图2-2-5在△APM的边上任取两点，C，过B作的平行线交于N，过作MC的平行线交AP于D．求证：PA∶＝PC∶PD．图2-2-5102.已知，如图2-2-6，如果E，F分别在，，上，且AC，∥BC．求证：(1)OD∶OA＝OB；△△OAB；△ABC∽．图2-2-63.已知，如图2-2-7，、CE为△的高.求证：∠∠ACB．图2-2-74.已知，如图2-2-8，△中，∠BAC＝°BC,是的中点，交AB延长线于FDF求证：AC

FBDAE图2-2-8

C113相似的性质例1.已知：如图2-3-1，三角形是一块锐角三角形余料，边BC＝，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在AB、上，这个正方形零件的边长是多少？

AB

C图解思

图2-3-1规范解解：如图2-3-2，设正方形为加工成的正方形零件边在上，顶点P、分别在、AC上.△的高与边PN相交于点E，所以是△APN的高.设正方形的边长为毫米.∵四边形是正方形，

AN∴∥BC，===

，AE=80∴△△ABC.∴.BC

B

Q图2-3-2

M80∴.80120解得：48（毫米）.答：加工成的正方形零件的边长为毫米.12解后反此题用三步解决：第一步，把所需正方形按题中所述要求画出；第二步，运用方程思想并根据正方形条件，设正方形边长x，用含的代数式表示△的高；第三步，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列方程解决问题这道题可以变式扩展，若把例题中的三角形余料，加工成矩形，且=2时，是多少？提示：设PQ，则PN=2.由

2240可得，解得：x，BC801207∴PN=

480480（毫米答：加工成的矩形零件的长为毫米.77例2.已知：如图2-3-3，Rt△中，AC＝BC＝3DE，若△的面积与四边形的面积相等．求CD、DE的长．图2-3-3图解思规范解解：∵Rt中，AC＝BC＝3∴AB＝．1322∵

eq\o\ac(△,S)

CDE

＝S

四边形

，1∴，2CAB∵DEAB，∴△∽△CA

1.2CD∴，CA2

22

22.∵△∽△∴∴

CD.CAABCDDECA2∴DE解后反

522此题的解题关键有两个第个是把面积相等的条件转化成相似三角形的面积比；第二个，是运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这条性质，把面积比的条件转化成对应边的比.例3.已知：如图2-3-4，△中，∠A＝°，AB＝AC，是∠ABC的平分线．求证：AD＝·；若AC＝，求．图2-3-4142222图解思规范解证明：(1)∵△中，AB＝，∠A＝，∴∠ABC＝＝°．∵BD是∠的平分线，1∴∠DBC＝＝∠ABC＝°，2∴∠BDC＝C＝°．∴∠DBC＝A．又∵∠＝∠C．∴△∽△CDB，∴

CDCB

，∴CB＝CD·AC又∵∠BDC＝∠，∠＝∠，∴CB＝BD＝∴AD＝CD·AC152222222222(2)∵＝CD·AC，AC－AD，∴AD＝（ACAD，∴AD＝AC－·，，设

AC

，到方程k2，k2解得k

2

5（舍负2

52∵AC＝，∴AD＝

．解后反此题的第一问求证的乘积式，就把证明方向指向了“包含公共角的相似基本图形如图2-3-5，这个基本图形的证明同学们要熟练掌握，根据相似比例式得到乘积CB＝CD·；再加上此题的条件是顶角36°的等腰三角形，通求角度就可以进一步证明CB＝＝，等量代换得到

2

＝CD·AC此题的第二问看似困难实际并不难.一看到条件是顶角36°的等腰三角形有底角的角平分线，就提示咱们要联想黄金分割、黄金比、黄金矩形的相关概念，利用求黄金比的方法求出对应边的比值，从而求出第二问类似的条件还有五角星或黄金矩形.D

图2-3-516BEFBEF触类旁1.如图2-3-6，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD交于E，且BC＝10，AE＝16求△的面积．图2-3-62.如图2-3-7，梯形中，∥CD，对角线AC，交于O点，若

eq\o\ac(△,S)

∶

eq\o\ac(△,S)

＝23，求

eq\o\ac(△,S)

∶

eq\o\ac(△,S)

．3.如图2-3-8，中，E是边上一点，BE(1)求△的周长与△的周长之比；

图2-3-7EC,,AE交于F点．(2)若△的面积＝6cmeq\o\ac(△,S)

2

，求△的面积

eq\o\ac(△,S)

．图2-3-84.如图2-3-9，矩形是黄金矩形（以矩形的一边为边在矩形内做出最大的正方形，剩下的矩形两边的比等于原矩形两边的比＝，求AB．EDF图2-3-9

174相似综合问题例1.已知：如图2-4-1，在△中，∠＝90，P是上一点，且点P不与点A重合，过点P作PEAB交于E，点E不与点C重合，若＝10，＝8设＝x，四边形的周长为y，求y与的函数关系式．图2-4-1图解思规范解解：∵，∴∠＝90°∵∠＝90，∴∠＝∠．18∵∠A＝∠A，∴△△ABC，∴

．ACBC∵在△ABC中，∠＝90°，＝10，＝8，∴BC＝6，xPE∴．86103∴x,AEx,4∴PB10x,

54

x．∴的周长y3∴y．2解后反

3xx，4本题是一道常见的相似与函数综合的问题.解题的关键是在证出相似的基础上得到对应边成比例，在此基础上根据条件用含的代数式表示相应的边，最终得到函数解析式．本题得到的是一次函数解析式，有的题目会得到二次函数解析式．当题目问何时函数有最值，最值是多少时，就表明此题的函数是二次函数，得到函数解析式后用到配方法就可以求出最值解决问题．例2.已知图2-4-2Rt△绕点A顺时针旋转得到的结CC斜边于点E，延长线交点F．证明：△ACE∽△FBE；设∠ABC∠CAC试探、满足什么关系时，△与△是全等三角形，并说明理由．19

FC图2-4-2

B'图解思规范解证明∵ABRt绕点顺时针旋转得到的，∴AC=∠C∴∠CAC∴∠ACC又∵∠AEC∠FEB，∴△ACE∽△.（2判断：当时，ACE≌△．∵在△ACC=ACACC'

180'2∵Rt中，∠ACC=90°，9090

，∴∠BCE．∵∠ABC，∴∠ABC=∠，∴CE=BE．由（1知：△ACE∽，∴△ACE≌△．20解后反这是一道相似与图形变换做条件的综合考题.根据旋转变换对应边相等、对应角相等、旋转角相等的结论，得到了两个等腰三角形这两个等腰三角形的角对应相等，可以证相似.根据这两个等腰三角形的对应角相等，得到新三角形相似，证出第一问本题第二问是利“若相似三角形对应边相等则三角形全等的原理倒推出的条件的本题的条件是旋转变换，有些题可能与轴对称变换或平移变换综合考察，各位同学要学会利用相应变换的结论解决相关问题例3.已知：如图，梯形中，∥∠＝90°＝，BC＝，＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△与△相似，求的长及它们的面积比．图解思

图2-4-3规范解解：连接，若∠APD＝°，∴∠APB+9021ABPCD3ABPeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)ABPCD3ABPeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)∵AB∥∠B＝90∴∠+∠APB＝°，∠＝∠C＝°∴∠＝∠∴△ABP∽△.AB∴，设BP=，∵AB＝，BC＝11，DC＝∴=11－x，3x∴，116整理：xxx

P

图2-4-4解得：=2或x

图2-4-5

P当BP＝时，如图2-4-4，

，∶＝∶eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)当BP＝时，如图2-4-5，，：＝∶．CD2若∠APB＝∠∵AB∥∠B＝90∴∠＝∠C＝°，∴△ABP∽△.∴

ABBP，CP设BP=，∵AB＝，BC＝11，DC＝∴=11－x，

P图2-4-6∴

3x，611整理39x3322ABPCD22ABPCD22解得：x

∴当

113

1时，如图2-4-6，，∶＝1∶eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)解后反本题是一道开放性问题.开