信号与系统课件

SIGNALSSIGNALSAND信号与系中国传媒大信号分析与信息处理教学中第三章连续信号与系统的频域分析3.1周期信号分解 叶级3.33.43.5一些常见信号的频域 叶变换的性质及其应3.73.8连续系统的频域分3.9信号的无失真传输和理想滤3.11本章要作 返连续信号与系统的频域分析概述返这一认识来源于对波形正弦信号是最常见、最基本的信号正弦信号便于产生、传输和处理 性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理叶变换的性质频谱分 直观、方便地从另一个角度来认识信号频域分析 求解系统在任意信号激励下的零状态响应其 频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理3.1周期信号分解 叶级周期信号的表f(t)

f

nT

T为该信号的周期，是满足上式的最小非零正0

2，为该信号的角频率T周期分别T1,T2的两个周期信号相T1,T2之间存在最小公T时，所得到的信号仍然为周期信号，其周期为T。即T=n1T1=n2T2，其n1n2为整数，或者说为有理数返

2

3cos(23

5cos(76

2解：

7为有理数f1(t)为周期信4其周期T是1,的最小公倍12

f2(t)

1)5sin(t2

2,

f3

2t1)

7

2t2

232

262

,

2f3(t)3周33.1.1三角型傅里叶级以T3.1.1三角型傅里叶级

f(t)，若满足狄里赫勒条在一个周期内只有有限个不连续点在一个周期内只有有限个极大值、极小值T在一个周期内绝对可积，

f(t则可则可以展开为三角型傅里叶级

dt1f(t)1

(an

cosn0t

n0t)其中

T

fanT

f2T2

nT返回 T

(t)

n0

n0

2为基波频率，n0为谐波频T

和

叶系数[]dt表示从任意起始取一个周T为积分区Tan

n所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的f(t)其

An

nAn

直流分量n次谐波振幅n

arctg(bn

n次谐波初相偶函数

f(t)

f(t，则只含有常数项和余弦项..

f(t)0

..ta0

22

f(t)dt 偶函数在对称区间 积分为半区间积分 4 co(s) 两倍T Tdt00dt0 2f(2f(

奇奇函数在对称区积分为零奇函数

(t)

(t)，则只含正弦项f(t) T T 2T

f(t)dtTan 2

bn

T042 f dtT033f(tf(tT2，则只含偶次谐波。周期本来就是T/2f(tf(t).... Tt4奇谐函数

(t)

(t

不包含直流分量和偶次不包含直流分量和偶次谐波ff..T20T2..t3.1.2指数 叶级由欧拉公

1e

ejn0t

cosn0t

1e

ejn0t2j

2 代入三角形傅氏级数，a

jn

a

jnf(t)

n

n n n

nn

Fejn0t式中Fn

an

Fn

an

F 是一对关于变量n0的共轭复数

a0

A0是实数。()

0

njn0t

0

考虑

于

f(t)

n

jn这就是指数 叶级数，其系TTFn 2

一般情况下Fn是关于变量n0的复函数，称为指 叶级数的复系数，可写

Fne

Rn

注意

a0

为直流分量，一般情况下要单独计算负频率分量的出现只是数学上的表达，没义

n

Fn

n

2Fncosn0tFn

(t是实周期信号时

和Fn互为共轭复数，Fn

,

Rn

Rn

InIn 叶复系数Fn的模和实部

n0的偶函数的相角和虚部是n0的奇函数

f(t是实偶函数时

Fn是实偶函数f(t)是实奇函数时，则Fn是虚奇函数Fn的计Fn的计算公式可以证明1指数型和三角 1

Fe

2(an

2

e

(nn n

1An

bnn

(nF0a0

(nf

TT

注意：指数型和叶级数中，n的值范围不同Fn

f(t)e2

jn0tdt物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多波分量之和 返例：试将图示周期矩形脉

fA信号f(t)展开为(1)三角型 指数 叶级数

2 f(t)

a0T

2f(t)dt 2

2Adt anT

f2

dtT

20 4

2Asin(n0

f(t)

2Asin(

)cosn0t (2)指数型傅立叶级FnT

2f2

jn0tdtT

22

jn0tdtee 2

n02

A

n02 2

2令x

xSa(x)

称为抽样函数或取样函f(t)

jn0t

ASa(

)e

Sa(x)

Sa(0)

sinxxSa(x)12 Sa(x)12 x

的规律衰减，并x，2，Sa(x)dxf(t)

A0An

nFnejn0t

ej(n0tn说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加里叶系数An

Fn反映了不同谐波分量的幅度，n或n映了不同谐波分量的相位返周期信号的单边频谱和双边频单边频谱单边幅度频谱单边相位频谱

~n0)~n0)

f(t)

n,双边幅度频谱

~n0

f(t)n双边频谱双边相位频谱n

~n0不同的周期信号， 叶级数的区别在于T不同，所以基波频率02率n0也不同 各（ 量的数目不同幅

Fn）不同，相位n（n）不同例如某周期信号 叶级数()

)

2

20

1

10

单边频谱 双边频谱

单边幅度频 双边幅度频2

20001

1

单边相位频

双边相位频F0

，

2

(n三角 由于

当f4(.)

是实信号时，双边幅频

偶函数，双边相位频

是

的奇函数5谱线只在基波的整数倍处出现。（例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和频谱f

(t)

2

cos6t

3cos9t2

233解 (1)单边频33f(t)2

cos6t

cos9t2

22

36.9)

5102 5102 369n3030369(2双边频f(t)2

36.9)

60)

3022.5[ej(3t36.9)ej(3t36.9)ej(6t60

ej(6t60

0.5[ej(9t30

ej(9t30)0.5ej30e

ej60e

2.5ej36.9ej3t2.5ej36.9e

ej60e

0.5ej30e双边幅度频谱

2

双边相位频谱

例：已知例：已知某周期信号的单边频谱如所示，试写出该信号的时域表达式并画出其双边频解f(t)1612cos(3t16双边频谱168

8cos(6tn2n26129630 2

4)4cos(9t

n 2

6

双边幅度频 双边相位频下面以周期矩形脉冲为例，说明周期信号频谱的特f(t)

A

f n

(设

2Fn主峰高度

2

F0T

T第一次过零点z z0~z

0

频谱特离散谐波幅度收敛

TT频谱的关

0

主峰高T

；过零

；谱线间0 不变TT

主峰高度

A；过零点

02T当T

时周期信号非周期信连续频谱主峰高度，但频谱包络线的形状变。周期信号的功率周期信号的平均PT

2f2(t)dt

2f(t)[T

Fnejn0t]dt TFn[T

2f(t)ejn0tdt]2

Fn

A或P

2

n 2 称为帕什瓦尔定理或功率等式表明周期信号在时域中的均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和

随

变化的图形称为周期号的功率频谱简称功率谱 返例：图示周期矩形脉冲A

T

和功率谱，并求出其在有效频带宽(0

2

内的分有的平均功率占整个信号平均功率的百A

f解:0T

Fn

ASa(

2n在时域中求得信号的功率n

频TP

f2(t)dt1

21dt2 在有效频带宽度(0~内 分量所具有的平均功率

0

P'

55

552Sa2

Fn

功率

0.1806100%90.3%

0

叶级数 叶变周期信 非周期信

T (t)

n

e

(t)e2

jn0tdtT

时T

而

2

f(t)ejntdt

(

可能为有限值 返()

jnt

1

F

n

)(

F(j)

limT

f(t)ejn0tdt2T2T2f(t)ejtdt

—称 叶正变换或傅变记作F

F[

(t)] f(t)F1[F()]或f(t

F() 返频谱函

F()

的物理意义及其自身特周期信号的指数

周期信号可以分解为无多个频n0、复振幅为Fn的指数分量

e

的离散和非周期信

， ，复振幅为非周期信号可以分解为穷多个频率 () ，复振幅为的虚指数分量e

的连续和（积分）F()

2Fn

0 f0为单位频带的复振幅，为频谱密度函 返()

dt

一般情况下是关的复函数，可以写

上

线为幅度频当f

F(ω)

线为相位频

如果F

表示为F

I)

RFjF

F()

之间的关系

T

Fn

奇、偶函数F

当f(t)t的实偶函数时， F()f(t)costdt

f(t)costdt

的实偶函 f

的实奇函数时

(())sin

的虚奇函对于任意的实信号

(t)

fe(t)

fo fe(t)

R()

fo(t)

jI叶变换的存在狄里赫勒条件修在(

)只有有限个不连续点

((

)只有有限个极大值、极小值F

f)()

dt

dt 一些常见信号的频域分 返1.矩形脉

f(t)

A

(t)0

tA2At2

fA F

T

n0

n0

F 2幅度频谱

F()

Sa(2

0 )

(相位频谱

0()

Sa

返

2

0 2.三角形脉2.三角形脉t

fAA1 t f(t)A2(t) t

F(

0

(t)costdt20

2

costdt

2 tAF()AF()402Asin

2

04

2()2

ASa2(2幅度频

F

相位频谱为单边实指数脉

f(t)

Aet(t)

(

Af(t)F()

f(t)e

Aet(t)e (j

A Ae(A 000AA

A

j)

F 幅度频 F()

2

相位频谱

()

arctan 2 2双边实指数脉

f(t)

Ae

(

Af(t)F()

A

tejtAee Aee0Aee 0Aee

2AF()02AF()02 2幅度频

F() 相位频谱为符号函

Sgn(t)

tt

1

t Sgn(t)

lim[et(t)et(t)]

FF()

lim

0 j 幅度频谱F()

2相位频 ()

2(t)0t(t)0tF( (t)ejtdt1（白噪声F(F()10反变换

(t)

有有

jxydx

(y)f(t) f(t) 0tF()(20设F()(20则F(

ejtdt

(虚指数信

e

F()(2F()

j0te

dt

j(

)tdt

0

0正弦、余弦函数 变换

F()cos0t

12

j0t

[

0

0)]

0

0sin0t

1(ej2

j0t

j[

0

0)]

0周期信号 叶变

fT(t)

FF() F

jn0t

n(t)

n

Fnn

n0 例如T

(t)

m

T(t)

TT

T0 T

0

F()Fn

2

jn0tdt

Fnn

n0

00(

001

(t)

1

1 2 可以表示为

0 2(t)

1

I

F(

()

I

2I()

脉冲(钟形脉冲

(tf(t)

(

F()f

jtdt

Af(t)

e(

jtdt t2t2

()2可见 脉冲信号的频谱仍 脉冲，A

时，

F()

，则

F(

) 这两种描述方法的纽带就是叶变换。和计算感到时，可以利用叶变换的性质转换到另一个域中进行。另外，根据定义求取叶正、反变换时，不可避问题，而利用叶变换的性质则可以简捷地求得信号的叶正、反变换。返 返1线若f1(1线

f2(t)

则

bf2(t)

(a,b

为常例f(t)例

f1(t)

f2(t)1

t

2f1(t)

2(t)00

tt

F1()Sa

2f(t)2102f(t)2102

g4(t)

t

4Sa2f(t)

f1(t)

f2(t)11111t

F2()

F(Sa2

4Sa(21f2(t)1f2(t) 22对称若f(tF2对称则F

(t)

F()e

(t)

F(

()

F(t)e若f

为偶函数，则

()

f()，有F(t)

例如，求直流信号的里叶变换。 f

1

F( F

1

(

2(

2(例3-6-2试求取样函

Sa(t)

sint

的频谱函数解：

F(t)

f(t)

(t)g g

Sa()

F F(t)

Sa(t)

1

(t)

22 2210

t

g2(1比例性（尺度变换若f(tF(则f(at

F F

（a为非零实常 a

f(at)

(at)e

jtdt jx

f(

a

dx

1F

a同理可证，

(at)

F F a综合上述两种情况，(at)

F F a 若a

f(t)

F()

(at)

(t)沿时间轴压缩（或扩a倍而FF()沿频率轴扩展（a倍。a以矩形脉冲为例，设脉宽度，其频谱的有效

，即脉宽与带宽的乘积一个常数。在通信术中，为了提高通信速（每秒内所传送的脉数），减小脉冲宽度和希望减所占用的频带宽度是对时移

若f(t

F( 返则f

t0

jt0F证明：根 叶变换定义，有

xtt0

j(xtf

t0)

f

t0

dt

f(x)e

dx

f(

jxdx

ejt0F(或：根 叶反变定义，有f(t

)

F()ej(tt0

1

F(

jt0e

即f

t0)

F(

表明函数在时域中的时，对应于其频谱在频中产生附加相既有时移又有尺度变 返若f(t

t

j则f(att0

f

a

)]

F a(a和t0为实常数a

(t)的频谱F()f0(t)表示中间的单个矩形脉信号

fAf 0(t)F0()f

ASa(2

2f(t)f0

T)

f0(t)f0(tT

频谱P107

(t)的频F()

F()

1

jT)

2

2cosT频移性（调制定理 返若f(tF(则f(t)e

F

0证明：根 叶变换定义，有f

(t)e

j0te

jtdt

(t)e

j(0)dtF(00ft在时域中乘以e0。0

1

，对应于F

在频域调制定

f(t)cost

[F22j2

0)

F

0f(t)sin0t

[F

0)

F

0幅度调制（振幅调制

乘法

(t)

称为调制信号

f(t)

y(t)正弦或余弦信y(t)

f(t)

—称为已调制信

f

P108例3-6-t

AF 频分多路复f(t)t

F[A20

66卷积定(1时域卷积定若f1(t

f2(t)

则f1(tf2(t)

f1(t)f2(t)f1()f2(t

f1(t)

f2(t)

f2(t

)d dt

(t

)

F2()

例 例

12(t)12(t)01F[g1(t)]

2F[2(t)]F[g1(t)g1(t)]F[g1(t)]F[g1(t)]

2

Sa 2

2

2在系统分析中，利用时卷积定理求解零状态应将方便yzs(t)

x(t)

Yzs()

X()H(频域卷积定 返1若f1(t)F1 f2(t)F21则f1(t

f2(t)2F1()

Ff1(t

f2(t)f1(t)

f2(t)ejtdt

两个信号相乘

()e

f2

jtdt

当其中一个信号的谱为冲激函数时，用频域卷积定理求

频谱是十分方便的

f2(t)e

j()tdtd

如f(t)e 1

f(tcos0t等。

7.时域微分和积(1若7.时域微分和积(1

F(则df(t)dt

jF(

f(t)

F()edf(t)dt

F

je

jF()e df(t)dt

dnf(t) 推

j)

F(2若f(t(2t

F(1则

()d

F

()

F(

(t)

ttF()[()

式中，

F(0)

F()0

f

dt0

(t)dt 当F

0时，则f()d

F(利用时域微、积分性质计 叶变 返当

f

为常数时，其频F()不易求得，设tf'(t)

g(t)

G(，此时计F()的公式推导如ttg()df'()dtt

f(t)f G(0)()

1

F()

将G(0

f'(t)e

f

f()代入上式，整理

G(

()

f()(

微分冲激法设f

nt，则

f

f'(t)

sgn'(t)

g(t)

2G()，代入公式FF()G()f()f()(得sgn(t) 3.5节中求符号函数频谱的法不是很妥当，(t)就不能这样做，否则会漏掉其流分量。当f(

f()

时，才F()

G()当f

()为常数时F()

G(0)例3-6-6例3-6-6求图示信号的频谱

(t)求导，得

'(t)如

f1 f'(t)

g(t)

G()

Sa2 2 F()F()G()f()f()(

，

0，代

f'(t)

g(t)Sa

2 得F(

()例例3-6-7

(t)

'(t)如图f'(t)

g(t)

fG()

e

3e

3e

6jsinj2sin 又f(

f

1，代入公式

2

得F(

f'(t)112t

2sin

2(6Sa(

4Sa(2)

2(8.8.频域微分和积(1若f(tF(则(

jt)

(t)

dF()F(

f(t)ejtdt

dF(

jt)

(t)e

jtdt

jt)

(t)

dF()写成实用的形式ddn

tf(t)

dF() ndnF()

f(t)(j)(2若f(t(2

F(f

(t) 则

(t)

jt

F证明：

F()(t)

(利用对称性，有

再利用频域卷积定理

(t)

f(t)

即

(t)

f(t)

FF例3-6-8试证明下 叶变换对成立

tn2jn(n)

tn(t)

(

jn(n) 由 F

()(根据频域微分性f jt)n

tn

jn

由于(t)

()，根据频域微分性质

jt)n

(t)

dnd

( tn(t)

(j

(n)(例3-6-9试证明下 叶变换对成立(1)

(2)

由 ftt

F利用对称性

f

再利用线性

(1)的结论，再利用时域微性质，可1 t

jsgn()]sgn( t2叶变换性质的应 返例：

试

解法一

(t) (1t)

(1

f

1)]

根据频域微分性，F1()F[f1(t)]F[tf(t)]

dF() 根据时移和尺度变换的质，有f1[(t1)]F1()e

dF()e (1t)f(1t)

dF()

e

d()

(1t)

(1t)

f(1t)

(1t)f(t)F()f(1t)

f

1)]

F()etf(1t)

jd[F()e

jj[dF()

ej

jF()ejjdF

e

F()e(1t)

(1t)

jdF

e图示信号的频谱

f21f(t)求导，得f'(t)

根据典型信号 变换以及时移 tf Sa)(2)'(

f'(t)12

()

根据时域微积分的性 F()

j2(例求单边正弦信号和单边余弦信号 叶变换

2

[()( [()(0 0同理可 j

00 0

知信号

的频谱F()

如图所示

F试写出其时域表达式解：(1)利用对称性求设F0(t)如图所

0

0 则

有F(t

0)

0)

F[F0(t)](e

F(t)

f(t)

1F01F0 设F0()如图所则F0(t

即f0(t)1有F(

0)

0)

f

2f0(t)cos0t

利用频域卷积定理求F()

F0()[

0

0f

F1[F0()]F1[

0)]

1t)

1[e

ej0t]

1t)cos0t例求d[e2(t1)(t例dt解：e2(t1)

e2e2t

根据时域微分 d[e2e2t(t)] dtejt(t2

j解法一：根据时移性

e根据频移性

ejt

ej2(解法二：ejt

ej2

ej2(例已知如图信

t 求信号

t

)

f(t)2f0(t)如图所示则f0(t)

1f(2t)

f(2t)

1F( )

F(41

2)1

f1(t)

f0(t)[(t

)(t )]

f0(t)j j F1

2

F0

[F(

)F(2

222222[R()jI())jI(222222[R()jI())jI(f(t)为实F()

F(F )2

F( R()2

I()2

I(2F()

R()jI()]cos[R(

jI( )cos 能量谱密E

2(t)dt

f(t)[

F

f(t)ejt

F()Ff(t)为实函数时

F()

F()，1E1

F()

2d

F()

2返 称为帕什瓦尔等式，或能量等定义Ef(

F()

为能量谱密度，简称能量显然，能量谱只与信号的幅度谱有关，与相位谱无如f(t)A

F()

F()

能量谱密Ef是单位频带上的信号量，它的单位Js例如：矩形脉冲信号(0

2内所有分量的总能量E

()

F()

在(

~

)区间的积分值。 利用帕什瓦尔等式可以帮助我们计算一些积分f2(t)dt

F()

2例如单边指数信

f(t)

et(t)

在时域中计算其能量E

f2(t)dt

je2tdt 1 1在频域中计算其能量E

F()

2

10 10

2d所以，有

对于一个脉冲宽度

的矩形脉冲来说，它的谱存在零交点Z

，其主要分量的角频率布在

~Z之间。因此定义信号的效带宽为

Z

1但是对于一般的信号来说，例如脉冲，它在时有效脉冲宽度

定义为：在时域中绝大部分能所集中的那段时间，可以表示22

2(t)dt

（一般取90有效频带

定义为：在频域中绝大部分能所集中的那段频带，11

F(

2

频带宽度（带宽）的乘积都是一个常数，即两者成反 叶变换分析由线性时不变系统的数学两边取傅氏变换，并利用时域微分性质返H()X称为系统的系统函数也称频率响应特叶变换分析法的步骤求取激 叶变 确定系统的系统函数H()计算响应 叶变换Y()

X()H()取Y()的反变换，

y(t) 返系统特性的频域表

H(系统函

H()描述了系统在零状态条件下，响应 系统函H()的物理意系统函

H()是冲激响

h(t) 叶变当x(t)

时，

x(t)

h(t)

(t)

h(t)X()

Y()

X()H()

H(说h(t)和H()是一对 叶变换对，们分别从时域和频域两个方面表了同一个系统的特性(2)(2)x(t)ejt(ty(t)

h(t)x(t)

h(

j(t)d

h(

jejtH(响应（此时也是全响应）仍为同频率的虚指数信号激励乘以一个与时间t无关的复函数H()，结果是将

倍，相位上附加一

(3)当激励为一般信号时x(3)当激励为一般信号时

X(

jtd

X(

jt

说明信x(t)可以分解为无穷多个频为，复振F(

的虚指数分e

的连续和（积分）。x(t)

X(

中的每一个分量X中的每一个分量分量为

eee

H(，相应的响把无穷多个响应分量加起来，便得到，相应的响h(t)x(h(t)

y(t)

x(t)h(t) H()XH()

Y()

X()H()系统函

H()的求解方从微分方程直接求解(方程两边 叶变换对系统的冲激响应 叶变换h(t)

H()设激励为ejt(

),求系统的零状态由零状态电路的频域模型模型求例3-8-1已知描述系统的微分方程

3y'(t)

2y(t)

x'(t)

求系统函

H()解：(1)对微分方程观察，可直接H()

j(2)由第二章的方法，先求得冲激响应h(t)4et3e2t(t)对冲激响应 叶变换，H()

jj1 j

(j)23j实际上，很多情况下是反 ，用来

h(t)的

则响

代入原方程j2ejtH()3jejtH()2ejtH

5e可 H()

jj23j

例3-8-2：求图示电路的例3-8-2：求图示电路的系统函数H()CR

i2(t)I2()

R

I2(jL(R

jC1

1 (j)2RLC

H()

YX

I2()

(j)2RLC

当然，还可以从系统函数写出系统的微分方程系统的频率特 返H()的复函数，可以写H()

H()

j(其中，H()随变化的特性称为系统的频特性()随变化的特性称为系统的频特性总称为系统的频率特性。若h(t)为实函数，H()H()，故H()H(()(X()的激励信号改变为频谱密度为Y()H(X()响应信号，改变的规律完全由系统函数H()例如RC例如RC低通11 1H()

x(t)

y(t)R

1

1 其中 RC

称为半功率点角频率或止角频率112C1H()0//幅度频谱

H()相位频谱

()arctg C低通滤波器的通频带为0~与信号的频带宽度定义不例3-8-3试用 解：激励

x(t)

(t)

X

() 系统函数

H()1

X()H(

[()

1]1 11

()

j1

()

1

RC例3-8-4若系统例3-8-4若系统的微分方程已试求系统的完全响

用频域分析法求零状yzs(t)该系统的齐次微分方程

全响

y(t)

yzs(t)

yzi(t)例：求系统在周期信(t)cos0t激励下的稳态响X(F[cos0t[(0

0)]Y()H()X()H()ej()[

0

(0H(0)

j(0)

0)

H(0)ej(0)

0)j

)e

j

e)ey(t)

H(0)

2

H(0) 2H(0)

H(0)，(0)

y(t)

H

[e

j(0

e2

ej(0

e]2H(0

(0显然，稳态响应仍为频率的正弦信号，但幅度放大了H(0移动(0)例：某线性时不变系统幅频特H(和相频特(如图所示，若系统的x(t)

2

试求响y(t)解：根据系统的频率特性，该系统将直流信号幅度放1倍；

H10

10将

的正弦信号幅度放大倍，附加相位移 将1的正弦信号幅度衰减所以，当

2

4cos10t时，系统的响应y(t)

2

可以看出，线性系统在期信号激励下的响应然为周期信号系统函H()描述了系统对不同频率号的幅度和相位的影。另解：取输入信号 叶变换变换

H1

X

4()4[

5)

10

10)

10)]

(4

XY

HX

H

ej

X

j90

e

5

10取上式 叶反变换，

(2

(4

(2

2

10525 2例3-8-5已知系统的频率特性H(如图所示，激励信

,试画

y(t)的频谱Y()的图形F

1H则F(

2Sa(2)

(t)

f(t)根据对称性，有

F

()

(

1XX()

(Y(

H()X

图形见右

2 可以看出，在系统的传特性作用下，信号的频谱发生了改变。频域分析法研究信号在传输过程中的变化情，以及系统对信号的影响是非常直观和方便，物理概念非常清

1122

Y 只能求零状态响应；反变换有时不太容易；无失真传先后的不同，而波形没有变化，这种传输叫无失真传x(t)

y(t)

td

y(t)Kx(ttd无失真系 无失真系无失真传输系统的频Y()

系统函数返

H()

H(

ej()

YX

HK0

H()相位频谱

无失真传输系统应满足的两个通频带为无穷成正在传输有限带宽信号时只要在信号所占有的带范围内满足幅频特性常数和相频特性成正比就可以了。线性失真

幅度失真（声音信号此敏感相位失真（图像信号此敏感非线性失真：输出信号出现了输入信号所没的新的频率分量 返理想滤波理想滤波器能在某一频带内无畸变地传输信号其它的频谱分量通过理想低通滤波

HK

j()

dd

C称为截止频率0~

的频率范围称为通带C~

的频率范围称为阻带类似地，还可以定义

HK理想高通滤波理想高通滤波

H HK0理想带阻滤波

HK

x(t)(t)

X()Y()

X()H

()

CC

()e

CCCC利用对称性和时移性

h(t)

H()

SaC

td

(K由图可见，产生了失真和延迟。这因为理想低通滤波器是一个带限系统，tt冲激信号的频带宽度为无穷大。延迟时 tt是理想低通滤波器相频特性的斜率 而且是非因果系统，物理上是不可实现的s(t)

h(1)(t)

K

1Si

yy

其 Si(y)

sin

dx

CSa(x)dx y y

(K称为正弦积分函数

上升时间(t)10

C成反比C理想低通滤波器t

10

(Kt吉布斯现象s(t出现过冲和振荡，过的最大值

1

Si(

1.0895

与频带宽度无关。例：已知带限信号x(t)的频谱和系统如图，试画出A、BC各点的频谱密度，图H1()

H2()

X

H

H2H2( 解：

x(t)6

8K

y(t)4KFB4K 2K FA()

X

FB()

12

4)

4K

2K2K

()H2() 返

例：已知某线性时不变系统的频率特

H()

若输入x(t)

试求该系统的输y(t)g1g

解：设F(t

2Sa(2t)，则

(t)

(t)4 4

2Sa(2)

F根据对称性

F(t)

2Sa(2t)

g根据调制定

x(t)

cos

2Sa(2t)cos X2

1g

6)

(6)

X2862

81H

故Y(