《概率论（第四版）》课件3.4 正态分布

第四节正态分布标准正态分布2定义3.4若连续型随机变量X的概率密度为

则称连续型随机变量X服从标准正态分布,记作X~N(0,1)标准正态分布性质3标准正态分布的概率密度φ0(x)具有下列性质:性质1

φ0(-x)=φ0(x),说明函数φ0(x)为偶函数,图形对称于纵轴;标准正态分布性质4

性质2计算一阶导数

令一阶导数φ'0(x)=0,得到驻点x=0.列表如表标准正态分布性质5x(-∞,0)0(0,+∞)φ0'(x)+0-

φ0(x)

↗

↘

标准正态分布性质6性质3计算二阶导数

令二阶导数φ0″(x)=0,得到根x=-1与x=1.列表如表标准正态分布性质7x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)φ0″(x)+0-0+y=φ0(x)∪∩∪

标准正态分布概率密度曲线8标准正态分布的概率密度曲线如图标准正态分布函数9

标准正态分布函数10有极限

根据反映变上限定积分重要性质的定理,得到一阶导数

Φ0'(x)=φ0(x)说明函数Φ0(x)为φ0(x)的一个原函数标准正态分布概率计算11由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等于它的概率密度在该区间上的积分,因而概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

=Φ0(b)-Φ0(a)标准正态分布概率计算12作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率P{X<b}=P{X≤b}

=Φ0(b)标准正态分布概率计算13P{X>a}=P{X≥a}

=1-Φ0(a)标准正态分布函数值14注意到标准正态分布函数Φ0(x)不是初等函数,因而直接计算函数值是很困难的,必须通过查标准正态分布函数表得到结果表中第一列为x的整数及十分位数,表中第一行为x的百分位数,其纵横交叉处的数值即为函数值Φ0(x)如查表得到函数值Φ0(0)=0.5,Φ0(1)=0.8413,Φ0(1.96)=0.9750,Φ0(2)=0.9772标准正态分布函数值15标准正态分布函数表中x的取值范围为[0,3.9),若x≥3.9,则可取函数值Φ0(x)≈1若x取值为-a<0,则无法直接查表而得到函数值Φ0(-a)标准正态分布函数值16这时从图容易看出:左边阴影部分面积

标准正态分布函数值17右边阴影部分面积

由于概率密度曲线φ0(x)对称于纵轴,从而左、右两边阴影部分面积相等,于是有Φ0(-a)=1-Φ0(a)

(a>0)查表可以得到函数值Φ0(a),进而计算出函数值Φ0(-a)标准正态分布函数值18应用上述关系式,容易得到概率P{|X|≤k}

(k>0)=P{-k≤X≤k}=Φ0(k)-Φ0(-k)=Φ0(k)-(1-Φ0(k))=2Φ0(k)-1标准正态分布概率公式19综合上面的讨论,得到利用标准正态分布函数表计算标准正态分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即连续型随机变量X~N(0,1),则概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=Φ0(b)-Φ0(a)概率公式特殊情况20作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率P{X<b}=P{X≤b}=Φ0(b)P{X>a}=P{X≥a}=1-Φ0(a)P{|X|<k}=P{|X|≤k}=2Φ0(k)-1

(k>0)在计算概率的过程中,用到函数值Φ0(0)=0.5Φ0(-a)=1-Φ0(a)

(a>0)例121

已知连续型随机变量X服从标准正态分布N(0,1),查表得函数值Φ0(1)=0.8413,则概率P{-1<X<0}=

.

解:根据标准正态分布概率的计算公式,同时注意到函数值Φ0(0)=0.5,因此概率P{-1<X<0}=Φ0(0)-Φ0(-1)=Φ0(0)-(1-Φ0(1))=Φ0(0)+Φ0(1)-1=0.5+0.8413-1=0.34130.3413例222已知连续型随机变量X~N(0,1),查表得函数值Φ0(2)=0.9772,求:(1)概率P{|X|<2};(2)概率P{X<-2}.例223解:根据标准正态分布概率的计算公式,所以概率(1)P{|X|<2}=2Φ0(2)-1=2×0.9772-1=0.9544(2)P{X<-2}=Φ0(-2)=1-Φ0(2)=1-0.9772=0.0228例324已知连续型随机变量X~N(0,1),若概率P{X>λ}=0.025,则常数λ=________.解:根据标准正态分布概率的计算公式,得到概率

P{X>λ}=1-Φ0(λ)例325它应等于所给概率值0.025,有关系式1-Φ0(λ)=0.025即函数值Φ0(λ)=0.9750查表,得到常数λ=1.96正态分布26定义3.5若连续型随机变量X的概率密度为

则称连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2)容易看出,当参数μ=0,σ=1时,正态分布就化为标准正态分布,所以标准正态分布是正态分布的特殊情况.正态分布27正态分布的概率密度曲线对称于直线x=μ,参数μ决定曲线的中心位置若参数μ增大则曲线向右平移,若参数μ减少则曲线向左平移参数σ决定曲线的形状,若参数σ越大则曲线越平坦,若参数σ越小则曲线越陡峭正态分布28正态分布的概率密度曲线如图正态分布是最常见也是最重要的一种分布,取中间值可能性大且取两头值可能性小的连续型随机变量通常都服从正态分布正态分布与标准正态分布29定理3.4

Y~N(0,1)正态分布与标准正态分布30

正态分布与标准正态分布31于是得到利用标准正态分布函数表计算正态分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,即连续型随机变量X~N(μ,σ2),则概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

正态分布与标准正态分布32作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率

正态分布与标准正态分布33考虑连续型随机变量X~N(μ,σ2),计算它在区间(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率根据正态分布概率的计算公式,有概率P{μ-3σ<X<μ+3σ}

=Φ0(3)-Φ0(-3)=Φ0(3)-(1-Φ0(3))=2Φ0(3)-1=2×0.9987-1=0.9974正态分布与标准正态分布34从这个计算结果可以看出:连续型随机变量X的取值几乎全部落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,落在这个区间外的概率不到0.003尽管服从正态分布的随机变量X的取值范围是(-∞,+∞),但往往认为它的取值范围是有限区间(μ-3σ,μ+3σ),这个结论称为3σ原则正态分布的数学期望与方差35定理3.5如果连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,即连续型随机变量X~N(μ,σ2),则其数学期望与方差分别为E(X)=μD(X)=σ2正态分布的数学期望与方差36定理3.5说明正态分布中的两个参数μ与σ分别是服从正态分布的连续型随机变量的数学期望与标准差.因而若已知数学期望与方差,则完全确定正态分布.推论如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即连续型随机变量X~N(0,1),则其数学期望E(X)=0,方差D(X)=1例437

已知连续型随机变量X~N(-3,4),则连续型随机变量Y=(

)~N(0,1).

解:由于已知连续型随机变量X~N(-3,4),说明参数μ=-3,σ=2,因此连续型随机变量

b例538已知连续型随机变量X~N(4,9),查表得函数值Φ0(1.96)=0.9750,则概率P{X<9.88}=

.

解:根据正态分布概率的计算公式,因此概率

0.9750例639已知连续型随机变量X~N(μ,σ2),查表得函数值Φ0(1.16)=0.8770,则概率P{|X-μ|≤1.16σ}=

.

例640根据标准正态分布概率的计算公式,并注意到参数σ>0,因此概率P{|X-μ|≤1.16σ}

=2Φ0(1.16)-1=2×0.8770-1=0.7540例741已知连续型随机变量X~N(40,52),若概率P{X<a}=0.9850,则常数a=

.

解:根据正态分布概率的计算公式,得到概率

例742它应等于所给概率值0.9850,即函数值

查表,得到关系式

因此常数a=50.85例843某大学男生体重Xkg是一个连续型随机变量,它服从参数为μ=58kg,σ=2kg的正态分布,从中任选1位男生,求这位男生体重在55kg~60kg的概率.(函数值Φ0(1)=0.8413,Φ0(1.5)=0.9332)解:事件55<X<60表示任选1位男生体重在55kg~60kg,根据正态分布概率的计算公式,其发生的概率为例844P{55<X<60}

=Φ0(1)-Φ0(-1.5)=Φ0(1)-(1-Φ0(1.5))=Φ0(1)+Φ0(1.5)-1=0.8413+0.9332-1=0.7745所以任选1位男生体重在55kg~60kg的概率为0.7745例945某批零件长度Xcm是一个连续型随机变量,它服从数学期望为50cm、方差为0.5625cm2的正态分布,规定长度在50±1.2cm之间的零件为合格品,从中随机抽取1个零件,求这个零件为合格品的概率.(函数值Φ0(1.6)=0.9452)解:由题意得到参数μ=E(X)=50

因而连续型随机变量X~N(50,0.5625)例946事件50-1.2≤X≤50+1.2表示随机抽取1个零件长度在50±1.2cm之间,即该零件为合格品,根据正态分布概率的计算公式,其发生的概率为P{50-1.2≤X≤50+1.2}

例947=Φ0(1.6)-Φ0(-1.6)=Φ0(1.6)-(1-Φ0(1.6))=2Φ0(1.6)-1=2×0.9452-1=0.8904所以随机抽取1个零件为合格品的概率为0.8904例1048某地区职工月收入X元是一个连续型随机变量,已知它服从正态分布N(2000,2002),求该地区月收入高于2100元的职工数占全体职工数的百分比.(函数值Φ0(0.5)=0.6915)解:该地区月收入高于2100元的职工数占全体职工数的百分比,相当于任意调查1位职工月收入高于2100元的概率.例1049事件X>2100表示任意调查1位职工月收入高于2100元,根据正态分布概率的计算公式,其发生的概率为P{X>2100}

=1-Φ0(0.5)=1-0.6915=0.3085所以任意调查1位职工月收入高于2100元的概率为0.3085,意味着该地区月收入高于2100元的职工数占全体职工数的30.85%例1150已知连续型随机变量X~N(0,σ2),则连续型随机变量X2的数学期望E(X2)=(

).(a)0

(b)1(c)σ (d)σ2例1151解:由于连续型随机变量X~N(0,σ2),因而数学期望E(X)=0,方差D(X)=σ2再根据§2.