2021新高考数学(山东专用)二轮复习学案：板块1应试技巧必备

应试技巧必备巧用5招秒杀选择题、填空题妙招1特值(例)法特值(例)法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，从而得到正确答案的方法．(1)使用前提：满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊情况也一定成立．(2)使用技巧：找到满足条件的合适的特殊例子，有时甚至需要两个或两个以上的特殊例子才可以确定结论．(3)常见问题：求范围，比较大小，含字母求值或区间，恒成立问题，任意性问题等．真题示例技法应用(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则()A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0当α＝－时，cos2α＝0，sin2α＝－1，排除A，B，C，故选D．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O如图所示，构造边长为的正方体PBJA的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三CDHG，显然满足题设的一切条件，则球O就是该角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，正方体的外接球，从而体积为则球O的体积为()π.选DA．8C．2πB．4πD．ππ结合三角函数的定义，取角α终边上的特殊点(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈＝________.，tanα＝2，则cos(1,2)，求出sinα＝，cosα＝，代入计算．答案：(2017·山东高考)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式根据条件不妨对a，b选取特殊值验证，如a＝2，b＝成立的是()时，选项A，C，D对应的不等式不成立．选BA．a＋B．<<log2(a＋b)<log2(a＋b)<a＋C．a＋<log2(a＋b)<D．log2(a＋b)<a＋<(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()结合图象，分别取x＝0和x＝验证．选AA．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sin妙招2排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确选项．排除法就是通过观察分析或推理运算题目提供的信息或通过特例，对错误的选项逐一剔除，从而获得正确选项的方法．(1)使用前提：四个选项中有且只有一个正确答案，适用于定性型或不易直接求解的选择题．(2)使用技巧：当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选．它与特值(例)法、验证法等常结合使用．(3)常见问题：函数图象的判别，不等式，空间线面位置关系等不宜直接求解的问题．真题示例技法应用(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0选择满足a＞b的一组数据逐一排除错误答案，比如a＝0，b＝－1.选CB．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()由得函数f(x)的定义域为A．是偶函数，且在，＋∞单调递增∪∪，其关于B．是奇函数，且在－，单调递减原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇C．是偶函数，且在－∞，－D．是奇函数，且在－∞，－单调递增单调递减函数，排除A，C．当x∈ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排时，f(x)＝除B．当x∈－∞，－时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝致为()在[－6,6]的图象大由函数解析式易知函数为奇函数，故可排除C，再取特殊值x＝4，可排除D，取特殊值x＝6，可排除A．选B妙招3验证法验证法是把选项代入题干中进行检验，或反过来从题干中找合适的验证条件，代入各选项中进行检验，从而可否定错误选项，得到正确选项的方法．(1)使用前提：选项中存在唯一正确的答案．(2)使用技巧：可以结合特值(例)法、排除法等先否定一些明显错误的选项，再选择直觉认为最有可能的选项进行验证，这样可以快速获取答案．(3)常见问题：题干信息不全，选项是数值或范围，正面求解或计算繁琐的问题等．真题示例技法应用(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数ƒ(x)在(－∞，0)单调递减，且ƒ(2)＝0，则满足xƒ(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．选DB．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3](2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项由已知S4＝0，a5＝5可知S5＝5，验证和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10选项C，D可知C，D错误；再由a1＋a2＋a3＋a4＝0验证选项A，B，可知B错误．选AC．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()当x＝0时，sinx＝0，cosx＝1，函数值为4，所以A，C错误；验证可得f(x＋π)＝f(x)，所以D错误．选BA．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)函数y＝lnx的图象过点(1,0)，而点(1,0)关于直线x＝1对称的点是(1,0)，经验证只有B符合题意．选BB．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f当x＝4时，f(x－2)＝f(2)＜f(1)＝－(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]1，不符合题意，当x＝3时，f(x－2)＝f(1)＝－1，符合题意．选D妙招4构造法构造法是一种创造性的解题方法，它很好地体现了数学中的发散、类比、转化思想．利用已知条件和结论的特殊性构造函数、数列、方程或几何图形等，从而简化推理与计算过程，使较复杂的或不易求解的数学问题得到简捷解答．构造法来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经类似的问题中找到构造的灵感．(1)使用前提：所构造的函数、方程、图形等要合理，不能超越原题的条件限制．(2)使用技巧：对于不等式、方程、函数问题常构造出新函数，对于不规则的几何体常构造成规则几何体处理．(3)常见问题：比较大小，函数与导数问题，不规则的几何体问题等．真题示例技法应用(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋根据题意可构造函数f(x)＝－|x|(或构造∞)单调递减，则()函数f(x)＝－x2等都可以)，代入比较即可．选CA．fB．fC．f＞f＞f＞f＞f＞f＞fD．f＞f＞f由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则().设f(x)＝2x－，A．ln(y－x＋1)>0B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－在R上为增函D．ln|x－y|<0数，所以f(x)＝2x－在R上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0.选A(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝在长方体ABCDABCD的平面11111，AA＝，则异面直线AD与DB所成角的余弦值为111ABB1A1的一侧再补填一个完全一样的长方体ABC2D2A1B1B2A2，研究△AB2D1即可．选C()A．B．C．D．妙招5估算法因为选择题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、合理推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次．估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题．常与特值(例)法结合起来使用．(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算．(3)常见问题：求几何体的表面积、体积，三角函数的求值，求离心率，求参数的范围等．真题示例技法应用(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的头顶至脖子下端的长度为26cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42cm，肚脐至足底的长度小于110cm，则该人的身高小于178cm.又由肚脐至足底的长度长度与肚脐至足底的长度之比是大于105cm，可得头顶至肚脐的长度，著名的“断臂维大于65cm，则该人的身高大于170cm.纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至选B肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝最大值为()sin＋cos的当x＝时，函数值大于1.选AA．B．1C．D．·＝||·||·cos∠PAB＝|cos∠PAB表2||cos∠PAB，又|(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的示在合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又方向上的投影，所以结一点，则·的取值范围是()A．(－2,6)B．(－6,2)C．(－2,4)D．(－4,6)··＝2×2×cos30°＝6，＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱四点，△ABC为等边三角形且其面积为9体积的最大值为()，则三棱锥DABC锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以×9×4＜V三棱锥A．12C．24B．18D．54DABC＜＜V三棱锥DABC＜24×9×8，即12.选B(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()因为a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＝log＝log25＞A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b1，c＝0.50.2＝≥妙用8个二级结论巧解高考题结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.[链接高考]1．(2012·全国新课标)设函数f(x)＝2[显然函数f(x)的定义域为R，的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]结论2函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期，常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝2a.(4)如果f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其一个周期T＝6a.[链接高考]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50C[∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C．]结论3函数图象的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)中心对称．特别地，若f(a＋x)＋f(a－(2)若f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称.[链接高考]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称C[f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C．]结论4等差数列的有关结论(1)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．(2)若等差数列{an}的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.(3)若等差数列{an}的项数为2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，[链接高考]＝.4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11A[法一：利用等差数列的性质进行求解．∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A．法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．]结论5等比数列的有关结论(1)公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*)．(2)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇．(3)已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sm＋n＝Sm＋qmSn(m，n∈N*)．[链接高考]5．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32D[设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D．]结论6多面体的外接球和内切球(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b