概率论与数理统计第5章

第5章大数定律和中心极限定理5.1

大数定律5.2

中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第1页!概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第2页!

研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:

与大数定律中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第3页!5.1大数定律一、依概率收敛的概念二、切比雪夫不等式三、切比雪夫大数定律四、伯努利大数定律五、辛钦大数定律概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第4页!设随机变量的期望值方差则对于任意给定的正数有二、切比雪夫不等式注:(1)切比雪夫不等式也可以写成(2)切比雪夫不等式表明：则事件发生的概率越大，即，随机变量集中在期望附近的可能性越大.随机变量的方差越小，概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第5页!例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解设每毫升白细胞数为依题意,所求概率为概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第6页!例2在每次试验中,事件发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:独立试验次数最小取何值时,事件出现的频率在0.74~0.76

之间的概率至少为0.90?解设为次试验中,事件出现的次数,则概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第7页!三、切比雪夫大数定律切比雪夫概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第8页!推论这一推论使算术平均值的法则有了理论根据概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第9页!进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独立同分布场合下的辛钦大数定律。概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第10页!5.2

中心极限定理一、莱维中心极限定理二、棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第11页!研究独立随机变量之和所特有的规律性问题当n无限增大时，这个和的分布是什么？本节内容概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第12页!一、莱维中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第13页!例1设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.解由莱维中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第14页!例2一加法器同时收到20个噪声电器Vk(k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记求P{V>105}的近似值解E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,…,20).近似服从正态分布N(0,1),由莱维中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第15页!例3

对敌人的防御地段进行100次炮击,在每次炮击中,炮弹命中颗数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.解设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),在100次炮击中炮弹命中的总颗数Xk相互独立，且E(Xk)=2,D(Xk)=1.52(k=1,2,…,100)由莱维中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第16页!二、棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理证明由于概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第17页!根据莱维中心极限定理得概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第18页!

正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用下面公式计算二项分布的概率．概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第19页!(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第20页!例4

某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求:(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99.解

(1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数，则X

~

B(200,0.75)

.由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理,有概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第21页!查标准正态函数分布表，得(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第22页!解(1)以Xk(k=1,2,…,400)记第k个学生来参加会议的家长数,其分布律为pk0.050120.80.15XkXk

相互独立地服从同一分布近似服从标准正态分布则随机变量概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第23页!(2)以Y表示有一名家长来参加会议的学生数,则Y~B(400,0.8)由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理,有概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第24页!定义一、依概率收敛的概念依概率收敛不是通常微积分中的收敛因此概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第25页!(3)在方差已知的情况下，它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取则有切比雪夫不等式给出了与故对任给的分布，只要期望和方差存在，则随机变量取值偏离超过3倍均方差的概率小于概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第26页!由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在5200~9400

之间的概率不小于8/9.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第27页!在切比雪夫不等式中取则依题意,取使解得即取18750时,可以使得在次独立重复试验中,事件出现的频率在之间的概率至少为0.90.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第28页!切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的.这意味着只要n充分大，尽管n个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以后得到的随机变量将比较密地聚集在它的数学期望的附近，不再为个别随机变量所左右.作为切比雪夫大数定律的特例，我们有下面的推论.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第29页!四、伯努利大数定律切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努利大数定律n重伯努利试验中事件A发生n次,每次试验A发生的概率为p，则对任意＞0,有

伯努利大数定律表明事件发生的频率依概率收敛于事件的概率。由实际推断原理,在实际应用中,当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来代替事件的概率。概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第30页!作业P139练习5.11.2.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第31页!

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第32页!观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第33页!一、莱维中心极限定理概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第34页!即他们的寿命之和超过350小时的概率为0.1814标准正态分布表他们的寿命之和超过350小时概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第35页!概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第36页!有180颗到220颗炮弹命中目标的概率概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第37页!根据莱维中心极限定理得概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第38页!棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理表明:当n充分大时,概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第39页!例4

某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互独立的,求:(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99.解

(1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数，则X

~

B(200,0.75)

.由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理,有n=200,p=0.75,q=0.25,np=150,npq=37.5概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第40页!(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则由3原则知，查标准正态函数分布表，得概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第41页!(1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率.概率论与数理统计第5章共45页，您现在浏览的是第42页!思考题

对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05