2021-2022学年云南省中央民大附中高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：12．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数z(mmi(mR)是纯虚数，则6( )zA．3 B．5 C．5 D．3 5定义在fxfx的图象如图所示，设OAB、CD四点的横坐11、14y

fx的单调递减区间是（ ）2 6 3 ex1,1,4 1 B． ,1 1 1C． ,6 322 6fx)ax2xlnxx，x1 2

fx1

fx2

2x1

xtt的2取值范围是（ ）A．(,2ln2)C．(,112ln2)

B．,2ln2D．,112ln2已知双曲线C:x2a2

y2b2

0,b0)Pxy0 0

是直线bxay4a0上任意一点，若圆xx0

2yy0

1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ．

C．

D．4,x2 y2已知双曲线

1（b0）的渐近线方程为3xy0，则b（ ）4 b2A．2 3 B．3 C．32

D．4 3已知函数fx是定义在R上的奇函数，且满足fxfx，当x时，fx其中e是自然对数的底数，若f2020ln28，则实数a的值为( )A．B．3 C．1 D．1 7．已知全集UR，集合A x3x7,B xx27x100，

(AB)）UA．,3

5, B．,3

5,C．,3

5,

D．,3

5,设复数z满足iz1，则z在复平面内的对应点位于（ ）A．第一象限z

第二象限 C．第三象限 D．第四象限5，则复数z的虚部为（ ）3A．4 B．4

4i

4i5 5 5 5某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A．2 2S，且2 3SC．2 2S，且2 3S下列说法正确的是（ ）

B．2 2S，且2 3SD．2 2S，且2 3Sa1，则a1”的否命题是a1，则a21”在ABC 中，“AB是“sinAsinB成立的必要不充分条件C．“tan1，则4

”是真命题D．存在x0

(,0)，使得2x

3x成立00fxcos002

与gxkxk在6,8上最多有n个交点，交点分别为,y（i1，，，则nxii1A．7

y（ ）iB．8 C．9 D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知

是等比数列a

,2)，b(a

,3),且∥

a+a,则2 4 .n 2 3

a b aa3 514．已知向量m(2,1)，n(4,y)，若mn，则2mn .1已知数列{a的前n项和为Sa（﹣b（Sn+若a⊥b{nan

前2020项和为 为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为等品，则样本中三等品的件数．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知F是抛物线C:y22pxp0的焦点，点P在x轴上，O为坐标原点，且满足OPPx轴的直线与抛物线CABAB8.求抛物线C的方程；

1OF，经4直线l与抛物线CMN两点，若OMON64F到直线l的最大距离.x2 y218（12分）设椭圆

1,ab0的左右焦点分别为F,F，离心率e 2，右准线为l，M,N是l上的a2 b2

1 2 2FM

N0．1 2（Ⅰ）若FMFN2 5，求a,b的值；1 2（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，FM

NFF

共线．1 2 1219（12分）如图，已知抛物线E：y24x与圆M：x32y2 r2 （r0）相交于A，B ，C，D四个点，求r的取值范围；设四边形ABCD 的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.20（12分）如图，在三棱柱ABCABC中，已知四边形AACC为矩形，

6，ABAC4，1 1 1 1 1 11

AACAD交CC于.D1 1D求证BADAACC；1 1ABCA的余弦值.11 121（12分）设数列an

n

满足2Sn

nan

n，n

+，

2，证明：数列n

是等差数列，并求其通项公式﹔1设b n

Tanana an1an1 n

bb1 2

b 1.n22（10分）已知函数fxx22xmlnx，其中mR.（Ⅰ）若m0fx的单调区间；（Ⅱ）设gxfx1

.若gx

1 在上恒成立，求实数m的最大值.ex x1参考答案125601、C【解析】先由已知，求出m1，进一步可得63i12i，再利用复数模的运算即可z【详解】6z63i5z是纯虚数，得m102m0，所以m6z63i5因此，故选：C.

12i .【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.2、B【解析】yfxyfx的导数为exy即可.

fxfxy0fxfxfxfxx的取值范围ex【详解】yfx的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）x题意；yfx的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x合乎题意.yfxyfxfxy0fxfx，ex exfxfxx的取值范围是1,1， 2 y

fx的单调递减区间为1,1. ex 2 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.3、C【解析】f(x)

2ax2x1（x0fxx，x

，转化为方程2ax2x10有x两个不相等的正实数根，根据x1

x，x2

1x，求出afx2

2fx2

2x1

xt有解，通2过分裂参数法和构造新函数h(a)

51ln(2a)0a1，通过利用导数研究ha单调性、最值，即可得出t 84a 8的取值范围.【详解】f(x)

2ax2x1（x0，xfx)ax2xlnxxx，1 2所以方程2ax2x10有两个不相等的正实数根，18a0,xx10,解得0a1.1 2 2a 8 1xx 0,12 2afx1所以tfx1

fx2fx2

2x12x1

xt有解，2x2 max因为fxfx2xxax2xlnxax2xlnx2xx1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2axx1

22xx3xx12 1

lnxx51ln(2a).12 4ah(a51ln(2a0a1， 84a 8h(a)54a

0h(a在0,1上单调递增， 4a2

8 h(ah1112ln2 8 所以t112ln2，所以t的取值范围是(,112ln2).【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.4、B【解析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bxay2a0与直线bxay0的距离d，根据圆xx0

2yy0

21与双曲线C的右支没有公共点，可得d1，解得即可．【详解】由题意，双曲线Cx2y2a2 b2

1 (a0,b0)y

bx，即bxay0，aPx,y是直线bxay4a0上任意一点，0 0a2b2则直线bxay4a0与直线bxay0的距离da2b2

4a，c∵圆xx0

2yy0

1与双曲线C的右支没有公共点，则d1，4a1，即ec4，又e1c a故e的取值范围为故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C共点得出d1是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、A【解析】x2 y2根据双曲线方程

1（b0，确定焦点位置，再根据渐近线方程3xy0得到b

3求解.34 b2 a【详解】x2因为双曲线

y21（b0，4 b2a2，又因为渐近线方程为3xy0，3所以bb ，3a 23所以b2 .3A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6、B【解析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a.【详解】fxfxfxfx4为周期的周期函数，f2020ln2fln2f2ealn22a8，a3故选：B.【点睛】7、D【解析】BAU(U(AB)

B，最后计算 ．解：Bxx27x100B{x|2x5}，A3xA B{x|3 x5}， (A B) 5,．U故选：D．【点睛】8、C【解析】z，得到答案.【详解】iz1

1，故z1i

7i1i1i1i

62

3

，对应点在第三象限.C.【点睛】9、B【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】5

534i 3 4z3

4i34i55i，则复数z的虚部为4.5故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10、D【解析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：ABBCCDADDE2，AECE2 2，BE (2 2)2222 3.D..【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.11、C【解析】A：否命题既否条件又否结论，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【详解】解：A：“a1a1”若a1，则a21”，故A错.在ABC 中，ABab2RsinA2RsinB故“AB是“sinAsinB成立的必要充分条件故B错.C：“tan1，则4

”“若=，则tan=1”，故C正确.4：由幂函数yxn(n0)在递减，故D错.故选：C【点睛】考查判断命题的真假，是基础题.12、C【解析】gx过定点.【详解】由题可知：直线gxkxk过定点1,0且fxcosx2

在是关于对称如图gxfx9同时点左、右边各四个交点关于对称i1

xy2419i i故选：C【点睛】ycosx的性质，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。213、3【解析】 a 3a

a2

，b

a,33

且ab,则3a2

2aa3

是等比数列可知公比为q 3 .a 22a+a2

12.aa q 33 52故答案为.314、10【解析】根据垂直得到y8，代入计算得到答案.【详解】mnmn(2,1)(4,yy0y8，故2mn4,80,10，故2mn10.故答案为：10.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.404015、

2021【解析】由已知可得ab4Sn﹣n（n+3）＝0Sn

nn3，n＝1时，a4

＝S1＝1.n≥2

＝Sn﹣Sn﹣.可得：1 n 11 2 2（1 1 ）..na n

n1

n n1【详解】∵a⊥b，∴a•b4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn

n3

，n＝1时，a

＝1.4 1 1时，a＝S﹣S

n

1n2 n1 .n n

4 4 2n1，满足上式，an

n1.21 ∴ 2（1 1 ）1 na n1

n1

n n1∴数列{nan

}前2020项和为120202（111112020

1 ）＝2（1

1 ）

4040.2 2 34040故答案为： .2021

2021 2021 2021【点睛】16、100.【解析】详解：由题意得，三等品的长度在区间10,15和内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为0.01250.025050.25，∴样本中三等品的件数为4000.25100.点睛：频率分布直方图的纵坐标为高视为频率时常犯的错误．

频率，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的组距7017（）y216x（）4.【解析】求得点P的坐标，可得出直线AB的方程，与抛物线的方程联立，结AB8求出正实数p的值，进而可得抛物线的方程；Mx

，Nx,

，设l的方程为xmyn，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，1 1 2 2结合OMON64求得n的值，可得出直线lF到直线l的最大距离.【详解】Fp,0，又OP

1OF，所以点Pp,0，则直线AB的方程为xp. 2 2 p x

84 884p xpx

8 8

p p

8 ，解得

或 ，所以

AB p8.y22px

y

p yp2 2

2 2故抛物线Cy216x；xmyn

y216x设l的方程为

，联立 有y216my16n0，xmynMx

，Nx,

y

16n

x

yy 12

n2.1 1 2 2 1 2

12 256所以OMONxxy

n216n64，解得n8.12 12所以直线lxmy8，恒过点.又点F4,0，故当直线l与x轴垂直时，点F到直线l的最大距离为4.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.218（Ⅰ）a2,b2（Ⅱ）证明见解析．【解析】2由a2b2c2与ea ，得a22b2，2c 222 22F2 0

2 0，l的方程为x 2a．1

2 设M ，N1

，2则FM32212FM32212，yFN 21 2

2，31 232FMFN2 51 2yy 2FMFN2 51 212（Ⅰ）由 ，得322a 322a y221522a22ay2225yy1 2

，并求得a24，22故a2,b 2 ．22（Ⅱ）MN

y1

y2

y2y1

22yy1

2yy12

2yy1

4yy12

6a2，y1

y 2

ay62 6

y1

a时，MN 取最小值 a，662 266FMFMFN321222 2 2122a,yy 21 22a,0 2FF1 2，FMFNFF

共线．1 2 1219（1）2【解析】

r3（2）P的坐标为(1,0)232将抛物线方程y24x与圆方程x32y2 r2联立消去y得到关于x的一元二次方,抛物线E与圆M有四个交点需满足关于x的一元二次方程在0,上有两个不等的实数根据二次函数的有关性质即可得到关于r不等式组,解不等式即可.2EMA(x,2

x)，B(x,

)，C(x

,

)，D(x

,2

)，据此可1 1 1 1 2 2 2 29r2ADBC的方程P坐标9r2xx12的表达式,令txx12

,由t

及知0t1对关于t即可求出四边形ABCD的面积取得最大值时t的值,进而求出点P坐标.【详解】

y

4x, x32y2yx22x9r20.

r2,x22x9r20在0,.449r20,2所以 解得2 r3，29r

0, 所以r的取值范围为r2 2,3 .根据（1）x22x9r20xx1 2

（0x1

x，2A(x,2x)，B(x,x)，C(x,x)，D(x,2x)，111122 22且xx 2，x

9r2，1 2 12ADBC的方程分别为x1yx1

xx1 2

xx，2 x2 x2 x1 22 x2 x2 x1 2x1y2 x1

xx

xx ,11 2 联立方程可得点P的坐标为 xx,0 ，12因为四边形ABCD 为等腰梯形,S

1ABCDx2

x1 4 4x11 2x1

xx2x2

x1xx2 xx1 2 12xx2xx2 xx1 2 12xx24xx1 2 1222 9r2 99r2

0,1fS

42t4t232t3t2t，f't3221321，因为0t1所以当0t1时,ft01t1时,ft0，3 3所以函数

f

1 1在(0, )上单调递增，在( ,1)上单调递减，3 3即当t1时，四边形ABCD 的面积S取得最大值，3 xx12xx12

t点P的坐标为 xx,0 ,12ABCDSP的坐标为(1,0).3【点睛】属于综合型强、难度大型试题.31720（）（）31717【解析】过点DDE//ACAA1

E，连接CEBEAD

CEO，连接BO，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CEBOCEAD，由线面垂直的判断定理证得CEBAD断得证.平面几何知识和线面的关系可证得BOAACC，建立空间直角坐标系Oxyz，求得两个平面的法向量，1 1根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】DDE//AC交AA1

ECEBEAD

CEOBO，ACAADEAE，1AD为AACAEDC为正方形，CEAD，1BOO又ACAEBABA，BAC，BCBE，又O为CE的中点，CEBOO又BOBADAD

，CE平面BAD，又CE

CBADAACC，1 1 1 12在中，ABAC460BC4RtBOC中，CO1CE222

BO2 ，22AB4AO1AD2222

，BOAD，又BOCE，AD CEO，AD,CE平面

C，BOAACC，1 1 1 1故建立如图空间直角坐标系OxyzA(2,4,0)C(2,4,0)，B(0,6,2 2)，CB1 1

1(2,2,2 2)，AC(4,6,0)，CA1 1mCB

1(4,0,0)，4x6y0AB

的一个法向量为mxy

1 1， 1 1 ，1 1 1 1

mAC 2x2y2 2z0令x=6，得m(6,4,5 2),1

1 1 1 1nCBAB

的一个法向量为n(xy

1 1，11 1

2 2

nCA1 1 4x

= 2，得

(0, 2,1)2x2

2y2

2 2z 0 22cosm,n m

9 2

317

ABCAmn

102

17

是锐角，11 1AB

A317.11 1 17【点睛】合一”.21（）证明见解析，a n2）证明见解析n【解析】（1）由2Sn

nan

n，

n1

1an1

n1作差得到1an1

nan

10，进一步得到na 10，再作差即可得到a a 2a ，从而使问题得到解决；n2 n1 n1 n n1（2）b 1

n1 n 1

1，求和即可.n n n1(n1) n n(n1) n n1【详解】（1）2Sn

nan

n，

n1

1an1

n1，两式相减：n1an1

nan

10①用n1换n，得nn2nan110②②—①，得nan22nan1nan0，即an1an2an1，所以数列

是等差数列，又2S

a1，n 1 1∴a1，a1

2d1，所以an

n.a a a an n1 a a a an n1 n1 nn

1 1n nn n1(n1)n1n(n1)( n1 n)n1 n(nn1 n(n1)n1n1T bbn 1 2

b 1n

1 1 1 2 2 3

1 1 1 1 1n1n nn1【点睛】Sa.n n22（Ⅰ）单调递减区间为1,

2m1，单调递增区间为2m2m

1,（Ⅱ）2. 【解析】（Ⅰ）yfxfx，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；（Ⅱ）由题意可知x22xmlnx1

1 1

在m0m0m0时，构造函数Gxx22x 1

x1 ex1，利用导数证明出Gx0在上恒成立；在m0时，经过分析得x1 ex出0m2Pxx22x2lnx11ex

1x1

Px0在上恒成fxPx0，进而可得出实数m的最大值.【详解】.（Ⅰ）fxx22xmlnx1的定义域为1,..m0

fx

2x2 m

2x2m令fx0，解得x1

x1 x12m11（舍去，x 2m2 2

11.2m2m2m2m当x1, 2

1时，

fx0

，所以，函数

yfx

在1,2m2m

1上单调递减； 2mx 1,2m

fx0

y

x

1,当 2 时，

，所以，函数

在 2 上单调递增.2m 2myfx

1,

1

1,因此，函数

的单调