立体几何体积问题-

立体几何体积问题未命名一、解答题1．如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．2．如图，多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=2,AE=3,DE=5EF=2,cos∠CDE=5（1）证明：平面ABCD⊥平面EDC；（2）求三棱锥A−EFC的体积.3．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，AD=12BC，AD=1，∠ABC=600（1）证明：AB⊥CF；（2）若多面体ABCDEF的体积为338，求线段4．如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=3BC=6，PB=62，点M在线段AD上，且DM=4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD（1）证明：平面PCM⊥平面PAD；（2）当∠APB=45∘时，求四棱锥5．如图,在四棱锥P−ABCD中,ΔPAD是等边三角形,AB⊥BC,AD//BC,AD=2BC.(Ⅰ)求证:AD⊥PC(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD,AD=2,CD=3求三棱锥P−PAC6．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=AA1（1）求证：AB⊥平面AA（2）若四棱锥B−ACMN的体积为32，求∠A7．如图，在几何体ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四边形A（1）证明：B1（2）若B1C18．在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB//DC，CD⊥AD，面ABCD⊥面ADEF，AB=AD=1.CD=2.（1）求证：平面EBC⊥平面EBD；（2）设M为线段EC上一点，3EM=EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT//平面BDE，若存在，试指出点T的位置；（3）在（2）的条件下，求点A到平面MBC的距离.9．已知直三棱柱ABC−A1B1C1，底面ΔABC是边长为2的等边三角形，AA1=4，D（1）证明：DE⊥平面A1（2）求三棱锥C110．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AC，AB⊥BC，PA=BC=2，PB=AC=22，D为线段AC的中点，将ΔCBD折叠至ΔEBD，使得平面EDB⊥平面ABC且PC交平面EBD于F（1）求证：平面BDE⊥平面PAC.（2）求三棱锥P−EBC的体积.11．在矩形所在平面α的同一侧取两点E、F，使DE⊥α且AF⊥α，若AB=AF=3，AD=4，DE=1.（1）求证：AD⊥BF（2）取BF的中点G，求证DF//平面AGC（3）求多面体ABF-DCE12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=π3，ED⊥平面ABCD，EF//DB，M是线段AE的中点，（1）证明：DM//平面CEF；（2）求多面体ABCDEF的表面积.13．如图，在三棱柱ABC−A1B1CD为AC的中点，AB⊥B（1）求证：平面ABC⊥平面ABB（2）求B到平面AB14．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA=PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E,F分别是棱AB,PB上的点，平面CEF//平面PAD（Ⅰ）确定点E,F的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥F−DCE的体积.15．如图,三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1,AC=A(1)求证:A1D⊥平面(2)若AB=2,求三棱柱ABC−A参考答案1．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23连结OB．因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=由OP2+OB2由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=所以OM=253，CH=OC⋅MC⋅sin所以点C到平面POM的距离为45【解析】分析：（1）连接OB，欲证PO⊥平面ABC，只需证明PO⊥AC,PO⊥OB即可；（2）过点C作CH⊥OM，垂足为M，只需论证CH的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23连结OB．因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=由OP2+OB2由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=所以OM=253，CH=OC⋅MC⋅sin所以点C到平面POM的距离为45点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.2．（1）见解析；（2）4【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证AD⊥平面EDC即可，（2）由已知cos∠CDE=55，连接AC交BD于G，作OE⊥CD于O，由等体积法：VA-EFC（1）证明：∵AB=2,AE=3,DE=5，由勾股定理得：又正方形ABCD中AD⊥DC，且DE∩DC=D∴AD⊥平面EDC，又∵AD⊂面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EDC（2）由已知cos∠CDE=55，连接AC交BD作OE⊥CD于O，则OD=DE⋅又由（1）知平面ABCD⊥平面EDC，平面ABCD∩平面EDC=CD，OE⊂面EDC，得OE⊥面ABCD由EF//BD,EF=2，知四边形DEFG为平行四边形，即DE//FG而VA-EFC=又由EF//BD，V所以，三棱锥A-EFC的体积43点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.3．(1)证明见解析；(2)72【解析】分析：（1）通过证明AB⊥平面ACFE得到AB⊥CF；（2）作DG⊥AC于点G，设AE=a，分别计算出四棱锥B−ACFE,D−ACFE的体积，再根据已知条件，求出a的值，在直角三角形CFG中求出CF的值。详解：(1)∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥AB作AH⊥BC于点H，在RtΔABH中，∠ABH=600，BH=1在ΔABC中，A∴A∴AB⊥AC且AC∩EA=A，∴AB⊥平面ACFE又∵CF⊂平面ACFE∴AB⊥CF.（2）设AE=a，作DG⊥AC于点G，则DG⊥平面ACFE，且DG=1又VB-ACFEVD-ACFE∴V多面体ABCDEF=连接FG，则FG⊥AC，∴CF=F点睛：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理、余弦定理、勾股定理、体积计算公式等，属于中档题。4．（1）见解析；（2）36+62【解析】分析：（1）根据AD=3BC=6，DM=4及AD//BC，推出四边形ABCM是平行四边形，再根据AD⊥AB推出CM⊥AD，由PA⊥平面ABCD，可推出PA⊥CM，根据线面垂直判定定理即可推出CM⊥平面PAD，从而可证平面PCM⊥平面PAD；（2）根据PA⊥平面ABCD，可推出PA⊥AB，由∠APB=45∘，可得AP=AB=6，根据勾股定理可得PM，然后分别求得四棱锥P-ABCM详解：（1）证明：由AD=6，DM=4可得AM=2，则BC=AM，又AD//BC，则四边形ABCM是平行四边形，则CM//AB.∵AD⊥AB∴CM⊥AD.又∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD∴PA⊥CM∵PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD∴CM⊥平面PAD又CM⊂平面PCM∴平面PCM⊥平面PAD.（2）解：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB∵∠APB=∴AP=AB=6.∵PM=∴SΔPCM∴四棱锥P-ABCM的表面积为12×2×6+点睛：本题主要考查面面垂直的证明方法，考查椎体的表面积求法，属基础题.熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的垂直关系进行转化，证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.5．(1)见解析；（2）66【解析】分析：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO,CO，在等边ΔPAD，得PO⊥AD，又由四边形ABCO为矩形，得CO⊥AD，利用线面垂直的判定定理，证得AD⊥平面POC，进而得证AD⊥PC．(Ⅱ)由（Ⅰ）知PO⊥AD，得到PO⊥平面ABCD,即PO为三棱柱P−ABC的高，再利用棱锥的体积公式，即可求得三棱锥B−PAC的体积．详解：证明：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO,CO∵ΔPAD为等边三角形∴PO⊥AD∵BC//AO，BC=AO，AB⊥BC∴四边形ABCO为矩形∴CO⊥AD∵CO∩PO=0,∴AD⊥平面POC又∵PC⊂平面POC，∴AD⊥PC(Ⅱ)由（Ⅰ）知PO⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD∴PO⊥平面ABCD,∴PO为三棱柱P-ABC的高ΔPAD为等边三角形，AD=2，得PO=3∵CD=3,OD=1∴∴SΔABC∴VB-PAC=点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．6．（1）见解析；（2）32【解析】（1）在平面ABC中，过点B作棱AC的垂线，垂足为D，∵平面AA1C1C⊥平面ABC，∴在平面AA1B1B中，过点B作棱AA1的垂线，垂足为E，∵平面AA1∵过点B与平面AA1C1C垂直的直线有且只有一条，∴BE与BD重合，又∵平面ABC∩平面AA1B1B=AB,∴BE（2）设BM的中点为Q，连接PQ，NQ，∵点P为棱BC的中点，∴PQ∥CM且PQ=12CM∵AA1∥CC1，∴PQ∥AN，∴P、Q、∵AP∥平面BMN，∴AP∥NQ，∴四边形PQNA是平行四边形，∴PQ=AN，∵M为CC1的中点且∴CM=1，∴PQ=AN=12设梯形ACMN的高为h，∵AB=2，∴VB-ACMN=1∴sin∠A1AC=h7．（1）见解析；（2）5【解析】分析：（1）连接A1C,AC1交于点M，连接MQ，欲证B1Q⊥A详解：(Ⅰ)如上图所示，连接AC1,A1∵四边形A1ACC1是正方形，∴又已知Q是A1B又∵B1C1∥BC且即四边形B1∴B1Q∥C1M(Ⅱ)如上图，引AD⊥BC于D点，∵∠ACD=60∘∴AD=3，∵AD⊥平面∴VA1同理VB-AVABC-A点睛：(1)证明线线垂直时可利用勾股定理逆定理，等腰三角形中三线合一，线面垂直等方法进行，本题中通过构造C18．（1）见解析.（2）见解析.（3）66【解析】分析：（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，可得∠DBC=90°，所以BC⊥BD，由面ABCD⊥面ADEF，可得出ED⊥BC，利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面EBD,进而可得平面EBC⊥平面EBD；（2）在线段BC上取点T，使得3BT=BE，连接MT，先证明ΔCMT与ΔCEB相似，于是得MT//EB，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为h，利用体积相等可得，13详解：（1）因为面ABCD⊥面ADEF，面ABCD∩面ADEF=AD，ED⊥AD，所以ED⊥面ABCD，ED⊥BC.故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB=45°.在ΔBCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°.BC=2∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°∴BC⊥BD.因为BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD.∴BC⊥平面EBD,BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD.（2）在线段BC上存在点T，使得MT//平面BDE在线段BC上取点T，使得3BT=BE，在ΔEBC中，因为BTBC=EMEC=13，所以又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，所以MT//平面BDE.（3）点A到平面MBC的距离就是点A到平面EBC的距离，设A到平面EBC的距离为h，利用同角相等可得，13×12点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.9．(1)见解析;(2)23【解析】分析：（1）利用直棱柱的性质可证明AC⊥平面BDB1,DE⊂平面BDB1，所以AC⊥DE.又AC//A1C1，所以A1C1⊥DE，利用勾股定理可得DE⊥C1E，由线面垂直的判定定理可得结论；（2）利用详解：（1）连接BD，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AC⊥BB1，ΔABC正三角形，所以AC⊥BD，BB1∩BD=B所以因为C1DEC1E2以DE⊥CA1C1（2）易知VCSΔC1CD=12⋅CD⋅CVC1-CDE=1点睛：本题主要考查正三棱柱的性质、空间垂直关系以及利用“等积变换”求棱锥的体积；，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.10．(1)证明见解析；(2)22【解析】分析：（1）由PA⊥AC可计算出PC，从而由勾股定理逆定理得PB⊥BC，再结合BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，从而有PA⊥BC，于是有PA⊥平面ABC，因此PA⊥BD，再计算出AB=BC，从而BD⊥AC，因此得BD⊥平面PAC，从而得证面面垂直；（2）这个体积直接用底面积乘以高再除以3，不太容易，但可间接计算：VP−EBC详解：（1）证明：∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC,PA=2,AC=2∴PC=23又∵PB=22,BC=2∴又∵AB⊥BC∴BC⊥平面PAB∴BC⊥PAPA⊥AC⇒又∵BD⊂平面ABC∴PA⊥BD,PA⊥AB⇒AB=2又∵D为AC的中点∴BD⊥AC∴BD⊥平面PAC∴平面EBD⊥平面PAC（2）V由已知，DE∥AP∴∴V∴点睛：常用求体积的几种方法：（1）分割法一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。（2）补形法多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。（3）等体积法这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，顶点A到面PBC的距离可以很容易就得到(AP⊥面PBC,即AP就是高)，这样四面体A-PBC的体积就很容易就求出来了。显然，四面体P-ABC和四面体A-PBC是同一个立体，因此，求出四面体A-PBC的体积也就是求出四面体P-ABC的体积。11．（1）见解析（2）见解析（3）14【解析】分析：(1)要证AD⊥BF，即证AD⊥平面ABF，只需证明AD⊥AB，AD⊥AF；(2)连结AC,BD交于点O，则OG是ΔBDF的中位线，OG//DF，从而得证；(3)VABF-DCE=VF-ABCD详解：(Ⅰ)∵四边形ABCD是矩形，AD⊥AB，又∵AF⊥α,∴AF⊥AD，AF∩AB=A，∴AD⊥平面ABF，BF在平面ABF内，∴AD⊥BF.(Ⅱ)连结AC,BD交于点O，则OG是ΔBDF的中位线，OG//DF，OG在平面AGC内，所以DF//平面AGC.（Ⅲ）V=1点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．12．(1)证明见解析；(2)16+47【解析】分析：（1）设AC与BD的交点为O，连接MO.可证明DO//平面CEF,由三角形中位线定理可得MO//EF，从而得MO//平面CEF，进而由面面平行的判定定理可得平面MDO//平面CEF；又DM⊂平面MDO，∴DM//平面CEF；（2）利用勾股定理计算各棱长，判断各面的形状，利用面积公式计算各表面的面积，从而可得结果.详解：（1）设AC与BD的交点为O，连接MO.∵DO//EF,DO⊄平面CEF，∴DO//平面CEF.∵M是线段AE的中点，∴MO是ΔACE的中位线，∴MO//EF.又MO⊄平面CEF，∴MO//平面CEF.又MO∩DO=O，∴平面MDO//平面CEF，又DM⊂平面MDO，∴DM//平面CEF.（2）连接FO,则由菱形ABCD可得AC⊥BD.∵ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,:∴ED⊥AC,又BD∩ED=D,∴AC⊥平面EDBF,又OF⊂平面EDBF,∴AC⊥OF.∵EF//DO,且EF=DO,ED⊥DO,ED=DO,∴四边形EDOF为正方形，ED=DO=OF=FE=2,在RtΔADE和RtΔCDE中∵AD=CD=4,DE=2,∴AE=EC=25∴SΔADE在RtΔAOF和RtΔCOF中∵AO=CO=23,OF=2,AF=CF=4∴ΔAEF和∴SΔAEF∵四边形EDOF为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4,S四边形ABCD又∵AF=CF=AB=CB=4,FB=22,∴S∴多面体ABCDEF的表面积=4×2+4×2+27点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.13．（1）见解析；（2）d=【解析】分析：第一问取AB中点为O，连接OD,OB1，证明AB⊥平面B1OD，可得AB⊥OD详解：（1）取AB中点为O，连接OD，OB因为B1B=B1又AB⊥B1D所以AB⊥平面B1因为OD⊂平面B1OD，所以由已知，BC⊥BB1，又所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB（2）由（1）知，B1O=3B1A=2，AC=B因为B1O⊥平面ABC，所以设B到平面AB1D的距离是d由73d=233，得B点睛：该题考查的是有关立体几何的有关问题，一是空间的垂直关系的证明，二是求点到平面的距离，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的内容，注意理清线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求点到平面的距离时应以三棱锥的顶点和底面可以转换，利用等级法求得结果.14．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）V【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到CE//AD，EF//PA，根据平行关系和长度关系得到点E是AB的中点，点F是PB的中点；（2）VF-DCE=12VP-DEC，因为详解：（1）因为平面CEF//平面PAD，平面CEF∩平面ABCD=CE，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CE//AD，又因为AB//DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC=AE=1即点E是AB的中点．因为平面CEF//平面PAD，平面CEF∩平面PAB=EF，平面PAD∩平面PAB=PA，所以EF//PA，又因为点E是AB的中点，