14向量的向量积,向量的混合积

§1.4向量的向量积、向量的混合积本节重点：1。向量的向量积及其运算律、坐标运算2.向量的混合积及其运算律、坐标运算1.4.1向量积物理学中研究刚体转动问题时，“力矩”是一重要概念；所谓一个力^关于定点o的力矩，指的是一个向量m，它的模等于这个力的大小|了|与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积,它垂直于通过O与力作用线的平面，并且向量OOH,了,m组成一个右手标架｛O；(OH,了,m｝。但是，要获得力矩m,也可以不使用垂足H。我们在f作用线上任取一点R。如图以了记向量OR。则m垂直于了,了。且了,了,m仍组成一个右手标架｛O；了，了,m｝。由于OH=ORsinzORH而ZORH=n-Z(7,了)(或Z(己了))故|m|=|了||OH|=|了||7|sin(n-Z(己f))=17|・|7|sinZ(7,7)我们把由7,f得出m的方法推广到一般向量，就产生一种新的运算。1.4.1定义设7,7为两不共线非零向量，作一向量7，其模等于7,7之模与7,7夹角正弦之积，它的方向与7,7垂直且7,7,7组成一个右手标架｛。；7,7,7｝,则7称为7,7的向量积(或叫外积)，记作7=7X7或[7,7]系1：|7X7|等于以7,7为邻边的平行四边形的面积。系2:两向量7,7共线充要条件为7X7=0。由定义可以推出向量积的运算规律。1.4.2定理向量积满足下述运算律7X7=-(7X7)入7X7=7X入7=入(7X7)证：(1)若7,7共线，则等式显然成立。今设7,7不共线，则当交换7,7次序时，7,7的夹角及各自的模均未改变，故|7X7|=|7X7|。又根据向量积定义，7X7与7X7都同时垂直于7与7,因此7X7与7X7是共线向量，且按顺序7,7,7X7和7,7,7X7都分别构成右手T一工ir7777、r7777、11…77t77、,ri^-标架｛o；a,b,aXb｝,｛o;b,a,bXa｝所以aXb与bXa万向相反。从而得7X7=-(7X7)(2)不妨设入N0且7,7不共线当入＞0时，入7与7同向，故入7X7与7X7同向，又与入(7X7)同向，另一方面|入7X7|=|入7||7|sinz(入7,7)=|入||7||7|sinz(入7,7))=|入||7||7|sinZ(7,7)=|入(7X7)|,因此入才x方=入(ax舌)当入＜0时，入a与a反向，故入aXa与aXa反向，但入(aXa)，也与(才xa)反向，故入aXa与入(aXa)同向，另一方面|入aXa1=1入aIIa|sinz(Aa,a)=|AIIaIIbIsinz(兀一z(a,a))=|AIIaIIbIsinZ(a,b)=IA(bXa)I,因此AaXa=A(aXa)类似可证aX(Aa)=A(aXa)证毕向量积对于加法也满足分配律，留后再证。1.4.2向量的混合积1.4.3定义a,a的向量积与a的数量积(aXa)a叫做a,a,a的混合积。记作(a,a,a)=,,,,,(axa)a混合积的几何意义由下面两个定理表述1.4.4定理不共面向量a,a,a的混合积的绝对值等于以a,a,a为棱的平行六面的体积。它的符号，当a,a,a组成右手系时为正，当a,a,a组成左手系的为负。证：由于a,a,a不共面，把它归到共同的起点0,可以构成a,a,a为棱的平行六面体(图1-26),它的底面是以a,a为邻边的平行四边形，面积S=IaXaI。它的高h。它的体积V=S・h图1-26由数量积定义aaaaaaa(aXb).c=IaXbIcCOS0=SIcICOS0其中。是aXa和a的夹角.当｛0；a,a,a｝成右手系时,0W。<n/2,h=IaICOS0因而(aXa)a=S-H=V当｛0;a,a,a｝成左手系时,n/2<QWn,h=IaICOS(n-0)=-IaICOS0，因而(aXa)a=-Sh=-V1.4.5定理三向量a,a,a共面的充要条件是(a,a,a)=0证：设a,b,a共面，则a,b,a构成的平行六面体体积为o.

反之，(a,舌,盾,证毕。a)=0,若a,舌,a不共面，则以才，舌,a为棱的平行六面体体积(a,舌,反之，(a,舌,盾,证毕。f/aaa、/aaa、/aaa、/aaa、系：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(b,a,c)现在，我们提出并证明向量积满足分配律。aaaaaaa1.5.6定理(a+b)Xc=aXc+bXcaaaaaaacX(a+b)=cXa+cXb证：显然第二式可以从第一式利用反交换推得，因此仅需证明第一式。因为向量的坐标等于它与坐标向量的数量积，所以问题归结的证明以下三个等式:TOC\o"1-5"\h\z/-a-a~a、—a—a—a-a~a、—a〔(a+b)Xc〕i=(aXc+bXc)iaaa、aaaaa、a〔(a+b)Xc〕j=(aXc+bXc)jaaaaaaaaa〔(a+b)Xc〕k=(aXc+bXc)k我们仅需证第一等式其余完全类似可得,/a‘aa、a/a‘aaa、xaaa‘a、〔(a+b)Xc〕i=(a+b,c,i)=(c,i,a+b)aaaaaaaaaa=(cXi)(a+b)=(cXi)a+(cXi)baaaaaaaaaaaa=(c,i,a)+(c,i,b)=(a,c,i)+(b,c,i)=〔aXa〕+aXa)〕a证毕1.4.3向量积与混合积的坐标计算我们首先注意到，坐标向量aaa相互间有如下关系：aaa我们首先注意到，坐标向量aaa相互间有如下关系：aaaaXj=k,jXk=ia2,a3},a={b1(1)今设给了两个向量a=akXa=ja=。］a+a2顶+a3a,aaaaaXb=(ai+aj+a=ab(aXa)+ab1112ak)a=ba+b顶+ba,

123x(a=ba+ba+ba)

123(aiXaj)+ab(aiXak)+ab1321aa

(jXi)aaaaaa+ab(jXj)+ab(jXk)+ab(kXi)+aTOC\o"1-5"\h\z2223313+a3b3(akXak)因为每个向量都与自身共线，所以与自身的向量积为零向量，再利用反交换律及a,a,a之间的关系式，立即推得：aaXab=(ab-ba)ai+(ab-ba)aj+(ab-ba)ak232331311212利用行列式作记号表示即((ab—ba),(ab—ba),(ab—ba)}232331311212a2b2a3ba2b2a3b3a3b3a1b1a1b1a2b2也可以记为iTJkaxb=aaai23bbbi23(2)下面来算混合积设a{ai，a2，叩，b{b，气，5c{ci，c2，c3}.•.(axb)ca=2b2abci+3aa3ibb3iaci2biab2c32aaai23=bbb⑷i23ccci23上面我们都利用直角坐标来计算，为了理论上的需要，我们来推导一个用仿射坐标计算的混合积公式为三个向量b,aiei+ae=(ae，a2为三个向量b,aiei+ae=(ae，a2，(aea疽2bebeaei,e,eba—+ae，be+be33iicb)+(aeciei)+(ae，iia3'3，a3a2J2be，b2亳，｝的分解式ba+be，ce33iice)+(aaace)+(ae(abc-ai23aaai23bbbi23ccci231(eaic)=c2ab+ce+ce)a2°2，a3'3，b2a3aiei,b2亳)(bi3ce}+ce)V)a二-a—e+a—e+aTeii2233bbTe+bTe+bTeii2233—T+cT+cTcceeeii2233设由于(i，—j，k)=i,因此公式⑷是公式(5)的特例。1.5.4向量积混合积可以推导一些几何学上的公式计算三角形的面积设AABC三个顶点的坐标分别为A(X,Y,Z)，B(X,Y,Z)，C(X,Y,Z)，则向量iii222333AB,AC的坐标分别为AB｛X2-Xi,iiY-2iYi,Z-2222Zi}，AC{X33-Xi33，I-4Z3-Zi}于是ABxAC的三个坐标分别为Y-YZ-ZZ-ZY-YX-XY-YX=2i2iY=2i2iZ=2i2iY-YZ-ZZ-ZY-YX-XY-Y3i3i3i3i3i3i故|ABXAC|=tX2+Y2+Z2，今△ABC的面积等于以AB,AC为邻边的平行四边形面积之一半,i:二~—-即^ABC的面积=5\；X2+Y2+Z2

计算四面体的体积：设一个四面体的四个顶点为A(X,Y,Z),B(X,Y,Z),C(X,Y,Z),D(X,Y,Z),TOC\o"1-5"\h\z111222333444则屈,AC,AD的坐标分别为{X-X,Y-Y,Z-Z},{X-X,Y-Y,Z-Z},212121313131X--XY--YZ--Z212121△=X-XY-YZ--Z313131X--XY-X--XY--YZ--Z212121△=X-XY-YZ--Z313131X--XY-YZ-Z414141ABCD6最后应该提到，上面我们定义的向量及其代数运算都是在空间的情况，如果我们所讨论的几何对象只限制在平面，即讨论平面的情况，我们完全类似地可以定义平面中的向量及其和、加、减与数乘法、数量积的运算。这是所讨论的平面只有两条坐标轴和两个坐标向量，x轴、y轴和£、弓，不妨可以认为这时所讨论的几何对象是位在空间坐标系的xoy平面上，这时xoy平面上的点可以看成空间中所有第三坐标z=0的所有点的集合。xoy平面的所有向量也可以看成空间中所有第三个坐标z=0的所有向量的集合。所以上面所得到关于空间向量的线性运算和数乘运算的坐标表达式可以通过令第三坐标z=0得到相应平面向量运算的公式。习题1—41、计算下列各组两向量的向量积{3，4，2}与{3，5，-1}{1，-3，1}与{2，-1，3}2、已知三角形的顶点为A(3,4,1),B(2,0,3),C(-3,6,4),求其面积。3、已知一三棱锥的顶点为A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3),求其顶点A所引高的长。4、证明：四点A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)共面。5、证明关于二重向量积的公式—£—”/T——/£T\(axb)xc=b(ac)一a(bc)并问£x(£x£)=?(提示，通过坐标计算去证明)。6、证明拉格朗日等式(£x£).(£x£)=(££)(££)一(££)(££)7、证明：I£x£|=苛b-(££)28、设三向量£,£,£不共面，证明任意向量£可以表示成£