高等数学函数的单调性和凹凸性

关于高等数学函数的单调性和凹凸性第1页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六一、函数单调性的判定法

第2页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：第3页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六定理1严格单调第4页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六第5页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六(2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.例如,注意:(1)定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；第6页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六例1.解注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.导数在这一区间上的符号来判定,而不能用令得把分成两个区间第7页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六例2.解:单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.

说明:第8页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)3．以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。第9页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六解:令得故的单调增区间为的单调减区间为第10页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六练习解5/21第11页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六例4证注

利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。第12页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六练习.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且第13页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六二、曲线的凹凸与拐点第14页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六图形上任意弧段位于所张弦的上方。图形上任意弧段位于所张弦的下方。问题:

如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向?第15页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六定义1

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的

.第16页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六17曲线凹凸的判定定理2第17页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I

内图形是凹的;(2)在I内则在

I

内图形是凸的.证:设函数在区间I上有二阶导数只证(2)由定义只须证：只须证：只须证：记作

只须证：第18页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I

内图形是凹的;(2)在I内则在

I

内图形是凸的.证:设函数在区间I上有二阶导数只证(2)由定义只须证：只须证：分别在区间上应用拉格朗日中值定理得这说明在I

内单调递减.第19页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六20例5

判断曲线的凹凸性.解上是凸的.第20页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六21例6解注意到,第21页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六定义2

若连续曲线在其上一点的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线的拐点.xyoy=f(x)注：拐点是凹弧与凸弧的分界点第22页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六证第23页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六注意:例如,例如,yxoyxo第24页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六1．写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2．求出二阶导函数的零点、和不存在的点3．检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性注意判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：第25页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六例7.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)

求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第26页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六例8

讨论的凹凸性及拐点.解：xyo·1x0－0＋不存在＋y凸

拐点凹非拐点凹第27页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六曲线的凹凸性反映的是不等式关系：(1)若曲线的图形是凹的（即），则有(2)若曲线的图形是凸的（即），则有注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。第28页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六例9解第29页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六30例10第30页，共34页，2022年，5月20日，18点11分，星期六2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上凹凸弧的分界点小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减第31页，共34页，2022年，