人教版八年级数学上册利用“口诀法”添辅助线

线段相等好转换”.例2•如图所示，3BC中，AB二AC,zBAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC初中数学试卷于点F.求证：BF=2CF.E初中数学试卷分析：根据题中条件容易求出ZB=ZC=30o；本题从结论出发BFC自然会想到“在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边

的一半"这条性质，而这一个"结"，在当我们连结AF解开了.略证：连结AF•••AB=AC,二ZB=ZC；又ZBAC=120。八ZB+ZC=120。二ZB=ZC=30。.VEF垂直平分BEBDBBEBDB利用“口诀法”添辅助线—新人教版八年数学上册添辅助线例谈赵化中学郑宗平新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，其中出现了一部分需要添辅助线才能比较容易找到突破口的几何解答题；添辅助线往往是为了变更某些图形的位置（特别是变更线段和角的位置）使得已知条件与结论的关系在图形中能清楚的显现出来，以找到破题的方法，辅助线在其中起到铺路和架桥的作用下面是我选编和创编的利用“口诀法"添辅助线的技巧，由于“口诀"（实际上就是“顺口溜"）朗朗上口，形象生动，比较容易记忆；把它编辑出来供同学们作为课外阅读材料，相信对于进一步提高同学们的几何题的解答能力是有帮助的一、“分角两边作垂线，垂直平分连两端”例1・如图，在RtABC中，ZACB=90。,ZA=30。,BD平分ZABC；若CD=3cm,求AD的长度？分析：本题不添辅助线也可以求得AD的长度，但环节要多，书写的步骤也就较多，浪费时间;若VABC的平分线AD的点D向AB垂线，根据角平分线的性质可以得出DE=CD=3cm；在RtAED有ZA=30。，所以AD=2DE=2x3=6（cm）.点评：本题的关键是通过过ZABC的平分线AD的点D向AB垂线后，使得DE=CD=3cm的转换后，使得线段AD的长度在RtAED便可轻松求得；真可谓是“分角两边作垂线，金戈铁制卷

ACFA二FCZFAC=ZC=30。又ZBAC=120。二ZBAF=120。-30。=90。VZB=30。.BF=2AFVFA=FC.BF=2CFy点评：本题的关键是通过连结AF,使得FA=FC的转换后，使得在RtBAF中有BF=2AF,然后进一步证得BF=2CF；真可谓是“垂直平分两端连，线段相等好转换”•跟踪训练:1、如图，线段AD平分ZBAC,BD=CD；求证：ZABDZACD.2、如图，AC平分ZDAB,ZC=ZD=90。,EC=ED.求证：BD平分ZABC.3、如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD丄AB，垂足为D；BE丄AC，垂足为E.求证：AC=AB4、如图，等边ABC中，D为ZABC、ZACB的平分线的交点，EF垂直平分BD,MN垂直平分CD.BEMC求证：BE=EM=MCCFDE金戈铁制卷金戈铁制卷、“等腰作三线，解答更方便”AGDCAGDC例.如图，AB=AE,AC=AD，点B、C、D、E在同一直线上求证：BC=ED分析：本题通过证明ABC竺AED能证明BC=ED.但本题若作AF丄BE更为简捷.略证：过A作AF丄BE，垂足为F.又•••AB=AE,AC=AD二BF=EF,CF=DF（三线合一）「.BF—CF=EF—DF即BC=ED点评：本题的关键是抓住AB=AE,AC=AD即ABE和ACD都是等腰三角形的特点，在等腰三角形的性质中的"三线合一"中的等腰三角形的"底边上的高线与底边上的中线互相重合”,两次推理即可完成推理，这比通过证明三角形全等少了一大半的环节；真是"等腰作三线，

三、“图中出现T字形，连成等腰三角形”例•已知：^ABC中，高AD与BE相交于点F，且AD=BD,G、I分别是AC、BF上的点，且AG=BI,H为IG的中点.求证：DH丄IGDD解题更方便”•所谓"作三线”也就是作等腰三角形底边上的高线或作等腰三角形底边上的中线或作等腰三角形顶角的平分线.跟踪训练:1已知：如图，RtAABC中，zBAC二90°,AB二AC,D是BC的中点,AE二BF.求证：⑴.DE二DF;⑵.ADEF为等腰直角三角形.2、已知如图AABC是等边三角形，延长BC到点D延长BA到E,且

分析：我们学了等腰三角形的"三线合一”后，证明垂直关系又多了一条途径，本题中的"T"形（见图中的粗线部分）中，有H为IG的中点，若连结DI、DG，并证明到，根据等腰三角形的"三线合一”的等腰三角形的底边上的中线与底边上的高线互相重合即可证明DH丄IG•根据题中的条件能证明DI=DG.略证：连结DI、DG.•••AD与BE是ABC的BC、AC的高二AD丄BC、BE丄AC二ZADC=ZBEC=90。△•••ZEBC+ZC=90o,ZDAC+ZC=90oZEBC=ZDAC于是在BDI和DAG中有:△△AD=BD,ZEBC=ZDAC,AG=BI•BDI竺DAG•DI=DGvH为IG的中点△△•DH丄IG（三线合一）.BD=AE,BD=AE,试判断CE与DE的关系，并证明你的结论.点评：本题的关键是在图中出现的"T"形（见图中的粗线部分）中，有H为IG的中点，连结DI、DG后，非常容易联想到证明DI二DG构成等腰三角形，根据等腰三角形的"三线合一"获得证明请记住“图中出现‘T字形，连成等腰三角形”.跟踪训练:和原线段的和等于和差中较长的一条线段，称为"补短法""获得证明请记住“图中出现‘T字形，连成等腰三角形”.跟踪训练:四、“线段和差要证好‘截长补短’不可少”EC四、“线段和差要证好‘截长补短’不可少”EC如图，已知：ABC中，ABAC=90o,AB=AC,d点是bc边上的一点，EC丄BC，垂足为C;若EC=BD，连结DE,DF=EF.求证：AF丄DE例1•已知：如图，ABC中，AB=AC,ZA=108。,CD平分ZBCA交AB于D.求证：BC二CE+BD分析：证明线段的和差关系比较抽象，有许多要通过“截长补短"的办法来添辅助线来破题本题采用截长法，若在BC上截取CE=CA，连结DE后易证CDE竺CDA(SAS)，所以上dec=ZA=108o•••乙DEB=180o-ZDEC=180。-108。务。'^AB=AC,ZA=108。ZB=1(/80o—108o)=36。在BDE中，ZBDE=180。-ZB-ZBED=180。-36。-72。=72。2•ZBED二ZBDE•BD=BE.由BC=CE+BE可得BC=CE+BD.例2•如图，已知：ABC中，Z1=2ZA,AD评分ZACB求证：AC=BC+DE分析：证明线段的和差关系比较抽象，有许多要通过“截长补短"的办法来添辅助线来破题•本题采用截长法或补短法均可，下面我们采用“补短法"•延长CB至E，使CE=CA，此时由于有CE=CB+BE，所以AC=CB+BE；由题中的条件容易证明ACD竺ECD(SAS)，得出ZE=ZA；TZ1=2ZA,Z1=ZE+Z2.Ze=Z企•BD=BE•.AC=CB+BE.跟踪训练:如图，在ABC中，ZB=60。,ZACB和ZCBA的平分线CD、BE交于点O.求证：BC=CE+BD五、“两边之间夹中线，倍长中线全等见〃例•已知：ABC中，AD是BC边上的中线，AB=3,AC=5；求AD的取值范围？分析:在几何图形中，求一条线段的取值范围，我们自然会联想到三角形的三边之间的关系，而本题的已知的AB=3,AC=5和要求取值范围的线段AD并非为同一三角形的三边，所以我们要想办法把这三条线段"搬"到同一三角形中；本题若采取倍长中线的办法可以获得解决•如图，若延长AD至E，使DE=AD连结BE；容易证明ACD竺EBD(SAS),•BE=AC=5；在ABE中，有BE-AB<AE<BE+AB,△△△即:2<AE<8，又AE=AD+DE=2AD,•2<2AD<&故1<AD<4.点评：在几何解答题中，要把分散的条件在图中集中起来(也就是"化归")，常常要通过构造全等三角形来变更有些角或线段的