01杨燕高等数学教学课件

§4.1中值定理一、罗尔定理三、柯西中值定理二、拉格朗日中值定理§4.1中值定理一、罗尔定理三、柯西中值定理二、拉格朗一、罗尔定理设连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标相等

f

()?观察与思考

提示

f

()0函数yf(x)满足条件

(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导

(3)f(a)f(b)

则至少存在一点(a

b)

使得f

()0

一、罗尔定理设连续光滑的曲线yf(x)在端点A费马(fermat)引理且存在证:

设则证毕费马(fermat)引理且存在证:设则证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等

解

因此在(1,2)内至少存在一点1

使f

(1)0

1是f

(x)的一个实根

在(2,3)内至少存在一点2

使f

(2)0

2也是f

(x)的一个实根

f

(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(1,2)及(2,3)内

例2

不求导数判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个实根以及其所在范围

f(1)f(2)f(3)0

所以f(x)在[1,2][2,3]上满足罗尔定理的三个条件

因为f(x)是连续且可导的函数并且解因此在(1,2)内至二、拉格朗日中值定理观察与思考设连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标不相等

直线AB的斜率k?

f

()?提示

直线AB的斜率二、拉格朗日中值定理观察与思考直线AB的斜率k?二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足条件

(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导则至少存在一点(a

b)内使得或f(b)f(a)f

()(ba)

拉格朗日公式

因为介于a与b之间所以可表示成

a(ba)(01)

从而拉格朗日公式也可改写成

f(b)f(a)f

[a(ba)](ba)(01)

拉格朗日中值定理或f(b)

证

例3

证明不等式

arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

设f(x)arctanx

f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件因此有arctanx2arctanx1x2x1

证例3证明不等式例4.证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有例4.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f

(x)都为零那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数

这是因为对于任意x(a

b)及定点x0(a

b)

有其中介于x与x0之间

f(x)f(x0)f

()(xx0)f(x0)

f(x)0推论1这是因为对于任意x(a推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f

(x)都为零那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数

推论2

如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f

(x)与g(x)都相等则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数

这是因为在区间(a,b)内任意一点有

[f(x)g(x)]f

(x)g(x)0

根据推论1

函数f(x)g(x)在区间(a,b)内是一个常数

f(x)g(x)c或f(x)g(x)c其中c为某一常数推论1推论2这是因为在区间(a,b例5.证明等式证:

设由推论可知

(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上例5.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率§4.1中值定理一、罗尔定理三、柯西中值定理二、拉格朗日中值定理§4.1中值定理一、罗尔定理三、柯西中值定理二、拉格朗一、罗尔定理设连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标相等

f

()?观察与思考

提示

f

()0函数yf(x)满足条件

(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导

(3)f(a)f(b)

则至少存在一点(a

b)

使得f

()0

一、罗尔定理设连续光滑的曲线yf(x)在端点A费马(fermat)引理且存在证:

设则证毕费马(fermat)引理且存在证:设则证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等

解

因此在(1,2)内至少存在一点1

使f

(1)0

1是f

(x)的一个实根

在(2,3)内至少存在一点2

使f

(2)0

2也是f

(x)的一个实根

f

(x)是二次多项式只能有两个实根分别在区间(1,2)及(2,3)内

例2

不求导数判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个实根以及其所在范围

f(1)f(2)f(3)0

所以f(x)在[1,2][2,3]上满足罗尔定理的三个条件

因为f(x)是连续且可导的函数并且解因此在(1,2)内至二、拉格朗日中值定理观察与思考设连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标不相等

直线AB的斜率k?

f

()?提示

直线AB的斜率二、拉格朗日中值定理观察与思考直线AB的斜率k?二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足条件

(1)在闭区间[a

b]上连续

(2)在开区间(a

b)内可导则至少存在一点(a

b)内使得或f(b)f(a)f

()(ba)

拉格朗日公式

因为介于a与b之间所以可表示成

a(ba)(01)

从而拉格朗日公式也可改写成

f(b)f(a)f

[a(ba)](ba)(01)

拉格朗日中值定理或f(b)

证

例3

证明不等式

arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

设f(x)arctanx

f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件因此有arctanx2arctanx1x2x1

证例3证明不等式例4.证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有例4.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f

(x)都为零那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数

这是因为对于任意x(a

b)及定点x0(a

b)

有其中介于x与x0之间

f(x)f(x0)f

()(xx0)f(x0)

f(x)0推论1这是因为对于任意x(a推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f

(x)都为零那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数

推论2

如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f

(x)与g(x)都相等则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数