中考数学压轴题课件讲述

2015年中考数学压轴题2015年中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1例1图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．思路点拨（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A（-1,）因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，）可得a=．所以抛物线的表达式为

图2（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．图2（2）由得抛物线的顶点M的坐标为(1,)．所以tan∠BOM＝所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（2）由考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐例2

图1例2

图1中考数学压轴题课件讲述图2

图3图2图3中考数学压轴题课件讲述考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，这样，先例3图1例3图1图2

图2

图3图3

图4图4例4如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；解：抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．图1例4如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；图1图2如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2

图1图2图1图2如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x图3

图4（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于例52009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式例52009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述

图3

图3

图4图4如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2图5图5

图6图61.2 因动点产生的等腰三角形问题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例12013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长例12013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在R中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述例22012年扬州市中考第27题（1）求抛物线的函数关系式；图1例22012年扬州市中考第27题（1）求抛物线的函数关（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标图1图2（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若图1图3

图4

图5图3图4图5例32012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标图1（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；例32012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，图2

图3图2图3中考数学压轴题课件讲述如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转1图2

图3图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与例4（1）求点A和点B的坐标例4（1）求点A和点B的坐标（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点图2

图3图4图2图5图6图7图5例5

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式图1例5

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图2（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图2

图3图4图3例6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°（1）求点E到BC的距离图1图4例6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图2

图3（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于图4图4

图5

图7图6

图5图7图6考点伸展图8考点伸展图81.3因动点产生的直角三角形问题

1.3因动点产生的直角三角形问题

例1（1）求点A、B、C的坐标图1

例1（1）求点A、B、C的坐标图1（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M图2图3图2中考数学压轴题课件讲述例22012年广州市中考第24题（1）求点A、B的坐标图1（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；例22012年广州市中考第24题（1）求点A、B的坐标图（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A图2

图3图2图3图3图3例32012年杭州市中考第22题（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．例32012年杭州市中考第22题（1）当k＝－2时，求中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述图2图3图2例42011年浙江省中考第23题例42011年浙江省中考第23题（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3图2图3图2例52010年北京市中考第24题（1）求点B的坐标；例52010年北京市中考第24题（1）求点B的坐标；例62009年嘉兴市中考第24题图1（1）求x的取值范围（2）若△ABC为直角三角形，求x的值例62009年嘉兴市中考第24题图1（1）求x的取值范图2

图2

图3图3中考数学压轴题课件讲述例72008年河南省中考第23题例72008年河南省中考第23题中考数学压轴题课件讲述人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，中考数学压轴题课件讲述2015年中考数学压轴题2015年中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1例1图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．思路点拨（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A（-1,）因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，）可得a=．所以抛物线的表达式为

图2（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．图2（2）由得抛物线的顶点M的坐标为(1,)．所以tan∠BOM＝所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（2）由考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐例2

图1例2

图1中考数学压轴题课件讲述图2

图3图2图3中考数学压轴题课件讲述考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，这样，先例3图1例3图1图2

图2

图3图3

图4图4例4如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；解：抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1，）．图1例4如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；图1图2如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2

图1图2图1图2如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x图3

图4（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于例52009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式例52009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述

图3

图3

图4图4如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2图5图5

图6图61.2 因动点产生的等腰三角形问题1.2 因动点产生的等腰三角形问题例12013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长例12013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在R中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述中考数学压轴题课件讲述例22012年扬州市中考第27题（1）求抛物线的函数关系式；图1例22012年扬州市中考第27题（1）求抛物线的函数关（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标图1图2（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若图1图3

图4

图5图3图4图5例32012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标图1（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；例32012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，图2

图3图2图3中考数学压轴题课件讲述如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转1图2

图3图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与例4（1）求点A和点B的坐标例4（1）求点A和点B的坐标（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点图2

图3图4图2图5图6图7图5例5

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式图1例5

如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图2（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？图2

图3图4图3例6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°（1）求点E到BC的距离图1图4例6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图2

图3（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于图4图4

图5

图7图6

图5图7图6考点伸展图8考点伸展图81.3因动点产生的直角三角形问题

1.3因动点产生的直角三角形问题

例1（1）求点A、B、C的坐标图1

例1（1）求点A、B、C的坐标图1（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M图2图3图2中考数学压轴